例題與探究（§5.1數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入）

高手支招3綜合探究1.含有參數(shù)形式的復(fù)數(shù)何時表示實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù).此類問題是涉及到復(fù)數(shù)的分類及各自概念,在理解的基礎(chǔ)上注意它們的聯(lián)系與區(qū)別,以此作為判斷它們?yōu)閷崝?shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件.復(fù)數(shù)z=a+bi當(dāng)且僅當(dāng)b0時為虛數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時為實數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b0為純虛數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=0,b=0時為0.下面以3m+9+(m2+5m+6)i,m為何值時表示實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)為例說明.(1)若表示實數(shù)則:m2+5m+6=0(即虛部必須為零);(2)若表示虛數(shù)則:m2+5m+60(即虛部不能為零);(3)若表示純虛數(shù)則:3m+9=0且m2+5m+60(即實部必須為零,虛部不能為零).2.兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件及應(yīng)用時應(yīng)特別注意的問題.因為復(fù)數(shù)可以用向量來表示,所以可以結(jié)合向量相等來理解.在向量坐標(biāo)表示中,兩個向量相等則對應(yīng)坐標(biāo)要相等.兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是實部與虛部分別相等.在兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件中,注意前提條件是a、b、c、dR,即當(dāng)a、b、c、dR時,a+bi=c+di但忽略條件后,則不能成立,因此解決復(fù)數(shù)相等問題,一定要把復(fù)數(shù)的實部與虛部分離出來.再利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,化復(fù)數(shù)問題為實數(shù)問題.3.復(fù)系數(shù)一元二次方程根的問題與實系數(shù)一元二次方程根的問題.利用復(fù)數(shù)相等可解決復(fù)系數(shù)方程根的問題,如果復(fù)系數(shù)方程有實根,我們將其中的未知數(shù)視為等式中的一個實數(shù),將方程變形化簡為a+bi=0(a,bR)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問題.這里要特別注意,方程有實根務(wù)必注意不能用判別式0來處理方程的根的問題,否則出錯. 如果復(fù)系數(shù)一元二次方程無實根,則同樣不能用0來處理.此時,方程有復(fù)數(shù)根,可設(shè)方程的根為z=m+ni(m,nR),然后,化簡方程,使方程變形化簡為a+bi=0(a,bR)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問題.另外,當(dāng)實系數(shù)一元二次方程無實根時,方程的判別式0,此時雖無實根,但有虛數(shù)根,如實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cR)無實根,則其有兩個虛根,分別為:x=. 當(dāng)然,也可以設(shè)方程的根為z=m+ni(m,nR),然后,化簡方程,使方程變形化簡為s+ti=0(s,tR)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等即可解決相關(guān)問題.高手支招4典例精析【例1】 如果用C、R和I分別表示復(fù)數(shù)集、實數(shù)集和純虛數(shù)集,其中C為全集,那么有（ ）A.CRI B.RI C.RCI D.RI思路分析:復(fù)數(shù)系的構(gòu)成是復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)由此不難判斷正確答案為D項.答案:D【例2】 若z1=sin2+icos,z2=cos+isin,當(dāng)z1=z2時的值為（ ）A.k B.2k+C.2k D.2k+(以上kZ)思路分析:由已知z1=z2,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,然后解三角方程即得.z1=z2,=2k+（kZ）.故選D項.答案:D【例3】 m為何實數(shù)時,復(fù)數(shù)z=+(m2+3m-10)i(1)是實數(shù);(2)是虛數(shù);(3)是純虛數(shù).思路分析:利用復(fù)數(shù)分類,是實數(shù),只要令復(fù)數(shù)z的虛部為零即可;是虛數(shù),只要令復(fù)數(shù)z的虛部不為零即可;是純虛數(shù),只要令復(fù)數(shù)z的實部為零,虛部不為零即可.解:(1)令m2+3m-10=0,得m=2或m=-5.分母m2-250,m-5.m=2;(2)令m2+3m-100,又分母m2-250,得m2,且m-5,且m5;(3)令m2+3m-100,得m=.【例4】 當(dāng)實數(shù)m為何值時,復(fù)數(shù)(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復(fù)平面中的對應(yīng)點(1)位于第四象限;(2)位于x軸的負(fù)半軸上:思路分析:復(fù)數(shù)a+bi(a,bR)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點：對于(1)應(yīng)滿足對于(2)應(yīng)滿足解:(1)由已知-7m3.(2)由已知解之得:m=4.【例5】 已知aR,問復(fù)數(shù)z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所對應(yīng)的點在第幾象限？復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的軌跡是什么？思路分析:根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點的對應(yīng)關(guān)系知,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第幾象限,與復(fù)數(shù)z的實部和虛部的符號有關(guān).所以本題的關(guān)鍵是判斷a2-2a+4與-(a2-2a+2)的符號.而求復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的軌跡問題,首先把z表示成z=x+yi的形式,然后尋求x,y之間的關(guān)系,但要注意參數(shù)限定的條件.解:a2-2a+4=(a-1)2+33,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1-1.由此可知,z的實部為正數(shù),z的虛部為負(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點在第四象限.設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR),則消去a2-2a得y=-x+2(x3),復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的軌跡是一條射線,其方程為y=-x+2(x3).【例6】 用復(fù)數(shù)表示下圖各題的陰影部分.思路分析:本題關(guān)鍵在于要設(shè)出復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yC),并利用其坐標(biāo)在復(fù)平面內(nèi)的范圍寫出用復(fù)數(shù)表示平面區(qū)域中陰影部分的圖形.解:設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR),則有:(1)z|z=x+yi,1x3;(2)z|z=x+yi,x3,y1;(3)z|z=x+yi,1|z|2,x0,y0;(4)z|z=x+yi,|y|x,x0.宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的教師稱謂皆稱之為“教諭”。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)”。到清末，學(xué)堂興起，各科教師仍沿用“教習(xí)”一稱。其實“教諭”在明清時還有學(xué)官一意，即主管縣一級的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者則謂“教授”和“學(xué)正”?！敖淌凇薄皩W(xué)正”和“教諭”的副手一律稱“訓(xùn)導(dǎo)”。于民間，特別是漢代以后，對于在“?！被颉皩W(xué)”中傳授經(jīng)學(xué)者也稱為“經(jīng)師”。在一些特定的講學(xué)場合，比如書院、皇室，也稱教師為“院長、西席、講席”等。【例7】 設(shè)z1=-i,z2=-i,zC.若全集I=z|z|z1|,zC,A=z|z|z2|,zC,那么中所有z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的集合是什么圖形？思路分析:解決復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的幾何圖形問題,要熟練掌握兩點:復(fù)數(shù)z=x+yi(x,yR)在復(fù)平面上對應(yīng)點Z(x,y);|z|的幾何含義為z在復(fù)平面上對應(yīng)點Z與原點的距離.本題關(guān)鍵是求出|z|的取值范圍,就可確定z在復(fù)平面上的圖形.解:由已知:|z1|=3,|z2|=1,I=z|z|3,zC,A=z|z|1,zC,=z|1|z|3,zC,中的z在復(fù)平面上對應(yīng)的點Z的集合應(yīng)是與原點距離大于1而不大于3的所有點.中的所有z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的集合是以原點為圓心,以1和3為半徑的圓所夾的圓環(huán),但不包括小圓的邊界(如圖).【例8】 設(shè)zC,滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？(1)|z|=2;(2)2|z|3.解:(1)因為|z|=2,即|=2,如果設(shè)z=x+yi(x,yR）,所以滿足|z|=2的點Z的集合是以原點為圓心,以2為半徑的圓.(2)不等式2|z|2的點的集合是圓|z|=2外部所有的點組成的集合,滿足不等式|z|3的點的集合是圓|z|=3內(nèi)部所有的點組成的集合,這兩個集合的交集就是上述不等式組的解所對應(yīng)點的集合.因此,滿足條件2|z|3的點Z的集合是以原點為圓心,分別以2和3為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán),但不包括圓環(huán)的邊界.如下圖所示.高手支招5思考發(fā)現(xiàn)1.對于復(fù)數(shù)用非標(biāo)準(zhǔn)形式給出,應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式a+bi的形式,使復(fù)數(shù)問題實數(shù)化,這是解復(fù)數(shù)問題的基本思想,也是化歸思想的重要表現(xiàn).2.對于復(fù)數(shù)分類問題的求解,主要包含四類:是實數(shù),是虛數(shù),是純虛數(shù),是零.是實數(shù)就必須使復(fù)數(shù)的虛部為零;是虛數(shù)就必須使復(fù)數(shù)的虛部不為零;是純虛數(shù)就必須使復(fù)數(shù)的虛部不為零,同時要使復(fù)數(shù)的實部為零;是零就必須使復(fù)數(shù)的實部和虛部均為零.3.對于涉及到利用復(fù)數(shù)相等的問題,求解時關(guān)鍵是要抓住兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件,從而將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法.此外,要明確由一個復(fù)數(shù)等式可得到兩個實數(shù)等式這一性質(zhì),并在解題中會運用它.語文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對提高學(xué)生的水平會大有裨益。現(xiàn)在,不少語文教師在分析課文時,把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果教師費勁,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的尷尬局面的關(guān)鍵就是對文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見”,如果有目的、有計劃地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀課文,或細(xì)讀、默讀、跳讀,或聽讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學(xué)生便可以在讀中自然領(lǐng)悟文章的思想內(nèi)容和寫作技巧,可以在讀中自然加強語感,增強語言的感受力。久而久之,這種思想內(nèi)容、寫作技巧和語感就會自然滲透到學(xué)生的語言意識之中,就會在寫作中自覺不自覺地加以運用、創(chuàng)造和發(fā)展。4.在設(shè)復(fù)數(shù)的過程中常設(shè)為z=a+bi(a,bR);在有關(guān)的解決軌跡問題中常設(shè)z=x+yi從而與解析幾何聯(lián)系起來;當(dāng)復(fù)數(shù)的模為1時也可以設(shè)為z=cos+isin用三角函數(shù)解決相關(guān)最值等.家庭是幼兒語言活動的重要環(huán)境，為了與家長配合做好幼兒閱讀訓(xùn)練工作，孩子一入園就召開家長會，給家長提出早期抓好幼兒閱讀的要求。我把幼兒在園里的閱讀活動及閱讀情況及時傳遞給家長，要求孩子回家向家長朗誦兒歌，表演故事。我和家長共同配合，一道訓(xùn)練，幼兒的閱讀能力提高很快。5.復(fù)數(shù)相等是解決復(fù)數(shù)問題常用的方法,這是一個將復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的過程,轉(zhuǎn)化后再用實數(shù)范圍內(nèi)的相關(guān)方法來解.6.在判定復(fù)系數(shù)一元二次方程根的問題時不能用判定實系數(shù)一元二次方程根的問題的方法來解決,否則就會出錯.如果復(fù)系數(shù)一元二次方程有實根,那么就將未知數(shù)視作實數(shù),將方程化為a+bi=0(a,bR)的形式,然后利用復(fù)數(shù)相等的充要條件解之.其實,任何一門學(xué)科都