數學基礎1.3方向余弦陣.ppt

理論力學CAI 版權所有, 2000 (c) 上海交通大學工程力學系,理論力學 CAI,數學基礎,方向余弦陣,前言 矩陣 矢量 方向余弦陣 平面矢量,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,2,方向余弦陣,方向余弦陣的定義 方向余弦陣的性質,方向余弦陣,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,3,方向余弦陣,方向余弦陣的定義 方向余弦陣的性質,方向余弦陣,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,4,方向余弦陣的定義,問題的提出 方向余弦陣定義,方向余弦陣/定義,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,5,方向余弦矩陣/定義,問題的提出,同一個矢量在不同基下坐標陣的關系,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,6,方向余弦矩陣/定義,問題的提出,同一個矢量在不同基下坐標陣的關系,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,7,方向余弦矩陣/定義,問題的提出,不等但有關系,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,8,方向余弦矩陣/定義,方向余弦矩陣的定義,對于兩個不同的基,定義如下3*3標量陣為基 關于基 的方向余弦矩陣,方向余弦矩陣的元素是兩基基矢量夾角的余弦,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,9,方向余弦矩陣/定義,方向余弦陣的元素的幾何意義,行陣的轉置是基 的基矢量在基 下的坐標陣,坐標陣,基矢量,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,10,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,列陣是基 的基矢量在基 下的坐標陣,坐標陣,基矢量,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,11,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,基 關于基 的方向余弦矩陣對應于如下的表,列陣是基 的基矢量在基 下的坐標陣,小結,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,12,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,例已知基 的三個基矢量在基 的坐標陣分別為,求基 關于基 的方向余弦陣,解由定義，基 關于基 的方向余弦陣,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,13,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素的幾何意義,例求圖示基 對基 方向余弦陣,其中:AB=AD=DP=1,解 基 基矢量 關于基 的坐標陣,A,D,C,B,P,基 關于基 的方向余弦陣,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,14,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,方向余弦陣元素間的關系,單位基矢量,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,15,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,三基矢量正交,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,16,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,三基矢量正交(右旋),2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,17,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,三基矢量正交(右旋),三基矢量正交,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,18,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,方向余弦陣九個元素應滿足六個的代數方程,三基矢量正交,方向余弦陣九個元素中只有三個是獨立的,單位基矢量,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,19,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,例 已知矢量 與 在基 下的坐標陣為,如果基 的基矢量 和 分別與 和 的方向一致,求 基 關于基 的方向余弦陣,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,20,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,解,基矢量 和 基 下的坐標陣為,在基 下的坐標陣為,模,基矢量,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,21,方向余弦矩陣/定義/ 方向余弦陣元素間的關系,基矢量 , j=1,2,3, 在基 下的坐標陣為,基 關于基 的方向余弦陣,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,22,方向余弦陣,方向余弦陣的定義 方向余弦陣的性質,方向余弦陣,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,23,方向余弦陣的性質,方向余弦陣/性質,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,24,方向余弦陣/性質,性質1:,基 關于基 的方向余弦陣 與基 關于基 的方向余弦陣 互為轉置,證明,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,25,方向余弦矩陣/性質,性質2:,當兩個基的基矢量的兩兩方向一致，則它們的方向余弦陣為三階單位陣,證明,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,26,方向余弦矩陣/性質,性質3:,若有三個基 、 與 。其中基 關于基 和基 關于基 的方向余弦陣分別為 與 ，則基 關于基 的方向余弦陣 為,此關系可推廣到有限個基的方向余弦陣轉換,證明,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,27,方向余弦矩陣/性質,性質4:,方向余弦陣是一正交陣,證明,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,28,方向余弦矩陣/性質,性質5:,不同基下坐標陣之間的關系式為,證明,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,29,方向余弦矩陣/性質,性質6:,不同基下的坐標方陣之間的關系式為,考慮矢量式 的坐標陣的運算式,證明,引入任意矢量,對于任意矢量,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,30,基 關于基 的方向余弦陣,方向余弦矩陣/定義/方向余弦陣元素間的關系,例 已知矢量 與 的坐標陣,求標量 與 在基 下的坐標陣表達式,解,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,31,方向余弦矩陣/性質,性質7:,方向余弦陣的行列式等于1,證明,2019年7月8日,理論力學CAI 數學基礎,32,方向余弦矩陣/性質,例求矢量