七年級數(shù)學第4章 基本平面圖形教學案北師大版

1 第四章第四章 基本平面圖形基本平面圖形 1.通過豐富的實例,認識線段、射線、直線、角等簡單平面圖形. 2.能用符號表示角、線段;理解與多邊形和圓有關的概念. 3.會進行線段或角的比較,能估計一個角的大小,認識度、分、秒,會進行角的單位換算. 4.初步培養(yǎng)學生的識圖能力、語言表達能力及邏輯思維能力. 1.經歷觀察、測量、折疊、模型制作等活動,發(fā)展空間觀念. 2.經歷在操作活動中探索圖形性質的過程,了解簡單圖形的性質,發(fā)展有條理的思考與 表達能力. 1.培養(yǎng)學生自主學習、主動參與、主動交流合作的意識和能力,在小組合作交流活動中 互相激發(fā)靈感,取長補短,培養(yǎng)學生團結合作的學習精神. 2.在探討問題的過程中,提高學生動腦、動手能力,提高學生分析問題和解決實際問題 的能力,從而樹立學習數(shù)學的信心. 本章首先接觸的是簡單的平面圖形線段和角,重點學習這兩種平面圖形的表示、度 量和比較,由于線段和角有許多相似之處,因此教學中可指導學生類比線段學習角,在解決完 這兩種基本圖形的基礎上,又認識了多邊形和圓. 線段和角是幾何圖形中的基本元素,多邊形和圓的初步認識是以后深化多邊形和圓的學 習的基礎.因此本章知識在幾何中占據基礎性的地位,對于以后的學習具有重要的鋪墊作用. 教材在編排上力求使學生通過觀察、操作、歸納等方法,從現(xiàn)實背景中抽象出有關的幾何圖 形,進而研究它們的性質.在研究的同時,初步體驗學習幾何的基本方法,獲得初步的數(shù)學活 動經驗,因此本章無論在知識上還是在學法上都具有積極的引導作用. 本章內容是學習平面幾何知識的入門知識.通過本章內容的學習,學生能理解、掌握平 面中線段、直線、射線、角、多邊形和圓等最簡單、最基本的概念,掌握這些基本概念的表 示方法以及它們的一些簡單而直觀的性質.教材在設計上注重通過現(xiàn)實的幾何圖形進行引導,利 于學生對各種幾何概念的直觀意義的理解,有助于學生從具體到抽象、從特殊到一般地認識 和理解有關的幾何概念.對于學到的基本平面圖形知識還原到生活中去,增強學生應用數(shù)學 的意識. 【重點】 線段、射線、直線、角的概念及表示方法;線段、角的度量及大小比較;多 邊形和圓的有關概念. 【難點】 運用有關的性質進行合理描述,并會解決實際問題;會根據圖形的相關性質 進行有條理的思考和表達. 2 1.現(xiàn)實中的幾何實例與數(shù)學中的幾何對象是具體和抽象、特殊和一般的關系,在實際教 學中,如何引導學生從具體的實例中抽象出事物的一般性,是教學中的一個難點,這方面的處 理是否得當直接關系到學生能否準確地理解數(shù)學中的各種幾何概念. 2.幾何量的度量是幾何中基礎而重要的問題,是培養(yǎng)學生準確的幾何觀念的重要內容. 教師通過讓學生使用直尺、三角板、量角器和圓規(guī)等常用的數(shù)學工具,培養(yǎng)學生嚴謹?shù)目茖W 態(tài)度和基本的使用工具的能力,對于學生在日常生活中使用其他工具解決實際問題也很有幫 助. 3.幾何知識應該在幾何的實際背景中講授.本章內容包含了大量的生活實例,有利于學 生克服數(shù)學中抽象而形式化的困難,對學生準確理解并掌握幾何概念以及一些簡單性質十分 有利. 4.在教學中,應該鼓勵學生通過觀察、思考、實踐和歸納等活動,理解和掌握本章的主 要內容.教師要避免單純地講授知識,應該多留給學生實踐和思考的時間. 5.本章知識主要是一些基本的幾何概念和它們的簡單性質,在教學過程中多鼓勵學生將 每一個概念和性質與生活中的具體實例聯(lián)系起來,這樣有利于學生更好地理解和掌握有關知 識,又能夠進一步培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際的學習習慣. 1 線段、射線、直線1 課時 2 比較線段的長短1 課時 3 角1 課時 4 角的比較1 課時 5 多邊形和圓的初步認識1 課時 本章概括整合1 課時 1 線段、射線、直線 1.通過圖形理解并區(qū)別線段、射線、直線的概念. 2.能夠準確地畫出線段、射線和直線. 3.認識點和線之間的關系. 通過讓學生舉出生活中的實例,從中抽象出線段、射線以及直線的幾何模型,使學生能 夠理解三種線之間的區(qū)別和聯(lián)系,掌握它們各自的表示方法. 1.體會數(shù)學是如何將現(xiàn)實中具有相同特性的一類事物抽象出其本質屬性,然后通過數(shù)學 3 語言表示出來的過程. 2.認識到一個事物表示方法的不唯一性;通過作圖養(yǎng)成嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度. 3.了解曲線和直線之間的辯證關系,認識圖形世界的豐富多彩,培養(yǎng)學生的審美觀. 【重點】 1.理解并掌握線段、射線、直線的概念以及它們之間的區(qū)別. 2.掌握線段、射線、直線的表示方法. 【難點】 1.能夠從實例中抽象出線段、射線和直線的模型. 2.能準確地畫出線段、射線和直線. 【教師準備】 多媒體課件. 【學生準備】 預習教材 P106107. 導入一: 過渡語 豐富的圖形世界是由一些簡單的圖形構成的,觀察圖片,你能“看到”哪些 平面圖形?除了圖中的情形外,你還能舉出其他的例子嗎? 活動內容 用多媒體出示一組生活中的圖片,有繃緊的琴弦、手電光束、筆直鐵軌、筷子圖、人行 橫道.讓學生觀察. 師:你們能在其中發(fā)現(xiàn)我們所熟知的幾何圖形嗎? 處理方式 自由發(fā)言,認識到線段、射線、直線在生活中是普遍存在的. 設計意圖 利用生活中的情境,激發(fā)學生的學習興趣,讓學生感受從實際問題中抽象 出所要了解的圖形的過程,同時在解答問題中形成認知沖突,激發(fā)學生的學習熱情. 根據學 生的回答,有的不完全是教師想要的線段、射線和直線,教師可用一些過渡的語言點撥,我們 今天的研究和學習就從其中最簡單的圖形線段、射線、直線開始.(教師板書課題:1 線段、射線、直線) 導入二: 師:西游記這部電視劇同學們看過嗎? 生:看過. 師:在這部電視劇中給你們留下深刻印象的人物是誰? 生:孫悟空. 師:下面我們一起來欣賞一段西游記中的精彩片段.(學生看視頻) 師:通過剛才的視頻短片,我們感受到了金箍棒的神奇.孫悟空手中的金箍棒在沒有發(fā)生 變化時,給我們以什么樣圖形的近似形象? 4 生 1:圓柱. 生 2:線段. 師:當金箍棒向一個方向無限延長,又給我們什么樣圖形的近似形象? 生:射線. 師:當金箍棒向兩個方向無線延長,又能給我們什么樣圖形的近似形象? 生:直線. 師:其實在我們的身邊、在我們的日常生活中,很多物體也能給我們這樣的近似形象,我 們來看一組生活中的圖片.(出示圖片) 師:繃緊的琴弦、霓虹燈發(fā)出的燈光、筆直的鐵軌分別給我們什么樣圖形的近似形象? 生:線段、射線、直線. 師:我們在小學里已經初步學習了線段、射線、直線,從今天開始讓我們共同走進平面 圖形的世界,本節(jié)課將要和同學們一起進一步研究線段、射線、直線.(教師板書課題:1 線 段、射線、直線) 設計意圖 利用西游記中的精彩視頻以及生活中熟知的情境圖片給學生展現(xiàn)了 線段、射線、直線的近似形象,使學生感受生活中所蘊含的圖形,既活躍了課堂氣氛,也激發(fā) 了學生的學習興趣.讓學生感受從實際問題中抽象出所要了解的圖形的過程,同時在解答問 題中形成認知沖突,激發(fā)學生的學習熱情,將學生的注意力迅速轉移到課堂. 探究活動 1 生活中的線段、射線和直線 過渡語 生活離不開數(shù)學,數(shù)學來源于生活.以上美麗的圖片中也包含著我們的數(shù)學 知識. 從下面的三幅圖片中,你能觀察出它們哪些部分分別可以近似地看作我們小學學過的線 段、射線和直線? 處理方式 學生觀察思考,繃緊的琴弦可以近似地看作線段,探照燈射出的光線可以 近似地看作是射線,筆直的鐵軌可以近似地看作直線,立足現(xiàn)實背景呈現(xiàn)線段、射線、直線 的概念. 設計意圖 以學生熟知的現(xiàn)實生活為背景,讓學生充分感受生活中所蘊含的三種基本 的幾何圖形,立足現(xiàn)實背景呈現(xiàn)線段、射線、直線的概念,激發(fā)學生的好奇心. 探究活動 2 線段、射線、直線的概念及表述方法 思路一 讓學生動手在練習本上嘗試畫線段、射線和直線. 議一議:認真觀察所畫的線段、射線和直線,合作探索這三種線的特征,并用自己的語言 敘述出來,然后根據自己的探索和教材第 106 頁的圖 4 - 1,4 - 2,4 - 3 的提示,總結出線 段、射線和直線的表述方法. 生 1:繃緊的琴弦、人行橫道線都可以近似地看作線段. 生 2:線段包括它的兩個端點,線段不能無限延伸,因此可以度量,但可以向兩個方向延 長. 生 3:畫線段時要畫出兩個端點,且不能超出兩個端點之外. 生 4:將線段向一個方向無限延長就形成了射線.射線雖然有一個端點,但它可以向另一 個方向無限延伸,所以它沒有長短,因此不可以度量.畫射線要畫出一個端點,且向一方延伸. 生 5:將線段向兩個方向無限延長就形成了直線.直線沒有端點,不可以度量.畫直線時 可以畫一條直的線或在線上標注兩個點給人以無限延伸的形象. 5 設計意圖 在具體的情景中理解線段、射線、直線的定義,并了解線段、射線、直線 的畫法. 思路二 問題:在數(shù)學里,我們常用字母表示圖形.一個點可以用一個大寫字母表示,如圖“”, 這個點可以表示成點A,那么一條線段、一條射線、一條直線又該怎樣表示呢?請同學們自 主學習線段、射線、直線的表述方法.(教材第 106 頁) 處理方式 學生自主學習,用自己的語言總結、敘述線段、射線、直線的表述方法, 教師補充并借助多媒體. (1)線段的圖形及表示方法. 用兩個端點的大寫字母來表示,或用一個小寫字母表示,如圖(1)所示,可以寫成線段 AB、線段BA、線段a. (2)射線的圖形及表示方法. 射線的表示:用它的端點和射線上的另一點來表示,如圖(2)所示,可以寫成射線AB.同 時注意引導歸納:這兩個點的排列順序不能互相交換,表示端點的字母必須寫在另一個字母 的前面,也不能用一個小寫字母表示. (3)直線的圖形及表示方法. 用直線上的兩個點來表示或用一個小寫字母來表示,如圖(3)所示,可以寫成直線AB、 直線BA、直線l. 探究活動 3 從生活中尋找線段、射線、直線 生活中,有哪些物體可以近似地看作線段、射線、直線?學生討論后舉例子,如:吃飯的 筷子、鉛筆給我們以線段的形象;手電筒、激光筆射出的光線都給我們以射線的形象;高速 路上的白色實線等給我們以直線的形象. 設計意圖 讓學生充分交流,豐富線段、射線、直線的生活背景,進一步鞏固所學的 線段、射線、直線的知識,并從中使學生感受現(xiàn)實生活中含有大量的數(shù)學信息,提高學習興 趣,培養(yǎng)學生分析、解決問題的能力. 探究活動 4 線段、射線、直線的區(qū)別 思路一 觀察圖形,你能發(fā)現(xiàn)直線、射線、線段的聯(lián)系和區(qū)別嗎? 圖形名 稱 圖形表示方法端點個數(shù)延伸性 能否度 量 線段 線段a線段AB線段 BA 2 個不能延伸可度量 射線射線OA1 個 向一方無限 延伸 不可度 量 直線 直線l直線AB直線 BA 無端點 向兩個方向 無限延伸 不可度 量 注意:射線的端點字母要放在前面,用一個字母表示線段、直線時要用小寫字母. 設計意圖 讓學生自己總結歸納,通過比較直線、射線、線段的聯(lián)系和區(qū)別,加深學 生理解線段、射線、直線的概念,以及它們的區(qū)別與聯(lián)系,進一步發(fā)展學生抽象概括的能力. 思路二 填寫表格: 圖形名稱圖形表示方法 端點個數(shù)延伸性能否度量 線段 射線 6 直線 處理方式 學生積極思考,與同伴交流、合作探索,教師巡視,留意學生合作交流的情 況,適時指導,對學生的回答做出積極評價,同時借助多媒體給出的表格尋求線段、射線、直 線的區(qū)別和聯(lián)系. 猜猜看:你能說出下列謎語的謎底嗎? (1)有始有終打一線的名稱. (2)有始無終打一線的名稱. (3)無始無終打一線的名稱. 設計意圖 讓學生主動參與活動、參與數(shù)學概念、數(shù)學思維的形成過程.感受線段、 射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系,最后舉例加以驗證,有利于培養(yǎng)學生的歸納、比較、抽象、概括 等能力.有趣的謎語增強了學生的感性認識,有助于學生進一步認識和記憶三線的概念. 鞏固練習(一) 請用兩種方式分別表示出右圖中的兩條直線,點O是兩條直線的公共點.根據直線的兩 種表示方法可以表示為:直線BO或直線m,直線AO或直線n. 設計意圖 鞏固直線、射線、線段的表示方法,訓練圖形語言與文字語言的相互轉化. 探究活動 5 直線的性質 出示問題:做一做. (1)過一個點A可以畫幾條直線? (2)過兩點A,B可以畫幾條直線? (3)如圖所示,如果將一根細木條固定在墻上,至少需要幾個釘子?它的依據是什么? 分析:過一個已知點可以畫無數(shù)條直線,過兩個已知點可以畫出直線但只能畫一條直線. 處理方式 引導學生動手畫圖,自主思考,相互討論,描述從操作中所發(fā)現(xiàn)的結論,與 學生共同總結直線性質并板書“經過兩點有且只有一條直線”. 注意: (1)“有”表示存在性,“僅有”表示唯一性. (2)直線的性質還可以說成“兩點確定一條直線”. 設計意圖 學生通過動手畫圖,培養(yǎng)幾何作圖能力,并在作圖過程中發(fā)現(xiàn)直線的某些 性質. 鞏固練習(二) 如右圖所示,木匠師傅鋸木料時,一般先在木料上畫出兩個點,然后過這兩點彈出一條墨 線,這是為什么? 生:根據直線的基本性質“經過兩點有一條直線,并且只有一條直線”,經過木料上畫出 的兩個點能彈出一條筆直的墨線,而且只能彈出一條這樣的墨線. 師:請你舉出一個能反映“經過兩點有且只有一條直線”的實例. 生 1:射擊時,目標在準星和缺口確定的直線上. 生 2:耕完地以后打畦田,先由兩頭確定直線,再畫石灰線. 生 3:建筑工地壘墻時要掛線. 設計意圖 給學生足夠的時間,并鼓勵他們積極思考,使學生聯(lián)系實際,達到學以致用 的目的. 探究活動 6 拓展探索,實現(xiàn)創(chuàng)新 出示問題:通過畫圖分析,填空. 7 (1)當直線a上標有一個點時,可得到 條射線, 條線段; (2)當直線a上標有兩個點時,可得到 條射線, 條線段; (3)當直線a上標有三個點時,可得到 條射線, 條線段; (4)當直線a上標有四個點時,可得到 條射線, 條線段; (5)當直線a上標有n個點時,可得到 條射線, 條線段. 分析:借助圖形探索規(guī)律,可得:當直線a上標出一個點時,可得到 2=21 條射線,0 條 線段;當直線a上標出兩個點時,可得到 4=22 條射線,1 條線段;當直線a上標出三個點時,可 得到 6=23 條射線,3=1+2 條線段;當直線a上標出四個點時,可得到 8=24 條射線, 6=1+2+3 條線段;當直線a上標出n個點時,可得到 2n條射線,條線段. 設計意圖 通過“數(shù)線段”的活動,拓寬學生的思路,提高學生的思維能力,引發(fā)學生 將一些生活問題轉化為數(shù)學問題來思考. 知識拓展 1.線段無粗細之分,有兩個端點.理解線段的概念要掌握它的三個特征:直 的、有兩個端點、可以度量. 2.射線:將線段向一個方向無限延長就形成了射線.手電筒、探照燈等射出來的光線可 以近似地看成射線.射線的特點:直的、有一個端點、向一方無限延伸. 3.直線:將線段向兩個方向無限延長就形成了直線.直線的特點:直的、沒有端點、向兩 方無限延伸. 4.經過兩點有且只有一條直線,可以簡述為:兩點確定一條直線.“有且只有”中的“有” 表示存在性,“只有”表示唯一性,“確定”與“有且只有”的意義相同. 1.線段、射線、直線的概念. 2.線段、射線、直線的表示方法. 3.直線的性質:(1)兩條直線相交,只有一個交點.(2)經過兩點有且只有一條直線,可以 簡述為:兩點確定一條直線. 1.手電筒射出來的光線給我們的形象是( ) A.線段 B.射線 C.直線 D.折線 解析:手電筒射出來的光線是向一方無限延伸的,只有射線符合這個特點.故選 B. 2.經過A,B,C三點的任意兩點,可以畫出的直線條數(shù)為 ( ) A.1 或 2 B.1 或 3 C.2 或 3 D.1 或 2 或 3 解析:當三點在同一條直線上時,可以畫出一條直線;當三點不在同一條直線上時,可以 畫出三條直線,故選 B. 3.線段有 個端點,射線有 個端點,直線 端點. 解析:線段有兩個端點,射線有一個端點,直線沒有端點. 答案:兩 一 沒有 4.在直線l上取三點A,B,C,共可得 條射線, 條線段. 解析:從直線上的一點向兩方取射線可以得到 2 條,三個點可以得到 6 條射線,3 條線段. 答案:6 3 5.要把木條固定在墻上至少需要釘 個釘子,依據是 . 解析:由兩點確定一條直線可知至少需要兩個釘子. 答案:兩 兩點確定一條直線 1 線段、射線、直線 1.線段 2.射線 3.直線 4.線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系 8 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第 108 頁習題 4.1 的 1,2 題. 【選做題】 教材第 108 頁習題 4.1 的 3,4 題. 二、課后作業(yè) 【基礎鞏固】 1.如圖所示,下列不正確的幾何語句是( ) A.直線AB與直線BA是同一條直線 B.射線OA與射線OB是同一條射線 C.射線OA與射線AB是同一條射線 D.線段AB與線段BA是同一條線段 2.如圖所示,觀察圖形,下列說法正確的個數(shù)是( ) 直線BA和直線AB是同一條直線;射線AC和射線AD是同一條射線;三條直線兩兩相 交時,一定有三個交點. A.1 B.2 C.3 D.0 【能力提升】 3.已知點B,C在線段AD上,下圖中以A為一個端點的線段有幾條?以B為一個端點的線段有 幾條?以C為一個端點的線段有幾條?以D為一個端點的線段有幾條?圖中共有多少條線段? 請分別表示出來. 4.如圖所示,A,B,C,D 四個圖形中各有一條射線和一條線段,它們能相交的是( ) 【拓展探究】 5.按要求作圖: 如圖所示,在同一平面內有四個點A,B,C,D.畫射線CD;畫直線AD;連接AB;畫直線 BD與直線AC相交于點O. 6.閱讀下表: 線段AB上的點數(shù)n(包括A,B兩點) 圖例線段總條數(shù)y 33=1+2 9 46=1+2+3 510=1+2+3+4 6 解答下列問題: (1)在表中空白處分別畫出圖形,寫出線段總條數(shù); (2)猜測線段總條數(shù)y與線段上的點數(shù)n之間有什么關系; (3)當n=10 時,計算y的值. 【答案與解析】 1.C(解析:射線OA與射線AB不是同一條射線,因為端點不同.) 2.B(解析:直線BA和直線AB是同一條直線,正確;射線AC和射線AD是同一條射線,都 是以A為端點,同一方向的射線,正確;三條直線兩兩相交時,一定有三個交點,錯誤,也可 能只有一個交點.所以共有 2 個正確的.故選 B.) 3.解:3 條,分別是線段AB,AC,AD;3 條,分別是線段BA,BC,BD;3 條,分別是線段CA,CB,CD;3 條,分別是線段DC,DB,DA.圖中共有 6 條線段,分別為線段AB,AC,AD,BC,BD,CD. 4.C(解析:直線的特點是兩端都沒有端點、可以向兩端無限延伸;射線是有一個端點,向一端 可以無限延伸;線段是有限的長度,不能無限延伸,可以測量.故選 C.) 5.解:如圖所示. 6.解析:當n=3 時,線段總條數(shù) 3=1+2=;當n=4 時,線段總條數(shù) 6=1+2+3=;當n=5 時,線段總條 數(shù) 10=1+2+3+4=;當點數(shù)為n時,線段總條數(shù)y=. 解:(1)圖形如圖所示,線段總條數(shù)為 15=1+2+3+4+5. (2)y=. (3)當n=10 時,y=45. 在這次教學活動中,利用多媒體為學生創(chuàng)設了生動、直觀的活動情景,充分調動了學生 的學習積極性.采用了探究式教學模式,充分發(fā)揮了學生的主體作用,體現(xiàn)了學生自主學習、 合作學習、探究學習、操作學習的數(shù)學學習策略,使學生真正成為課堂的主人. 在設計中沒有關注學生的人文價值和情感態(tài)度,沒有及時鼓勵學生的積極參與與探究的 信心. 教師及時參與到學生的學習小組,發(fā)現(xiàn)問題并及時解決問題. 隨堂練習(教材第 107 頁) 1.解:例如:栽樹時只要確定兩個樹坑的位置,就能確定一行樹坑所在的直線. 2.提示:選擇的字母不同,表示就不同. 習題 4.1(教材第 108 頁) 1.解:直線AO或直線n;直線OB或直線m. 10 2.解:如圖所示. 3.解:經過兩點有且只有一條直線. 4.解:(1)如圖(1)所示,為敘述方便,可以給原圖的 7 根火柴棒編上號,分別去掉原圖的火柴 棒,就可以擺出 1,2,3,4,5,6,7,9,0 九個數(shù)字. (2)如字母 B 可以用如圖(2)所示的圖形表示,其他略. 教法:采用讓學生自學、回顧、探究、反思、自評的教學方式,讓學生的主體地位得到 充分體現(xiàn);從學生好奇、好學、好問、好動手等心理特點出發(fā),通過作圖、問答反思等方式 充分暴露學生的思維;同時結合學生的生活經驗,把理論與實際的應用合為一體,幫助學生在 學習的過程中理解、掌握新知識,提高他們的自學能力和解決實際問題的能力. 學法:引導學生主動探索,發(fā)現(xiàn)問題;互動合作,解決問題;歸納概括,形成能力. 指出圖中線段、射線、直線分別有多少條,并把線段表示出來. 解析 數(shù)線段時從一端數(shù),不回頭;數(shù)射線時找端點,一個端點兩條射線. 解:線段有 3 條,分別為線段AB,線段AC,線段BC.射線有 6 條.直線有 1 條. 解題策略 引導學生回想前面所學線段、射線、直線表示方法的區(qū)別與聯(lián)系,說一 說怎樣表示線段、射線、直線,然后讓學生完成本道題的回答,最后教師提問、點撥怎樣數(shù) 線段、射線、直線. 2 比較線段的長短 1.直觀理解兩點之間線段最短的性質. 11 2.能夠用圓規(guī)畫一條線段與已知線段等長. 3.利用直尺和圓規(guī)等簡單工具比較兩條線段的長短. 學生通過自主學習,在生活經驗中獲得知識,并通過實際操作掌握正確的作圖方法. 1.感受數(shù)學無處不在. 2.使用工具解決數(shù)學問題的意識和能力. 【重點】 1.在觀察和實踐的基礎上認識“兩點之間線段最短的性質”. 2.會使用直尺和圓規(guī)比較兩條線段的長短. 【難點】 1.使用圓規(guī)進行作圖. 2.使用直尺等工具比較兩條線段的長短. 【教師準備】 多媒體課件. 【學生準備】 預習教材. 導入一: 過渡語 同學們,老師今天想考考你們的眼力如何?看看誰具有一雙慧眼. 問題 1 如圖所示,從A地到B地共有五條路,小紅應選擇第 條路最近. 生:選擇第條路最近. 師:你具有一雙慧眼,根據生活經驗,可以發(fā)現(xiàn)“兩點之間的所有連線中,線段最短”,我 們把這一事實簡述為“兩點之間,線段最短”,把兩點之間線段的長度叫做兩點之間的距離. 問題 2 圖中兩條線段a與b的長度誰長誰短? 生 1:a長. 生 2:一樣長. 師:看來這個問題挺有迷惑性哦,實際上a與b的長度一樣長,在現(xiàn)實生活中有很多事情 12 我們不能光憑直覺,還需要用事實來說明,今天老師將和同學們一起來學習有關比較線段長 短的方法. 設計意圖 問題 1 通過對尋找最短路徑的設計引出線段的性質及兩點之間距離的概 念,問題 2 的設計主要是想讓學生明確數(shù)學的嚴謹,不能只通過眼睛來看問題,從而引出比較 線段長短的必要性. 導入二: 師:什么叫線段、射線和直線?它們之間的聯(lián)系和區(qū)別是什么? 讓學生觀察如圖所示的圖片(多媒體出示圖片),并回答兩點之間什么最短. 處理方式 第 1 問學生口述,第 2 問由第 1 問作為基礎,這時教師要恰當引導,以問題 的形式提示,例如:這樣做好不好?不好,為什么還要這樣做?這其中蘊含著怎樣的數(shù)學道理? “抄近路”就是運用兩點之間線段最短的原理,學生會很快接受這個道理.學生容易發(fā)現(xiàn)結 論:兩點之間的所有連線中,線段最短,可以簡述為:兩點之間線段最短.教師適時補充定義: 兩點之間線段的長度,叫做這兩點之間的距離. 設計意圖 利用生活中可以感知的新聞情境,極大激發(fā)學習興趣,使學生感受生活中 所蘊含的數(shù)學道理.學生水到渠成知道兩點之間線段最短,并學習兩點間的距離的定義. 探究活動 1 探究性質“兩點之間線段最短” 出示問題:如圖所示,從A地到C地有四條路,哪條路最近? 處理方式 點名讓學生選擇自己要走的路,從A到C地的四條路中,一般地,人們會 走中間的直路,而不會走其他曲折的路,如果把這些路看成各種形狀的線,顯然線段AC最短, 進而引導學生得出結論:兩點之間的所有連線中,線段最短.可以簡述為:兩點之間線段最短. 設計意圖 學生通過觀察得出結論,增強對圖形的直觀體驗,感受到發(fā)現(xiàn)的樂趣,從而 產生學習數(shù)學的成就感. 從上面的例子中可以發(fā)現(xiàn)線段AC最短,我們把兩點間線段的長度叫做兩點之間的距離. 那么線段AC的長度就是A與C兩點之間的距離. 兩點間的距離是長度,是一個數(shù)量,而不是 線段圖形本身. 跟蹤練習 小狗、小貓為什么都選擇直的路? 處理方式 學生一定會給予肯定的回答,重點引導學生解釋原因:兩點之間線段最短. 設計意圖 通過學生喜歡的漫畫增強對知識的理解與應用. 13 思路一 活動內容 教材議一議的內容. 問題 1 怎樣比較兩棵樹的高矮?怎樣比較兩根鉛筆的長短?怎樣比較窗框相鄰兩邊的長? 問題 2 在黑板上畫出兩條線段,同時讓學生在草稿紙上畫出兩條線段,讓學生思考、討論比較 方法. 處理方式 先在具體問題中設問,讓學生自由發(fā)言,使他們在解答問題中形成認知沖 突,激發(fā)學生的解決問題的熱情.然后教師點明課題:把兩棵樹的高度、兩根鉛筆的長、窗框 相鄰兩邊的長看成兩條線段,怎么比較它們? 設計意圖 利用生活中可以感知的情景,極大激發(fā)學習興趣,使學生感受生活中所蘊 含的數(shù)學道理.讓學生感受從實際問題中抽象出所要比較的線段大小的過程. 動手實踐:怎樣比較下面兩條線段的長短呢? 圖(1)將線段AB移到線段CD上,使線段AB的端點A與線段CD的端點C重合,若端點B 與端點D重合,則得到線段AB等于線段CD,可以記為AB=CD.圖(2)將線段AB移到線段CD上,使 線段AB的端點A與線段CD的端點C重合,若端點B落在線段CD上,則得到線段AB小于線 段CD,可以記作ABCD. 重疊比較法:將兩條線段的各一個端點對齊,另外兩點在重合點的同側,再看另一個端點 的位置. 設計意圖 學生通過親身實踐,感受知識的形成過程,培養(yǎng)學生的動手、動腦、動口 能力.學生歸納兩條線段的長短關系,進而向學生滲透分類的思想. 跟蹤練習 如圖所示,比較折線AB和線段CD的長短,你有什么方法?需要什么工具? 處理方式 讓學生獨立思考完成,找學生代表回答并演示. 生:我可以用度量法,折線AB可以一段一段地測量然后相加,線段CD可以直接測量,就 可以比較長短了.所以我只需要刻度尺就可以了.我還有一種方法,利用圓規(guī)把折線一段一段 放到線段CD上就可以比較了.所以我只需要圓規(guī)就可以了. 設計意圖 開拓學生思維,學以致用,順其自然地過渡到用尺規(guī)作一條線段等于已知 線段. 思路二 14 活動內容 怎樣比較兩條線段的長短? 方法一: 測量法 (工具:可用刻度尺). 教師利用多媒體演示. 方法二:疊合法 (工具:可用圓規(guī)). 教師利用多媒體演示. 度量法:即用一把刻度尺量出兩條線段的長度,再進行比較,如圖所示. 4.1 cm3.1 cm 疊合法:起點對齊,看終點. (1)如果點B與點D重合,記作AB=CD,如圖(1)所示. (2)如果點B在線段CD的延長線上,記作ABCD,如圖(2)所示. (3)如果點B在線段CD上,記作ABCD. 說明:如果兩條線段的長短相差很大,就可以直接觀測進行比較. 設計意圖 師生交流并歸納出線段長短的比較方法,教師用多媒體演示比較過程,先 讓學生動手操作,獨立完成,更能加深學生的體會,這樣的設計能讓學生體會方法的獲得過程.應 關注全體學生,充分調動他們的積極性,讓他們廣泛參與、積極主動地學習. 探究活動 2 探索作一條線段等于已知線段(尺規(guī)作圖) 尺規(guī)作圖:只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)畫圖稱為尺規(guī)作圖. 示范作圖:同學們對比較線段長短的方法掌握得很好,下面我們一起探究一下如何用圓 規(guī)作一條線段等于已知線段. 演示畫法:如圖所示,已知線段AB, 先作一條射線AC; 用圓規(guī)量取已知線段AB的長度; 在射線上截取AB=AB,線段AB就是所求的線段. 跟蹤練習 已知線段a,b,畫一條線段c,使它的長度等于a+b. 設計意圖 這里是學生第一次應用直尺、圓規(guī)進行基本作圖,必須予以充分重視.首 15 先要教學生正確地使用圓規(guī),然后要求學生明確對作圖工具的規(guī)定,作完圖要標注字母,寫出 結果. 探究活動 3 探索中點的概念及應用 思路一 過渡語 同學們如何找到一條繩子的中點呢? 處理方式 (拿出準備好的繩子)這個很簡單,對折一下就可以得到中點了.學生可以 有多種方法,激發(fā)學生的創(chuàng)新思維. 設計意圖 學生通過游戲,抽象出線段的中點.學生從玩過的游戲中學到線段中點的 有關知識,既降低了學習知識的難度,又激發(fā)了學生學好數(shù)學的信心. 出示問題:誰可以描述一下中點的概念呢?(對照圖形,如圖所示)你是否可以把他們之間 的關系表示出來呢? 點M把線段AB分成相等的兩條線段AM和BM,點M是線段AB的中點.板書AM=MB=AB 或AB=2MB=2AM 設計意圖 通過游戲將抽象的問題簡單化,揭示了線段中點的主旨,又將簡單的問題 公式化,使知識得到升華,培養(yǎng)了學生分析問題的能力. 思路二 師:如圖所示,在圖中,點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM,則點M叫做線段AB 的中點. 若M是線段AB的中點,則AM,BM,AB間有怎樣的數(shù)量關系? 生 1:AM=BM=AB. 生 2:AB=2AM=2BM. 師:若AM=BM=AB,則說明什么問題? 生 3:M是線段AB的中點. 師:若AB=3 cm,你能求出其他兩條線段的長嗎? 生 4:因為M是線段AB的中點,所以AM=BM=1.5 cm. 師:若AM=2 cm,你能求出其他兩條線段的長嗎? 生 5:因為M是線段AB的中點,所以BM=2 cm,AB=4 cm. 師:如果M不是線段AB的中點,是否還具有這樣的性質呢? 生 6:不具有. 師:這是中點特有的性質,所以同學們在利用中點求線段的長度的時候一定要看清楚條 件. 知識應用,鞏固提高 (教材做一做)如圖所示,在直線l上順次取A,B,C三點,使得AB=4 cm,BC=3 cm,如果O 是線段AC的中點,那么線段OB的長度是多少? 解:因為AB=4 cm,BC=3 cm, 所以 AC=AB+BC=7 cm. 因為 點O是線段AC的中點, 所以OC=AC=3.5 cm. 所以OB=OC - BC=3.5 - 3=0.5(cm). 答:線段OB的長為 0.5 cm. 16 設計意圖 進一步鞏固中點概念,熟練應用中點進行解題,注意數(shù)形結合及分類思想. 知識拓展 1.兩點之間的連線,可能是筆直的,也可能是彎曲的,在這些線中,筆直的 線(即連接兩點的線段)是最短的. 2.兩點間的距離是指線段的長度,是一個數(shù),而不是線段本身,線段本身是一個圖形. 3.比較兩棵樹的高度、兩支鉛筆的長短實質都是比較兩條線段的長短,比較兩條線段的 長短的方法一般為度量法和疊合法. 1.線段的基本性質:兩點之間線段最短. 2.兩點之間的距離:兩點之間線段的長度. 3.線段的兩種比較方法:疊合法和度量法. 4.線段的中點的概念及表示方法. 1.把彎路改成直路,就能夠縮短行程,其道理用幾何知識解釋為 . 答案:兩點之間線段最短 2.點A,B,C在同一直線上,AB=4 cm,BC=7 cm,則AC的長為 . 答案:11 cm 或 3 cm 3.如圖所示,AB=8 cm,AC=13 cm.設點E,F分別是線段AB,AC的中點,求線段EF的長. 解:因為F是線段AC的中點, 所以AF=AC= cm. 又因為E是線段AB的中點, 所以AE=AB=4 cm. 所以EF=AF - AE= - 4=(cm). 所以EF的長為 cm. 4.如圖(1)所示,已知線段a,b,c,用尺規(guī)作圖作一條線段l,使l=2a+b - c. 解:如圖(2)所示,線段AC即是所求作的線段. 2 比較線段的長短 1.線段的性質:兩點之間線段最短 2.兩點之間的距離 3.比較線段長短的方法 (1)度量法 (2)疊合法 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第 112 頁習題 4.2 的 1,2 題. 【選做題】 教材第 113 頁習題 4.2 的 3,4 題. 二、課后作業(yè) 【基礎鞏固】 1.如圖所示,從A到B有 3 條路線,最短的路線是,理由是 ( ) 17 A.因為是直的 B.兩點確定一條直線 C.兩點間距離的定義D.兩點之間線段最短 2.下列說法正確的是( ) A.兩點之間的連線中,直線最短 B.若P是線段AB的中點,則AP=BP C.若AP=BP, 則P是線段AB的中點 D.兩點之間的線段叫做兩點之間的距離 3.已知A,B兩點之間的距離是 10 cm,C是線段AB上的任意一點,則AC中點與BC中點間的 距離是( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.不能計算 4.如圖所示的四條線段中,最短的一條線段是( ) A.aB.bC.cD.d 【能力提升】 5.已知兩條線段的差是 10 cm,這兩條線段的長度比是 23,求這兩條線段的長. 6.(1)如圖所示,圖中共有幾條線段?分別表示出這些線段; (2)若CB=4 cm,AB=10 cm,且D是AC的中點,求AD的長. 【拓展探究】 7.已知線段AD=6 cm,BD=2 cm,C是線段AD的中點,AD,BD在一條直線上,求線段BC的長度. 【答案與解析】 1.D(解析:兩點之間的所有連線中,線段最短.簡述為:兩點之間線段最短.故選 D.) 2.B(解析:選項 A 中,兩點之間的連線中,直線最短,錯誤;選項 C 中,若AP=BP, 則P是線段 AB的中點,錯誤;選項 D 中,兩點之間的線段叫做兩點之間的距離,錯誤.故選 B.) 3.C(解析:AC+BC=AB,AC的中點與BC的中點間的距離=AB=5 cm.故選 C.) 4.B(解析:采用度量法或疊合法,能得出正確結果為 B.) 5.解:設這兩條線段的長度分別為 2x cm 和 3x cm,則 3x - 2x=10,解得x=10,所以 2x=20,3x=30. 答:這兩條線段的長度分別為 20 cm 和 30 cm. 6.解:(1)有 6 條線段,分別是:AD,AC,AB,DC,DB,CB. (2)CB=4 cm,AB=10 cm,AC=AB - CB=10 - 4=6(cm),D是AC的中點,AD=AC=6=3(cm). 7.解:如圖(1)所示,因為AD=6 cm,C是線段AD的中點,所以CD=AD=3 cm,又BD=2 cm,所以 BC= CD - BD=3 - 2=1(cm);如圖(2)所示,因為AD=6 cm,C是線段AD的中點,所以CD=AD=3 cm, 又BD=2 cm,所以BC=CD+BD=3+2=5(cm).所以BC=1 cm 或 5 cm. 學生成功地正確理解兩點之間的距離和線段的中點的概念;能用直尺和圓規(guī)作一條線段 18 等于已知線段;能用直尺、圓規(guī)等工具比較兩條線段的長短.在理解兩點之間的距離的過程 中,用比較具體的事物、事實為依據,知識的形成水到渠成,知識運用得準確靈活,讓學生直 觀的認識,學生接受起來就比較容易、輕松. 學生的創(chuàng)新思維沒有得到提高,部分學生的學習積極性不高,對利用線段的中點求解線 段的長度掌握得不好. 與學生之間的互動與交流要加強,要鼓勵學生,發(fā)現(xiàn)他們的閃光點,給他們信心,讓他們 能夠自主地融入課堂,快樂地學習. 要注意滲透數(shù)形結合的思想,這對學生的學習非常有益. 隨堂練習(教材第 112 頁) 1.解:比較的方法有多種,例如,測量、用圓規(guī)截取、借助細線等. 習題 4.2(教材第 112 頁) 1.解:(1)線段AB比線段CD短;(2)線段AB比線段CD短;(3)從短到長依次為線段CD、線段 AD、線段BC、線段AB. 2.解:如圖所示.(1)作射線AM.(2)以點A為圓心,以a 長為半徑作弧交AM于點B.(3)以點B為圓心,以b長為半徑畫弧,交射線BM于點C.則線段 AC即為所求. 3.解:如圖所示,AC=4 cm,BD=6 cm,CD=8 cm. 4.解:原四邊形的周長大,因為兩點之間線段最短.如果是一個五邊形或一個六邊形,結論仍 然成立. 將數(shù)形結合的思想滲透給學生,使學生對數(shù)與形有一個初步的認識,為將來的學習打下 基礎,它為學生的思維開拓了一個新的天地,不應只是教給學生比較線段的方法,而要從數(shù)形 結合的高度去認識.在教知識的同時,教給學生一種很重要的數(shù)學思想. 如圖所示,已知線段AD=10 cm,線段AC=BD=6 cm,E,F分別是線段AB,C D的中點,求 EF的長. 解:因為AD=AC+CD=AC+(BD - BC)=AC+BD - BC, 又因為AD=10 cm,AC=BD=6 cm, 所以 10=6+6 - BC,所以BC=2 cm, 所以AB=CD=4 cm, 因為E,F分別是線段AB,CD的中點, 所以EB=AB=2 cm,CF=CD=2 cm, 19 所以EF=EB+BC+CF=2+2+2=6(cm). 3 角 1.從現(xiàn)實生活中認識和形成角的概念. 2.認識度、分、秒的概念,能夠進行簡單的度、分、秒之間的換算. 3.掌握角的表示方法,能夠使用量角器對角度進行測量. 從豐富的現(xiàn)實生活中觀察并抽象出角的數(shù)學模型,在學習角的表示和測量中形成角度的 正確觀念. 1.認識生活中無處不在的角度的實例,感受學習數(shù)學的樂趣. 2.經歷從特殊到一般、從具體到抽象的概念的形成過程,培養(yǎng)數(shù)學建模的思想. 【重點】 1.角的概念及其表示方法. 2.度、分、秒的概念和角度在不同單位之間的相互轉換. 【難點】 正確使用量角器進行角度的測量. 【教師準備】 多媒體課件. 【學生準備】 預習教材. 導入一: 過渡語 同學們,通過以上幾節(jié)課的學習,我們認識了幾種簡單的幾何圖形:直線、射 線和線段,而通過小學階段的學習我們對角也有了初步的認識.你能在下列圖片中找到角嗎? 多媒體展示: 處理方式 學生觀察圖片并用自己的語言表述圖片中的角,教師再通過多媒體用不同 20 的線將角標記出來. 設計意圖 通過觀察生活中含有角的圖片的實例吸引學生,激發(fā)學生的學習興趣,增 強學生對角的直觀感受. 導入二: 過渡語 前幾節(jié)我們具體研究了小學時初步認識的直線、射線、線段.另外,我們還 認識了另一種幾何圖形角.你能說出幾個日常生活中給我們角的形象的物體嗎? 師:我們已經學習過角,對角有了一定的了解,觀察圖形,你能在下圖中找出并畫出角嗎? 處理方式 學生通過觀察加上小學的基礎從圖形中很快就能找到角,再通過舉例加深 對角的認識,讓他們深刻領會角是現(xiàn)實生活中最基本的圖形. 設計意圖 為了更形象、更直觀,用多媒體展示一些實物圖形,讓學生說出日常生活 中給我們角的形象的物體,充分發(fā)揮學生的想象力,培養(yǎng)其觀察事物的習慣,同時,活躍課堂 氣氛,調動學生學習的積極性,也培養(yǎng)了學生從具體實物圖形中抽象出幾何圖形的能力. 探究活動 1 角的概念一(靜態(tài)定義) 出示問題:角在生活中無處不在,而在數(shù)學的學習中,角是如何定義的呢?構成角的要素 有哪些?與角有關的概念又有哪些?用什么方法可以表示一個已知的角呢? 師:帶著這些問題請同學們閱讀教材第 114 頁“做一做”之前的內容. 處理方式 讓學生帶著問題閱讀教材第 114 頁“做一做”之前的內容. 設計意圖 通過自學,培養(yǎng)學生對教材的領悟能力. 探究活動 2 精析角的靜態(tài)定義、與角有關的概念及角的表示方法 思路一 多媒體展示: (1)由兩條具有公共端點的射線組成的圖形叫做角.兩條射線叫角的邊,兩條射線的公共 端點是這個角的頂點. (2)角的表示方法,如圖所示. 角的表示方法小結: 用三個大寫字母表示,如AOB或BOA;用一個大寫字母表示,如O;用一個希 臘字母表示,如;用一個數(shù)字表示,如1. 注意:用三個大寫字母表示一個角時,頂點字母一定要寫在中間;用頂點字母表示角時, 以該點為頂點的角只能是一個角. 處理方式 (1)先由學生回答,對于不對的地方教師要給予補充,重點內容要進行板書,教 學時要引導學生關注:每個角都有兩條邊,這兩條邊都是射線;角的頂點是兩條射線的公共端 點;頂點、兩邊是構成角的兩個要素.(2)讓學生先自學角的表示方法,然后師生共同歸納,這 21 樣一方面節(jié)約教學時間,另外一方面加深學生的記憶,特別是一個字母或三個字母表示角易 錯,教師要特別強調說明. 設計意圖 通過教師的講解與強調可以彌補學生在自學中對教材理解的不足.通過師 生共同的總結與歸納可以使知識更加系統(tǒng)、有條理. 思路二 角的靜止觀點定義的得出 過渡語 同學們請觀察,角的兩邊是前面我們學過的什么圖形?它們的位置關系如何? 你能否根據自己的理解和剛才老師的提問描述一下怎樣的幾何圖形叫做角? 處理方式 學生討論,然后找代表回答. 教師在學生回答的基礎上給予糾正和補充, 最后給出角的正確定義. 角:有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角,這個公共端點叫角的頂點,這兩條射線叫 角的兩邊. 出示問題:角的大小與角兩邊的長短有關系嗎? 處理方式 學生討論并演示:拿大小不同的兩副三角板或學生的三角板與教師的三角 板對比演示.讓學生盡可能地發(fā)表自己的看法和觀點. 教師小結:角的兩邊既然是射線,則可以向一方無限延伸,所以角的大小與所畫角的兩邊 長短無關,僅與角的兩邊張開的程度有關. 設計意圖 角的定義的得出,不是教師以枯燥的形式強加給學生的,而是讓學生自己 在觀察圖形的過程中,由教師引導提出問題,步步追問,自覺地去認識.在問題解決的過程中, 在復習舊知識中,不知不覺學到了新知識角.這樣縮短了新舊知識間的距離,減輕了學生 心理上的壓力,使他們感到新知識并不難,在輕松愉快中學到了知識.同時也會感受到新舊知 識之間的聯(lián)系.對發(fā)展學生用普遍聯(lián)系的觀點看待事物有很好的作用. 角的表示方法 師:研究角,像直線、射線、線段一樣,可以用字母表示.下面請同學們閱讀教材第 114 頁做一做上面一自然段,總結角的表示方法有幾種,你能否準確地表示一個角并讀出來? 處理方式 學生閱讀,相互討論,然后歸納出角的幾種表示方法. 設計意圖 角的四種表示方法教材中說明得很明確,語言通俗,很易理解,學生完全可 以通過閱讀分出四個層次,四種表示角的方法.因此可以大膽放手,培養(yǎng)學生閱讀理解能力、 歸納總結能力. 處理方式 學生閱讀后,多找?guī)讉€學生回答.最后通過不斷補充、完善,歸納整理得出 角的四種表示方法. 師生總結角的四種表示方法時,對前兩種表示方法應注意的問題要加以強調.第一種表 示方法必須注意:頂點字母在中間.第二種表示方法只限于頂點只有一個角.這是以后學生書 寫過程中最易出錯的地方.另外,讓學生區(qū)分角的符號與小于號.這些應注意的問題最好由學 生討論,學生發(fā)現(xiàn)后歸納總結. 探究活動 3 嘗試成功,感知概念 活動內容 做一做.(多媒體展示) (1)你能用適當?shù)姆绞椒謩e表示下圖中的角嗎? 22 (2)在圖中能用A來表示BAC,CAD,BAD嗎? (3)將圖中的角用不同方法表示出來,并填寫下表: 134 BCAABC 處理方式 先由學生獨立完成,若有困難,可分組討論交流