導(dǎo)數(shù)的概念2可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.ppt

,2.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念 -可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,2019年7月10日星期三,導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處及其附近有定義,當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有改變量x時(shí)函數(shù)有相應(yīng)的改變量y=f(x0+ x)- f(x0).如果當(dāng)x0 時(shí),y/x的極限存在,這個(gè)極限就叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)記作 即:,復(fù)習(xí)：,1.導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問題中抽象出來的具有相同的數(shù) 學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念，要從它的幾何意義和物 理意義了解認(rèn)識(shí)這一概念的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)用事物在全過程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài)。,3）由于,稱為,f (x)在x0的右導(dǎo)數(shù).,稱為,f (x)在x0的左導(dǎo)數(shù).,定理： f (x) 在x0可導(dǎo) f (x)在x0的左, 右導(dǎo)數(shù)存在且相等.,4）如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo), 就說函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，這時(shí)， 對(duì)于開區(qū)間內(nèi)每一個(gè)確定的值x0，都對(duì)應(yīng)著一 個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) ，這樣就在開區(qū)間(a,b)內(nèi) 可構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù)。,5）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù) 在x=x0處的函數(shù)值，即 。這也是 求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。,區(qū)別：,是一常數(shù)。,是一函數(shù)。,聯(lián)系：,即,函數(shù),在點(diǎn),處的導(dǎo)數(shù),就是導(dǎo)函數(shù),在,處的值，,注：通常，導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù),？,3. 由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是:,注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù). 自變量的增量x的形式是多樣的,但不論x選擇 哪種形式, y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式.,4.求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)可分如下三步:,5.導(dǎo)數(shù)的幾何意義,1.幾何意義,切線方程為,法線方程為,1）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù)f(x)的曲 線必有切線，且導(dǎo)數(shù)值是該切線的斜率；但函數(shù)f(x)的曲線在點(diǎn)x0處有切線，而函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)。如函數(shù) 在x=0處有切線，但不可導(dǎo)。,2）求切線方程的步驟：,（1）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率 ，得到曲線 在點(diǎn)(x0,f(x0)的切線的斜率。,（2）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫出切線方程，即,例:證明:(1)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù); (2)可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).,證:(1)設(shè)偶函數(shù)f(x),則有f(-x)=f(x).,(2)仿(1)可證命題成立,在此略去,供同學(xué)們?cè)谡n后練 習(xí)用.,例7. 問曲線,哪一點(diǎn)有垂直切線 ? 哪一點(diǎn)處,的切線與直線,平行 ? 寫出其切線方程.,解:,令,得,對(duì)應(yīng),則在點(diǎn)(1,1) , (1,1) 處與直線,平行的切線方程分別為,即,故在原點(diǎn) (0 , 0) 有垂直切線,二、新課： 求導(dǎo)數(shù)舉例,例1 求函數(shù),解：,即,例2 求函數(shù),解,即,即,如,又如,即,更一般地，對(duì)于冪函數(shù),例3,解,即,類似可得,例4求函數(shù)f(x)=cos x的導(dǎo)數(shù),解,例5,解,因此,所以,特殊地，當(dāng)ae時(shí)，,(sin x)=cos x,(cos x)=-sin x ,(ax)=axln a,特別地有(ex )=ex ,例6 求對(duì)數(shù)函數(shù)y=log ax的導(dǎo)數(shù),解,以上得到的是部分基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.,解,ysin x ,故在點(diǎn)處 切線方程為,法線方程為,五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，即,存在。,由具有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系知道，,這就是說，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處是連續(xù)的。,如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)。,注意：一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo)。,所以，,則,例7 函數(shù),由以上的討論可知：,處不可導(dǎo)。,必要條件，但不是充分條件。,函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的,例8 函數(shù),處不可導(dǎo)。,這是因?yàn)樵邳c(diǎn)x=0處有,即導(dǎo)數(shù)為無窮大，,在原點(diǎn)O具有,在圖形中表現(xiàn)為曲線,垂直于x軸的切線,顯然，導(dǎo)數(shù)不存在。,解