平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù)(5).ppt

第 3 章,平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差與變異系數(shù),數(shù)據(jù)有兩種變化趨勢：集中趨勢和離散趨勢。 表示數(shù)據(jù)集中趨勢的指標(biāo)有多個，如平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)）、中位數(shù)、眾數(shù)，使用最多的是算術(shù)平均數(shù)。 表示數(shù)據(jù)離散趨勢的指標(biāo)有多個，如極差、平均離差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差，使用最多的是方差與標(biāo)準(zhǔn)差。,資料中各觀察值的總和除以觀察值的個數(shù)所得的商，稱為算術(shù)平均數(shù)，簡稱為平均數(shù)或均數(shù)。用符號 表示。 平均數(shù)的意義： 平均數(shù)用來描述資料的集中性，即指出資料中數(shù)據(jù)集中較多的中心位置,常用于同類性質(zhì)資料間的相互比較。,一、集中趨勢,計(jì)算方法 1. 直接法 適用于樣本含量較小的非頻數(shù)資料 如果一個含量為n的樣本，其n個觀察值分別用x1、x2xn表示，則它們的平均數(shù)為 其中，（Sigma）為總和符號， 表示從第一個觀察值x1累加到第n個觀察值xn，若在意義上已明確時，簡記為x。,常數(shù)的總和等于該常數(shù)的n倍，即 代數(shù)和的總和等于總和的代數(shù)和，即 總和符號內(nèi)的常數(shù)因子可以提取到總和符號之外，即,其中C為常數(shù),（a為常數(shù)）,關(guān)于總和符號的幾個性質(zhì),2. 加權(quán)法 如果樣本中有n1個x1，有n2個x2，那么，n1+n2個數(shù)的平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)。 同理： 各組的次數(shù) fi 是權(quán)衡各組中值 xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此f被稱為是x的“權(quán)”，加權(quán)法也由此而得名。,在計(jì)算離散型頻數(shù)資料的平均數(shù)時， 式中x為組值，f為頻數(shù)，N為總頻數(shù)（f），k為組數(shù)。,表3-1 50只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表,在計(jì)算連續(xù)型頻數(shù)資料的平均數(shù)時， 式中m為組中值，f、N和k同上式。,表3-2 某純系蛋雞200枚蛋重的頻數(shù)分布表,=10695/200 =53.475,平均數(shù)有以下幾個基本特性：,（1）平均數(shù)的計(jì)算與樣本內(nèi)每個值都有關(guān)，它的大小受每個值的影響。 （2）若每個xi都乘以相同的數(shù)k，則平均數(shù)亦應(yīng)乘以k。 （3）若每個xi都加上（或減去）相同的數(shù)A，則平均數(shù)亦應(yīng)加上（或減去） A。,中位數(shù)(median),將資料中所有觀察值從小到大依次排列，處于中間位置的數(shù)。以Md表示。 適用條件 資料呈偏態(tài)分布或頻數(shù)分布類型不明，以及一端或兩端無確定數(shù)值,這種資料用中位數(shù)作為代表值比用算術(shù)平均數(shù)為好。 非頻數(shù)資料，先將各觀察值由小到大排列，當(dāng)n為奇數(shù)時，第(n+1)/2位置的觀察值即為中位數(shù)，即： Md =x (n+1)/2,其中：L中位數(shù)所在組的下限；i組距；f中位數(shù)所在組的頻數(shù)；n總頻數(shù)；c小于中數(shù)所在組的累積頻數(shù)。,當(dāng)n為偶數(shù)時， 和 位置的兩個觀察值之和的二分之一即為中位數(shù)，即： 若資料已分組，并編制成了頻數(shù)分布表，可利用頻數(shù)分布表計(jì)算中數(shù)。,例某地區(qū)有164人因沙門氏菌食物中毒，其潛伏期資料經(jīng)整理如下表，試計(jì)算中位數(shù)。,眾數(shù)（Mode）,資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)或頻數(shù)最多一組的組中值，記為Mo。,fmax=24, Mo=22,50只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表,Md=22,表3-2 某純系蛋雞200枚蛋重的頻數(shù)分布表,=10695/200 =53.475,fmax=44, Mo=52.5,Md=53.35,幾何平均數(shù)(Geometric mean),定義 指n個觀察值乘積的n次方根。即 適用條件 主要應(yīng)用于數(shù)據(jù)呈倍數(shù)關(guān)系或不對稱分布的資料，算術(shù)平均數(shù)對這類資料的代表性差。如抗體效價（1：10，1：100，1：1000，1：10000）、增長率或生長率、動態(tài)發(fā)展速度等。,計(jì)算 1、應(yīng)用公式計(jì)算（實(shí)際應(yīng)用時常取對數(shù)）,例 海蝦養(yǎng)殖試驗(yàn)，各旬的生長速度3.0，1.5 1.3，1.2，1.2，1.1，1.1，求海蝦的旬平均生長速度。 解： 即海蝦平均生長速度為1.38。 其算術(shù)平均數(shù)為,當(dāng)資料編成頻數(shù)分布表時， 各組組中值； 各組次數(shù)；,二、離散趨勢,資料的另一方面的特征是變異程度。如： A 組資料： 3 、 4 、 5 、 6 、 7 平均數(shù)為： 5 B 組資料： 1 、 3 、 5 、 7 、 9 平均數(shù)為： 5 這里的平均數(shù) 5 對于 A 組資料的代表性好？還是對于 B 組資料的代 表性好？ 可見，只表明了數(shù)據(jù)的集中程度是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要進(jìn)一步說明數(shù)據(jù)的變異程度。只有通過變異程度的描述，才知道代表值的代表性。表示數(shù)據(jù)變異特征的數(shù)值叫變異數(shù)。常用的變異數(shù)有：極差、平均離差、方 差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)等。,極差（全距） 極差 = 最大值 - 最小值 只利用了資料中最大值和最小值，不能準(zhǔn)確表達(dá)資料中各個觀察值的變異程度。 平均離差,它不能表示整個資料中所有觀察值的總偏離程度,使用不方便，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中未被采用,消除離均差的負(fù)號,離均差的平方之和（簡稱平方和，記為SS）,稱為均方（縮寫為MS），又稱為樣本方差，記為S2,標(biāo)準(zhǔn)差S,離均差,首先求出離均差，即每個數(shù)與它們的平均數(shù)之間的離差；然后將所有的離均差平方，再相加，得出離均差平方和；最后用n-1除離均差平方和（按照統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，不要用樣本含量n去除），所得的商稱為樣本方差，用符號s2表示。 方差s2是離均差平方的平均數(shù)。雖然方差在實(shí)際應(yīng)用中用得最廣泛，但因它的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，所以它不能直接地指出某個數(shù)x與平均數(shù)之間的偏離究竟達(dá)到什么程度。為此，采用標(biāo)準(zhǔn)差s做標(biāo)準(zhǔn)，衡量x與平均數(shù)之間的離散程度。,自由度 (degree of freedom) ：統(tǒng)計(jì)學(xué)借此來反映一批變量的約束條件。 例如一個有 5 個觀察值的樣本，因?yàn)槭艿浇y(tǒng)計(jì)數(shù)的約束，在5個離均差中，只有4個數(shù)值可以在一定范圍內(nèi)自由變動取值，而第五個離均差必須滿足這一限制條件。 自由度記作 DF ， 一般樣本自由度等于觀察值個數(shù) ( n ) 減去約束條件的個數(shù) ( k ) ，即 DF n k 。,樣本方差,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,為了方便計(jì)算，將離均差平方和轉(zhuǎn)化為另一種形式，同時略去下標(biāo)，上式可表示為：,在計(jì)算離散型頻數(shù)資料的標(biāo)準(zhǔn)差時， 式中x為組值，f為頻數(shù)，N為總頻數(shù)（f），k為組數(shù)。,在計(jì)算連續(xù)型頻數(shù)資料的標(biāo)準(zhǔn)差時， 式中m為組中值，f、N和k同上式。,標(biāo)準(zhǔn)差的特性 （一）標(biāo)準(zhǔn)差的大小受資料中各觀察值的影響，觀察值間變異大的標(biāo)準(zhǔn)差也大，反之則??； （二）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時，各觀測值加上或減去一個常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的值不變； (三)當(dāng)每個觀察值都乘以一個常數(shù)a時，所得的標(biāo)準(zhǔn)差是原來標(biāo)準(zhǔn)差的a倍,樣本的方差為,總體的方差為,變異系數(shù) Coeffcient of variation,資料的單位不同或平均數(shù)相差很大時，直接利用標(biāo)準(zhǔn)差比較資料間變異程度是不妥的，需用變異系數(shù)。 變異系數(shù)同標(biāo)準(zhǔn)差一樣是衡量資料變異程度的統(tǒng)計(jì)量。變異系數(shù)消除了不同單位和平均數(shù)的影響，可以用來比較不同資料的相對變異程度。,變異系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比，記為CV。 兩個小麥