高等數(shù)學(xué)第九章第3節(jié)三重積分.ppt

,第三節(jié),一、三重積分的概念,二、三重積分的計(jì)算,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,三重積分,第九章,一、三重積分的概念,類似二重積分解決問題的思想, 采用,引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的,物質(zhì),求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的,可得,“大化小, 常代變, 近似和, 求極限”,解決方法:,質(zhì)量 M .,密度函數(shù)為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,定義. 設(shè),存在,稱為體積元素,若對(duì) 作任意分割:,任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù),在上的三重積分.,在直角坐標(biāo)系下常寫作,三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.,性質(zhì):,例如,下列“乘,中值定理.,在有界閉域 上連續(xù),則存在,使得,V 為 的,體積,積和式” 極限,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、三重積分的計(jì)算,1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),方法3 . 三次積分法,先假設(shè)連續(xù)函數(shù),并將它看作某物體,通過計(jì)算該物體的質(zhì)量引出下列各計(jì)算,最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計(jì)算.,的密度函數(shù) ,方法:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,方法1. 投影法 (“先一后二” ),該物體的質(zhì)量為,細(xì)長(zhǎng)柱體微元的質(zhì)量為,微元線密度,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,方法2. 截面法 (“先二后一”),為底, d z 為高的柱形薄片質(zhì)量為,該物體的質(zhì)量為,面密度,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,投影法,方法3. 三次積分法,設(shè)區(qū)域,利用投影法結(jié)果 ,把二重積分化成二次積分即得:,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí), 因?yàn)?均為非負(fù)函數(shù),根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,小結(jié): 三重積分的計(jì)算方法,方法1. “先一后二”,方法2. “先二后一”,方法3. “三次積分”,具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù),三種方法(包含12種形式)各有特點(diǎn),被積函數(shù)及積分域的特點(diǎn)靈活選擇.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,其中 為三個(gè)坐標(biāo),例1. 計(jì)算三重積分,所圍成的閉區(qū)域 .,解:,面及平面,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 計(jì)算三重積分,解:,用“先二后一 ”,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分,就稱為點(diǎn)M 的柱坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:,坐標(biāo)面分別為,圓柱面,半平面,平面,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為,因此,其中,適用范圍:,1) 積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單 ;,2) 被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,其中為由,例3. 計(jì)算三重積分,所圍,解: 在柱面坐標(biāo)系下,及平面,柱面,成半圓柱體.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4. 計(jì)算三重積分,解: 在柱面坐標(biāo)系下,所圍成 .,與平面,其中由拋物面,原式 =,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分,就稱為點(diǎn)M 的球坐標(biāo).,直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,坐標(biāo)面分別為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為,因此有,其中,適用范圍:,1) 積分域表面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單;,2) 被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. 計(jì)算三重積分,解: 在球面坐標(biāo)系下,所圍立體.,其中,與球面,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例6.求曲面,所圍立體體積.,解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,利用對(duì)稱性, 所求立體體積為,yoz面對(duì)稱, 并與xoy面相切,故在球坐標(biāo)系下所圍立體為,且關(guān)于 xoz,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),積分區(qū)域多由坐標(biāo)面,被積函數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或,* 說明:,三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:,對(duì)應(yīng)雅可比行列式為,變量可分離.,圍成 ;,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,1. 將,用三次積分表示,其中由,所,提示:,思考與練習(xí),六個(gè)平面,圍成 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,2. 設(shè),計(jì)算,提示: 利用對(duì)稱性,原式 =,奇函數(shù),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3. 設(shè)由錐面,和球面,所圍成 , 計(jì)算,提示:,利用對(duì)稱性,用球坐標(biāo),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,作業(yè),P106 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); 10 (2) ; 11 (1),(4),第四節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,備用題 1. 計(jì)算,所圍成.,其中 由,分析：若用“先二后一”, 則有,計(jì)算較繁!,采用“三次積分”較好.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)