平面點(diǎn)集的一般概念.ppt

第三節(jié) 復(fù)平面上的點(diǎn)集,一、 復(fù)平面點(diǎn)集的一般概念,二、 區(qū)域,三、 平面曲線,一、復(fù)平面點(diǎn)集的一般概念,定義1 鄰域:,記作:N(z0),N(z0)=z | |z-z0|,記作：N0(z0)=z | 0|z-z0| ,即,定義2 內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、孤立點(diǎn),設(shè)有點(diǎn)集及一點(diǎn)z0 :, 若存在點(diǎn)z0 的某鄰域 N(z0) ,則稱 z0為的內(nèi)點(diǎn)；, 若在z0的任意一個(gè)鄰域內(nèi),都有屬于的點(diǎn),也有不屬于的點(diǎn),則稱z0為的邊界點(diǎn),點(diǎn)集的全體邊界點(diǎn)組成的集合稱為的邊界.記為：,即 z0為的孤立點(diǎn) 0: N(z0) =z0, 若z0屬于 ，但在z0某鄰域內(nèi)除z0外不含的點(diǎn)，,則稱z0為G的孤立點(diǎn),定義 有界集和無(wú)界集,有界！,如果 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那么 為開(kāi)集,定義3 開(kāi)集與閉集,平面上不屬于 的點(diǎn)的全體稱為的余集；,開(kāi)集,的余集稱為閉集,或開(kāi)集及其邊界的并集稱為閉集,二、 區(qū)域,定義5 區(qū)域,如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域,(1) D是一個(gè)開(kāi)集；,(2) D是連通的,就是說(shuō)D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來(lái).,D加上D的邊界稱為閉域，記為DD+D ,z1 ,z2 ,D,說(shuō)明,(2) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.,(1) 區(qū)域都是開(kāi)的.,以上基本概念的圖示,區(qū)域,鄰域,邊界點(diǎn),邊界,不包含邊界！,(1) 圓環(huán)域:,課堂練習(xí),判斷下列區(qū)域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 帶形域:,答案,(1)有界; (2) (3) (4)無(wú)界.,平面曲線C的復(fù)數(shù)表示:,C的實(shí)參數(shù)方程,C的復(fù)參數(shù)方程,起點(diǎn)z(),終點(diǎn)z(),C的正向：起點(diǎn)終點(diǎn),三、 平面曲線,定義6 連續(xù)曲線,例如：,復(fù)數(shù)形式為,復(fù)數(shù)形式為,或,例1,求下列方程所表示的曲線:,解,化簡(jiǎn)后得,沒(méi)有重點(diǎn)的曲線 C 稱為簡(jiǎn)單曲線(或Jordan曲線).,重點(diǎn),重點(diǎn),重點(diǎn),換句話說(shuō), 簡(jiǎn)單曲線自身不相交.,定義7 簡(jiǎn)單曲線,課堂練習(xí),判斷下列曲線是否為簡(jiǎn)單曲線?,答 案,簡(jiǎn)單 閉,簡(jiǎn)單 不閉,不簡(jiǎn)單 閉,不簡(jiǎn)單 不閉,簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)約當(dāng)定理,任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 將復(fù)平面唯一地分成C,I(C),E(C) 三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.滿足：,I(C),E(C),邊界,（1）I(C) 是一個(gè)有界區(qū)域（稱為C的內(nèi)部）.,（2）E(C) 是一個(gè)無(wú)界區(qū)域（稱為C的外部）.,（3）C是I(C),E(C)的公共邊界.,定義8 光滑曲線:,由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線.,特點(diǎn),（1）光滑曲線上的各點(diǎn)都有切線,（2）光滑曲線可以求長(zhǎng),定義9 單連通域與多連通域:,復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域D, 如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于D, 就稱為單連通域. 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多（復(fù)）連通域.,單連通域,多連通域,解,無(wú)界的單連通域(如圖).,例2 指明下列不等式所確定的區(qū)域, 是有界的還是 無(wú)界的,單連通的還是多連通的.,是角形域,無(wú)界的單連通域(如圖).,無(wú)界的多連通域.,表示到1, 1的距離之和為定值4的點(diǎn)的軌跡,是橢圓,有界的單連通域.,例3,滿足下列條件的點(diǎn)集是什么, 如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域?,是一條平行于實(shí)軸的直線,不是區(qū)域.,單連通域.,是多連通域.