幾何造型與自由曲線曲面.ppt

第四章 幾何造型與自由曲線曲面,描述形體的信息 表示形體的模型 特征造型技術(shù) 自由曲線曲面理論基礎(chǔ),4.1.1 基本幾何元素的定義,描述形體形狀特征的信息：,幾何信息：用來表示幾何元素的性質(zhì)和度量關(guān)系的信息。,拓撲信息：表示形體各個幾何元素之間連接關(guān)系的信息。,1. 點：最基本的幾何元素。任何幾何形體都可用點的有序集合表示。,2. 邊：兩個或多于兩個相鄰面的交界。 邊具有方向性：由起點沿邊指向終點。,3. 面：形體表面或表面的一部分，其范圍由一個外環(huán)和若干內(nèi)環(huán)界定。 面具有方向性：通常由面的外法矢方向作為其正方向。 外法矢方向：由組成面的外環(huán)的有向邊按右手規(guī)則確定。,4.1.1 基本幾何元素的定義,4. 環(huán)：由有序、有向邊組成的面的封閉邊界。 外環(huán)：確定面的最大外邊界。 內(nèi)環(huán)：確定面中內(nèi)孔或凸臺邊界。 環(huán)的方向性： 外環(huán)各邊按逆時針排列 內(nèi)環(huán)各邊按順時針方向排列,5. 體：由面圍成的封閉三維空間。,6. 外殼：在觀察方向上所能看到的形體的最大外輪廓線。,7. 體素：指可用有限個尺寸參數(shù)定位和定型的形體。 基本體素：如長方體、圓柱體、球體、棱柱體、圓環(huán)體等； 由輪廓線沿指定的空間參數(shù)曲線掃描或回轉(zhuǎn)所形成的形體。,正則形體和非正則形體,4.1.3 基本幾何要素間的關(guān)系及層次結(jié)構(gòu),形體定義的層次結(jié)構(gòu),外殼：V1 V2 V3 V6 V5 V8 V1 E1 E2 E7 E6 E10 E11,F1外環(huán)：V1 V2 V3 V4 V1,F1內(nèi)環(huán)： V12 V11 V10 V9 V12,一、線框模型：用頂點和邊表示形體。,缺點： 無法自動消隱，所構(gòu)造的形體易產(chǎn)生不確定性，即具有二義性。,不能明確定義給定點與形體之間的關(guān)系，無法對構(gòu)造形體進行物性分析、有限元分析，不能生成加工表面的刀具路線，不能生成剖切圖、渲染圖等。,無法處理曲面的側(cè)輪廓線。,線框模型的二義性,線框模型示例,二、表面模型：是將有向棱邊圍成的部分定義形體的表面，用面的集合表示形體的模型。,從美學和外形功能要求的角度對構(gòu)造模型進行評價和修改。 對構(gòu)造曲面生成NC加工程序，以完成對該曲面的加工。,平面模型：用多邊形網(wǎng)格描述形體表面。,曲面模型：用曲面片代替平面模型中的小平面片。,表面模型的缺點： 模型中所有面未必形成封閉的邊界。 沒有明確定義形體位于面的那一側(cè)，仍不能有效地用來表示形體。,三、實體模型：由具有一定拓撲關(guān)系的形體表面定義形體。表面之間通過環(huán)、邊、點建立聯(lián)系，表面的方向由圍繞表面的環(huán)的繞向決定，表面法失總是指向形體之外。,實體模型的拓撲合法檢驗 任一棱邊必然只與兩個表面相鄰，且在這兩個表面環(huán)上的方向必須相反。,與表面模型的區(qū)別： 實體模型中構(gòu)成形體的表面之間具有一定的拓撲關(guān)系，根據(jù)表面的方向可以判斷形體在表面的哪一側(cè)。,一、基本幾何形體（體素）創(chuàng)建,二、實體造型的方法,1. 掃描法,平移掃描法：將二維圖形沿某一軌跡移動構(gòu)造三維形體的方法。 正平移：二維圖形沿與其垂直的直線移動； 斜平移：二維圖形沿任意直線方向移動； 縮放平移：二維圖形移動構(gòu)造形體的過程中不斷放大或縮小。,蒙皮法：將二維圖形沿任意曲線移動同時調(diào)整二維圖形的尺寸甚至形狀，這種構(gòu)造三維形體的方法稱為蒙皮法。,旋轉(zhuǎn)掃描法：將二維圖形繞某一軸線旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三維形體的方法。,2. 構(gòu)造實體幾何法（ Constructive Solid Geometry，CSG）,集合運算（布爾運算）：并、交、差,A-*B,B -*A,A*B,A*B,構(gòu)造實體幾何的表示方法（CSG二叉樹),用二叉樹形式說明通過基本體素間的集合運算來構(gòu)造復(fù)雜形體的歷史過程。,葉子節(jié)點體素或幾何變換參數(shù),中間節(jié)點施加在其上的集合運算或幾何變換定義,優(yōu)點： 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡單、緊湊，數(shù)據(jù)管理方便； 實體構(gòu)造無二義性； 操作方便，概念直觀，可通過修改構(gòu)造環(huán)節(jié)改變形體的形狀； 容易實現(xiàn)參數(shù)化造型。,缺點： 造型過程只能采用集合運算，一些局部修改功能，如拉伸、倒圓等不能使用； 邊界以及邊界與實體的連接關(guān)系難以提?。?形體顯示效率低，不利于圖形顯示。,根節(jié)點所構(gòu)造的幾何形體,4. 邊界表示法（Boundary Representation, B-Rep),用組成實體邊界的基本元素（即頂點、棱邊和面）及其連接關(guān)系信息表示實體。,采用邊界表示法定義的實體為有限數(shù)量的面的集合，面則由邊及頂點加以定義。,實體造型系統(tǒng)中一般采用CSG與B-Rep混合表示法，即用CSG模型表示實體幾何造型的過程和設(shè)計參數(shù)，用Brep模型維護詳細的幾何信息和存儲、管理、運算以及顯示輸出等操作。 在基于CSG模型的造型過程中，可將形狀特征、參數(shù)化設(shè)計引入造型過程的體素定義、幾何變換及最終的模型中； Brep信息的細節(jié)則為設(shè)計參數(shù)提供參考幾何基準。,優(yōu)點： 顯示效率高； 邊界信息提取容易，可進行局部修改。 缺點： 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜； 修改操作不方便。,5. 倒圓和拉伸（形體的局部處理） 倒圓：用光滑的圓弧表面取代形體上的棱邊及棱角。 拉伸：將形體的某個表面或表面的一部分拉起，使原形體得以延伸的處理方法。,拉伸面,倒圓角,一、特征造型：以實體造型為基礎(chǔ)，使設(shè)計者采用常見的、具有一定設(shè)計或加工功能的特征作為造型的基本單元來構(gòu)造幾何模型的方法。,二、特征的定義及特點,1. 特征的定義：特征是具有屬性，與設(shè)計、制造活動有關(guān)，并含有工程意義的基本幾何實體或信息的集合。,特征是零件表面上有意義的區(qū)域。（基于幾何和加工的定義） 特征是產(chǎn)品信息傳遞的載體。（從信息傳遞的角度） 特征是與零件描述或零件之間關(guān)系相關(guān)的信息集。 特征是零件的形狀或其它屬性的信息集。,2. 特征所具有的特點,特征與零件的幾何描述相關(guān)； 特征具有一定的工程實際意義，不同工程領(lǐng)域，特征的內(nèi)容會有所不同，具體應(yīng)用時，特征應(yīng)覆蓋所需要的信息； 特征可被識別與轉(zhuǎn)換。,三、特征的分類,形狀特征：與描述零件幾何形狀、尺寸相關(guān)的信息集合，包括功能形狀、加工工藝形狀、裝配輔助形狀等，是用于描述零件或產(chǎn)品的主要特征。 主特征：用以構(gòu)造零件的基本幾何形體。 簡單主特征：簡單的幾何形體。（如圓柱體、長方體、球體等） 宏特征：指具有相對固定的結(jié)構(gòu)形狀和加工方法的形狀特征，其幾何形狀較復(fù)雜，且不便于進一步細分為其他形狀特征的組合。（如如盤類零件、輪類零件的輪輻和輪轂等，基本上都是由宏特征及附加在其上的輔助特征構(gòu)成） 輔特征：依附于主特征（也可是另一輔特征）之上的幾何形狀特征，是對主特征的局部修飾，反映零件幾何形狀的細微結(jié)構(gòu)。（如螺紋、花鍵、V形槽、T形槽、U形槽等） 組合特征：由一些簡單輔特征組合而成的特征，如中心孔、同軸孔等。 復(fù)制特征：指由一些同類輔特征按一定的規(guī)律在空間的不同位置上復(fù)制而成的形狀特征，如周向均布孔、矩形陣列孔、油溝密封槽、輪緣（如齒圓、V型帶輪槽等）。,精度特征：描述零件幾何形狀、尺寸許可變動量的信息集合；（包括尺寸公差和形位公差，表面粗糙度等）,技術(shù)特征：描述零件性能、制造技術(shù)要求、裝配要求的信息集合；,管理特征：與零件管理有關(guān)的信息集合；（包括題欄信息，如零件名、設(shè)計者、設(shè)計日期等；零件材料，未注粗糙度等信息）,材料熱處理特征：與零件材料和熱處理有關(guān)的信息集合；（如材料性能、熱處理方式、硬度值等）,特征的信息模型（見P61：圖4-14）,三、特征的分類,方位特征：針對箱體類零件提出的特征，即箱體類零件各表面的方位信息的集合；（如方位標識、方位外法線與各坐標平面的夾角等） 尺寸鏈特征：針對工藝特征模型提出特征，即反映軸向尺寸鏈信息的集合； 裝配特征：與零部件裝配有關(guān)的信息集合。（如零部件的配合關(guān)系、裝配關(guān)系等）,四、特征的聯(lián)系,繼承聯(lián)系：構(gòu)成特征之間的層次關(guān)系。 超類特征：位于層次上級的特征； 亞類特征：位于層次下級的特征。 亞類特征可繼承超類特征的屬性和方法。 特征與特征實例之間的聯(lián)系也屬于繼承關(guān)系。,從屬聯(lián)系：描述形狀特征中各形狀特征之間的依從和附屬關(guān)系。 從屬特征依賴于被從屬的特征而存在，對被從屬的形狀特征作局部修飾。,鄰接聯(lián)系：反映形狀特征之間的相互位置關(guān)系。,引用聯(lián)系：描述特征類之間作為關(guān)聯(lián)屬性而相互引用的聯(lián)系。,五、特征造型方法,人機交互方式 特征自動識別的方式 特征庫,如階梯軸：相鄰兩個軸段之間的關(guān)系就是鄰接聯(lián)系，其中每個相鄰面的狀態(tài)可共享。,引用聯(lián)系主要存在于形狀特征對精度特征、材料特征的引用。,六、特征造型系統(tǒng)的框架（見P62：圖4-17）,七、特征庫的組織方式,1. 特征庫應(yīng)具備的功能 完備的形狀特征，以適應(yīng)眾多的零件； 完備的產(chǎn)品信息（幾何/拓撲信息，各類特征信息，零件的總體信息）； 特征庫的組織方式，應(yīng)便于操作、管理，方便用戶對特征進行修改、增加和刪除。,2. 特征庫的組織方式 圖譜方式：畫出各類特征圖，附以特征屬性，建立表格形式。 用形式化數(shù)據(jù)規(guī)范語言對特征進行描述，建立特征的概念庫； EXPRESS語言描述方式：PDES（Product Data Exchanging Standard 產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換信息規(guī)范 美國國家標準和技術(shù)協(xié)會）/STEP（Standards for Transmission and Exchange of Product ISO：產(chǎn)品信息交換和傳輸標準）推薦的一種計算機可處理的形式建模語言。用于建立特征庫，以便使那些基于特征的計算機輔助系統(tǒng)根據(jù)系統(tǒng)本身的軟、硬件的需要，映射為適合于自身的實現(xiàn)語言描述特征。 用計算機程序設(shè)計語言描述特征，設(shè)計時直接 調(diào)用特征庫及程序文件，進行繪圖和建立產(chǎn)品信息模型。,八、特征造型零件信息模型實例：軸的零件信息模型,一、概述,1. 工業(yè)產(chǎn)品的形態(tài)：,2. 采用何種工業(yè)產(chǎn)品形態(tài)的決定因素： 純美學要求 產(chǎn)品性能對形態(tài)的要求 產(chǎn)品結(jié)構(gòu)唯一性要求,二、曲線及曲面的數(shù)學描述,1. 基本概念,點：構(gòu)造曲線與曲面的最基本的幾何元素，用于確定、修改曲線與曲面的位置及形狀 。,控制點：用于確定曲線和曲面的位置與形狀，所控制的曲線或曲面不一定通過控制點。,型值點：用于確定曲線和曲面的位置與形狀，所控制相應(yīng)曲線或曲面一定通過型值點 。,插值點：為提高曲線和曲面的輸出精度，或為修改曲線和曲面形狀，在型值點或控制點之間插入的點。,型值點,控制點,規(guī)則形體,自由曲面形體,插值： 根據(jù)給定的一組有序的數(shù)據(jù)點，構(gòu)造一條曲線，使其順序通過這些數(shù)據(jù)點，或根據(jù)未知函數(shù)f(x)上的若干個互異的型值點f(xi) ，構(gòu)造新函數(shù)g(x)，使g(xi)=f(xi) （i=0, 1, , n）。,g(x)： f(x)的插值函數(shù)； xi： 插值節(jié)點； 注意：插值函數(shù)必須嚴格通過所有插值節(jié)點。,逼近： 構(gòu)造一條曲線，使在一定條件下最為接近給定的數(shù)據(jù)點，或構(gòu)造新函數(shù)，使其最佳逼近原函數(shù)。,注意：逼近不要求通過所有給定的數(shù)據(jù)點，只是對數(shù)據(jù)點的最佳逼近。,擬合： 插值和逼近的統(tǒng)稱，即在允許的誤差范圍內(nèi)貼近或通過所有給定的數(shù)據(jù)點，并使所構(gòu)造的曲線或曲面光滑連接。,光順：所構(gòu)造的曲線或曲面是否光滑和順眼。,幾何連續(xù)性：曲線或曲面在連接處的連接狀態(tài)。 零階連續(xù)：邊界重合； 一階連續(xù)：一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，切線矢量連續(xù)； 二階連續(xù)：二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，曲率連續(xù)。,光滑是客觀評判，指空間曲線曲面的連續(xù)階，數(shù)學上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的曲線即為光滑曲線； 順眼是主觀評價，是指人對空間曲線曲面的鼓癟凹凸的感覺,二、曲線及曲面的數(shù)學描述,2. 曲線及曲面的數(shù)學描述：參數(shù)方程,曲線參數(shù)方程,三維曲線參數(shù)方程,曲線上點的位置矢量：,曲線方程的規(guī)范化形式：,二、2. 曲線及曲面的數(shù)學描述：曲線參數(shù)方程,例：由空間兩點所定義曲線的參數(shù)方程,一般形式：,由空間若干點描繪的曲線的參數(shù)方程：,二、2. 曲線及曲面的數(shù)學描述：曲線參數(shù)方程,：基函數(shù)、權(quán)函數(shù)、混合函數(shù)、調(diào)和函數(shù),采用不同的基函數(shù)，可得到不同的參數(shù)曲線。,曲面參數(shù)方程,二、曲線及曲面的數(shù)學描述 2. 曲線及曲面的數(shù)學描述,曲面數(shù)學描述的過程： 采用插值方法定義橫向、縱向兩組曲線； 由兩組曲線所構(gòu)成的網(wǎng)格定義一組曲面片，每個曲面片由4條光滑連續(xù)的曲線作為邊界； 用二維插值法描述各個曲面片； 分片描述的各曲面在保證相鄰曲面片光滑連續(xù)的條件下，組成完整的光滑曲面；,曲面的參數(shù)方程,二、曲線及曲面的數(shù)學描述 2. 曲線及曲面的數(shù)學描述 曲面參數(shù)方程,曲面上點的位置矢量：,曲面方程的規(guī)范化形式：,用（n+1）（m+1）個點描述的曲面的參數(shù)方程：,曲面沿 u方向的基函數(shù),曲面沿 v方向的基函數(shù),曲面片：曲面的基本單元，一張曲面通常由若干張曲面片拼合而成,二、常用的曲線,1. 參數(shù)曲線,（1） 參數(shù)曲線方程：以冪函數(shù)為基函數(shù),（2） 三次參數(shù)曲線（ Hermite曲線）：由兩端點及兩端點處的切矢定義的參數(shù)曲線。,邊界條件：,二、常用的曲線 參數(shù)曲線 （2） 三次參數(shù)曲線,二、常用的曲線 參數(shù)曲線 （2） 三次參數(shù)曲線,二、常用的曲線 參數(shù)曲線,（3） 三次參數(shù)曲線的拼接,光滑拼接條件： 邊界重合：前一段曲線的終點為后一段曲線的起點； 切向矢量連續(xù)：前一段曲線終點處的切矢等于后一段曲線起點處的切矢； 曲率連續(xù)：前一段曲線終點處的二階切矢等于后一段曲線起點處的二階切矢。,Hermite曲線方程,兩段三次參數(shù)曲線光滑連接的條件：,n段三次參數(shù)曲線光滑連接的條件：,二、常用的曲線 參數(shù)曲線 （3） 曲線的拼接,三切矢方程,二、常用的曲線 參數(shù)曲線,（3） 參數(shù)曲線的特性,n段拼接的參數(shù)曲線通過n+1個點 參數(shù)曲線由其端點（或通過點）位置以及各個點處的切矢確定，改變數(shù)據(jù)點的位置矢量，調(diào)節(jié)切矢的方向或者切矢的長度，都可以改變曲線形狀。,Hermite曲線方程,n段Hermite曲線方程光滑拼接的條件：,2. Bezier曲線由曲線上的兩個端點和若干個不在曲線上但能決定曲線形狀的點確定。,通常n次Bezier曲線由n+1個頂點構(gòu)成的特征多邊形確定。特征多邊形上的各頂點為曲線的特征點或控制點。,（1） n次Bezier曲線數(shù)學表達式：,二、常用的曲線,三次Bezier曲線,規(guī)定：,二、常用的曲線 2. Bezier曲線,n次Bezier曲線:,（2）一次Bezier曲線：n=1,二、常用的曲線 2. Bezier曲線,n次Bezier曲線:,（3）二次Bezier曲線：n=2,通過p0、p2點的拋物線,二、常用的曲線 2. Bezier曲線,n次Bezier曲線:,（4）三次Bezier曲線：n=3,P85習題4-10 （P85） ：已知特征多邊形4個頂點：p0(0,0) 、p1(1,1)、 p2(2,1) 、p3(3,0)，構(gòu)造一條三次Bezier曲線，并計算當u=0，1/3，1/2，1時，曲線上的型值點坐標。,解：（1）構(gòu)造三次Bezier曲線參數(shù)方程,n次Bezier曲線:,三次Bezier曲線方程為：,P85習題4-10 （P85）,由題中給定特征多邊形4個頂點構(gòu)造的三次Bezier曲線為：,（2）求給定參數(shù)u處的型值點坐標,P85習題4-10 （P85）,二、常用的曲線 2. Bezier曲線,n次Bezier曲線:,（5）Bezier曲線的幾何特性,Bezier曲線通過首末兩個控制點,二、常用的曲線 2. Bezier曲線,n次Bezier曲線:,（5）Bezier曲線的幾何特性,Bezier曲線首末兩個控制點處的切向矢量與特征多邊形首末兩段的走向一致,結(jié)論： Bezier曲線首末兩個控制點處的切向矢量與特征多邊形的首末兩段的走向一致,結(jié)論：Bezier曲線上的任意點是其特征多邊形各頂點的加權(quán)平均，Bezier曲線上所有點均落在由特征多邊形各頂點所構(gòu)成的凸包之中。,二、常用的曲線 2. Bezier曲線,n次Bezier曲線:,（5）Bezier曲線的幾何特性, 凸包性： Bezier曲線上所有點均落在由特征多邊形各頂點所構(gòu)成的凸包之中。,二、常用的曲線 2. Bezier曲線,n次Bezier曲線:,（5）Bezier曲線的幾何特性,幾何不變性：Bezier曲線的形狀僅與特征多邊形各頂點相對位置有關(guān)，而與坐標系選擇無關(guān)。, 對稱性質(zhì)：如果保持特征多邊形各頂點位置不變，只將其次序顛倒，即: 對應(yīng)的新Bezier曲線與原Bezier曲線形狀相同，只是曲線走向相反。,二、常用的曲線 2. Bezier曲線,n次Bezier曲線:,特征多邊形的頂點分布不均勻時，參數(shù)在曲線上對應(yīng)點的分布也不均勻； 特征多邊形的頂點個數(shù)越多，對曲線的控制越弱。Bezier曲線的形狀與定義它的特征多邊形相距甚遠； Bezier曲線不具備局部修改的可能性，改變特征多邊形的一個頂點將影響整條曲線。,（6）Bezier曲線的缺點,（7） Bezier曲線的拼接,兩段三次Bezier曲線實現(xiàn)拼接的條件：,一階連續(xù)條件：p2和q1位于p3(q0)兩側(cè)，且p2、q1和p3(q0)共線。,二階連續(xù)條件：連接處兩曲線段的切平面重合，且連接處兩曲線段曲率相等。,邊界連續(xù)條件：p3和q0重合。,三次B樣條曲線,3. B樣條曲線用B樣條基函數(shù)代替貝塞爾曲線方程中的Bernstein基函數(shù)所構(gòu)造的曲線。,二、常用的曲線,均勻B樣條曲線 準均勻B樣條曲線 非均勻B樣條曲線 非均勻有理B樣條曲線（NURBS， Non-uniform Rational B-spline非均勻有理B樣條）,（1）B樣條曲線的數(shù)學表達,若給定N=m+n+1個頂點（m為最大段號，n為階次）則第i段、n次均勻B樣條曲線函數(shù)方程為：,B樣條基函數(shù),二、常用的曲線 3. B樣條曲線,（2）三次均勻B樣條曲線：n=3, l=0,1,2,3,三次B樣條曲線的基函數(shù)：,二、常用的曲線 3. B樣條曲線,（2）三次均勻B樣條曲線,二、常用的曲線 3. B樣條曲線,（3）三次均勻B樣條曲線的幾何性質(zhì),端點性質(zhì),結(jié)論： 第 i 段均勻B樣條曲線的起點位于由pi、pi+1、pi+2三點組成的三角形中線 pi+1A 的1/3處； 第 i 段均勻B樣條曲線的終點位于由pi+1、pi+2 、 pi+3三點組成的三角形中線 pi+2B 的1/3處； 前一段終點和后一端起點的具有共同的三角形，因此前一段終點和后一段起點相同。,端點處一階導(dǎo)矢的性質(zhì),結(jié)論： 第 i 段均勻B樣條曲線的起點處的一階導(dǎo)矢平行于pipi+2，模為pipi+2連線長度的1/2； 第 i 段均勻B樣條曲線的終點處的一階導(dǎo)矢平行于pi+1 pi+3，模為pi+1 pi+3連線長度的1/2。 前后兩段連接處具有相同的一階導(dǎo)矢，即一階導(dǎo)矢連續(xù)。,端點處二階導(dǎo)矢的性質(zhì),結(jié)論： 第 i 段均勻B樣條曲線的起點處的二階導(dǎo)矢等于以pi pi+1和pi+1 pi+2為相鄰兩線段所構(gòu)成的平行四邊形的對角線； 第 i 段均勻B樣條曲線的終點處的二階導(dǎo)矢等于以pi+1 pi+2 和pi+2 pi+3 為相鄰兩線段所構(gòu)成的平行四邊形的對角線； 前一段曲線終點和后一段曲線起點處的平行四邊形相同，因此曲線在連接處的二階導(dǎo)矢相等，即二階導(dǎo)矢連續(xù)。,綜合 可知： 三次均勻B樣條曲線在連接處邊界連續(xù)，一階矢和二階導(dǎo)矢連續(xù)，因此可保證曲線光滑連接。, 局部性：三次均勻B樣條曲線的每一段由特征多邊形的4個控制點的位置矢量決定，對一個控制點的修改最多影響4曲線段，而對其他曲線段不產(chǎn)生影響，可進行局部修改。, 擴展性：每增加特征多邊形的一個頂點，就相應(yīng)增加一段B樣條曲線，且不影響原有三次均勻B樣條曲線，新增曲線段與原曲線的連接處具有一階導(dǎo)矢和二階導(dǎo)矢連續(xù)性。,（4）特殊的三次均勻B樣條曲線（見書76頁，圖4-25）,二、常用的曲面,1. 雙線性參數(shù)曲面：由4個頂點及4個頂點所確定直線邊界定義的曲面。,二、常用的曲面 1. 雙線性參數(shù)曲面,四個頂點共面時，曲面為平面； 四個頂點不共面時，曲面為空間三維雙線性參數(shù)曲面。,2. 孔斯（Coons）曲面（雙線性Coons曲面）,二、常用的曲面,二、常用的曲面1. 孔斯曲面,邊界條件分析：,二、常用的曲面 1. 孔斯曲面,孔斯曲面方程：,雙線性曲面方程：,Coons曲面=p3(u,v) - 雙線性參數(shù)曲面,二、常用的曲面,3. 雙三次參數(shù)曲面片（雙三次Coons曲面）,一般參數(shù)曲面方程：,雙三次參數(shù)曲面方程：,雙三次參數(shù)曲面的邊界條件,二、常用的曲面 3. 雙三次參數(shù)曲面片,雙三次參數(shù)曲面的邊界條件,u,v,由