石油大學(xué)彈性力學(xué)10.ppt

1,Chapter 10 Torsion,2,第十章 扭 轉(zhuǎn),3,第10章 扭 轉(zhuǎn),10-1 等截面直桿的扭轉(zhuǎn),10-2 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn),10-3 薄膜比擬,10-4 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn),10-5 開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn),扭轉(zhuǎn),4,扭轉(zhuǎn),對(duì)于任意截面桿的扭轉(zhuǎn)，這是一個(gè)空間問題，根據(jù)問題的特點(diǎn)，本章首先給出了求解扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件。其次，為了求解相對(duì)復(fù)雜截面桿的扭轉(zhuǎn)問題，我們介紹了薄膜比擬方法。,柱體的扭轉(zhuǎn)是工程中廣泛存在的一類實(shí)際問題。 材料力學(xué)中研究了圓截面桿的扭轉(zhuǎn)，采用了平面假設(shè)。 對(duì)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)，一般橫截面不再保持平面，即截面產(chǎn)生翹曲。 對(duì)兩端承受扭矩的等截面直桿，如截面的翹曲不受限制，這類扭轉(zhuǎn)稱為自由扭轉(zhuǎn)；如截面的翹曲受到限制，則稱為約束扭轉(zhuǎn)。約束扭轉(zhuǎn)條件下，桿中會(huì)產(chǎn)生附加正應(yīng)力。 本章討論任意截面柱形桿的自由扭轉(zhuǎn)。,5,扭轉(zhuǎn),10-1 等截面直桿的扭轉(zhuǎn),一 應(yīng)力函數(shù),設(shè)有等截面直桿，體力不計(jì)，在兩端平面內(nèi)受扭矩M作用。取桿的一端平面為 xy面，圖示。橫截面上除了切應(yīng)力zx、zy以外，其余的應(yīng)力分量為零,將應(yīng)力分量及體力X=Y=Z=0代入平衡方程，得,根據(jù)前兩方程可見，zx、zy只是x和y的函數(shù)，與z無(wú)關(guān)，由第三式,6,扭轉(zhuǎn),根據(jù)微分方程理論，一定存在一個(gè)函數(shù)x,y，使得,函數(shù)x,y稱為扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)。,a,10-1 等截面直桿的扭轉(zhuǎn),將應(yīng)力分量代入不計(jì)體力的相容方程，可見：前三式及最后一式得到滿足，其余二式要求,注：體力為零時(shí)，空間問題應(yīng)力分量表示的相容方程,即,b,7,扭轉(zhuǎn),二 邊界條件,在桿的側(cè)面上，將 n=0，及面力分量為零代入邊界條件，可見前兩式總能滿足，而第三式要求,注：空間問題應(yīng)力邊界條件,即,由于在邊界上,10-1 等截面直桿的扭轉(zhuǎn),于是有,說(shuō)明在橫截面的邊界上，應(yīng)力函數(shù)為常量，由于應(yīng)力函數(shù)減一個(gè)常數(shù)，應(yīng)力分量不受影響，因此在單連通截面（實(shí)心桿）時(shí)可設(shè),c,8,扭轉(zhuǎn),10-1 等截面直桿的扭轉(zhuǎn),對(duì)多連通截面（即空心桿）的情況，應(yīng)力函數(shù) 在每一個(gè)邊界上都是常數(shù)，但各常數(shù)一般不相同。只能把其中的一個(gè)邊界上的 取為零。,x,y,s0,s1,s2,sn,通常取外邊界s0的 ，即,jj為其他邊界的待定常數(shù)。,9,扭轉(zhuǎn),分步積分，并注意在邊界上為零,最后得到,d,10-1 等截面直桿的扭轉(zhuǎn),在桿的任一端，剪應(yīng)力合成為扭矩,同樣得：,10,扭轉(zhuǎn),三 位移公式,根據(jù)應(yīng)力、應(yīng)變、位移的關(guān)系可以得到,由上面得到,10-1 等截面直桿的扭轉(zhuǎn),其中K表示桿的單位長(zhǎng)度內(nèi)的扭轉(zhuǎn)角.不計(jì)剛體位移,e,11,扭轉(zhuǎn),代入前面右邊前兩式,上兩式可用來(lái)求出位移分量w。,f,10-1 等截面直桿的扭轉(zhuǎn),上兩式分別對(duì)y和x求導(dǎo)，再相減，得,可見前面公式b中,得 C=-2GK.,顯然，為了求得扭轉(zhuǎn)問題的解，只須尋出應(yīng)力函數(shù)，使它滿足方程b、 c和d，然后由a式求出應(yīng)力分量，由式e 和f給出位移分量的值。,12,扭轉(zhuǎn),10-2 薄膜比擬,對(duì)于矩形、薄壁桿件這些截面并不復(fù)雜的柱體，要求出其精確解都是相當(dāng)困難的，更不用說(shuō)較復(fù)雜截面的桿件了。為了解決較復(fù)雜截面桿件的扭轉(zhuǎn)問題，特提出薄膜比擬法。該方法是建立在柱體扭轉(zhuǎn)問題與受均勻側(cè)壓力而四周張緊的彈性薄膜之間數(shù)學(xué)關(guān)系相似的基礎(chǔ)上。 比擬的條件是二者的微分方程和邊界條件相同。薄膜比擬法是求解扭轉(zhuǎn)問題的一種實(shí)驗(yàn)方法。,設(shè)有一塊均勻薄膜，張?jiān)谂c扭轉(zhuǎn)桿件截面相同或成比例的邊界上。當(dāng)在側(cè)面上受著微小的均勻壓力時(shí)，在薄膜內(nèi)部將產(chǎn)生均勻的張力，薄膜的各點(diǎn)將發(fā)生圖示 z 方向微小的垂度。,b,c,13,扭轉(zhuǎn),取薄膜的一個(gè)微小部分abcd圖示，它在xy面上的投影是一個(gè)矩形，矩形的邊長(zhǎng)分別是dx和dy。設(shè)薄膜單位寬度上的拉力為 T，則由z方向的平衡條件 得,簡(jiǎn)化后得,10-2 薄膜比擬,14,扭轉(zhuǎn),即,此外，薄膜在邊界上的垂度顯然等于零，即,a,而應(yīng)力函數(shù)所滿足的微分方程和邊界條件為,10-2 薄膜比擬,其中Gk也是常量，,b,將式 b與式 a對(duì)比，可見 與 決定于同樣的微分方程和邊界條件，如果調(diào)整 ， 使 ，則有 . 因而必然具有相同的解答。于是有,15,扭轉(zhuǎn),即,c,10-2 薄膜比擬,則有,從而有,d,由,又可得,e,設(shè)薄膜及其邊界平面之間的體積為V，并注意到,16,扭轉(zhuǎn),1 扭桿的應(yīng)力函數(shù)等于薄膜的垂度z。,2 扭桿所受的扭矩M等于該薄膜及其邊界平面之間的體積的兩倍。,3 扭桿橫截面上某一點(diǎn)處的、沿任意方向的切應(yīng)力，就等于該薄膜在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的、沿垂直方向的斜率。,10-2 薄膜比擬,扭轉(zhuǎn)問題和薄膜問題的對(duì)應(yīng)關(guān)系,調(diào)整薄膜所受的壓力q， 使得 則可得出如下結(jié)論：,17,扭轉(zhuǎn),10-3 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn),設(shè)有等截面直桿。它的橫截面具有一個(gè)橢圓，橢圓的半軸分別為a和b，其邊界方程為,應(yīng)力函數(shù)在邊界上應(yīng)等于零，故取,代入,1,1、求應(yīng)力函數(shù),18,扭轉(zhuǎn),回代入1式得,由,10-3 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn),可得,由材料力學(xué)知,于是得,最后得,19,扭轉(zhuǎn),最后得到解答,于是由,橫截面上任意一點(diǎn)的合切應(yīng)力是,10-3 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn),最大切應(yīng)力發(fā)生在短半軸的兩端,最小切應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)半軸的兩端,2、求應(yīng)力,20,扭轉(zhuǎn),10-3 橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn),C=-2GK.,3. 求位移分量,21,扭轉(zhuǎn),9-4 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn),一 狹長(zhǎng)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn),設(shè)矩形截面的邊長(zhǎng)為a和b (圖示) 。若ab ，則稱為狹長(zhǎng)矩形。由薄膜比擬可以推斷，應(yīng)力函數(shù)在絕大部分橫截面上幾乎不隨x變化，于是有,則,成為,積分，并注意在邊界上,即得,將代入,積分后得,故,應(yīng)力分量為,22,扭轉(zhuǎn),由薄膜比擬可知，最大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形截面的長(zhǎng)邊上，方向平行于 x軸，其大小為,9-4 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn),二 矩形截面桿,在狹矩形截面扭桿應(yīng)力函數(shù)的基礎(chǔ)上，取任意矩形截面桿應(yīng)力函數(shù)為,代入微分方程,并使 滿足邊界條件,得到,23,扭轉(zhuǎn),將上式右邊在y-b/2,b/2區(qū)間展為 的級(jí)數(shù)，然后比較兩邊的系數(shù)，得,將Am代入，得確定的應(yīng)力函數(shù),9-4 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn),由薄膜比擬可以推斷，最大剪應(yīng)力發(fā)生在矩形截面長(zhǎng)邊的中點(diǎn)若ab,24,扭轉(zhuǎn),其中扭角 k 由,9-4 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn),求得,將上面兩個(gè)公式分別寫成：,因子 只與比值 有關(guān)，數(shù)值如下圖所示.,25,扭轉(zhuǎn),9-4 矩形截面桿的扭轉(zhuǎn),系數(shù) 與 的關(guān)系,狹長(zhǎng)矩形截面,26,扭轉(zhuǎn),9-5 薄壁桿件的扭轉(zhuǎn),實(shí)際工程上經(jīng)常遇到開口薄壁桿件，例如角鋼、槽鋼、工字鋼等，這些薄壁件其橫截面大都是由等寬的狹矩形組成。無(wú)論是直的還是曲的，根據(jù)薄膜比擬，只要狹矩形具有相同的長(zhǎng)度和寬度，則兩個(gè)扭桿的扭矩及其橫截面剪應(yīng)力沒有多大差別。,設(shè) ai 及 bi 分別表示扭桿橫截面的第 i 個(gè)狹矩形的長(zhǎng)度和寬度，Mi表示該矩形截面上承受的扭矩，M表示整個(gè)橫截面上的扭矩，i代表該矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)附近的剪應(yīng)力，k代表扭桿的扭角。則由狹矩形的結(jié)果，得,開口薄壁桿件,27,扭轉(zhuǎn),由后一式得,而,故有,從而有,值得注意的是：由上述公式給出的狹矩形長(zhǎng)邊中點(diǎn)的剪應(yīng)力已相當(dāng)精確，然而，由于應(yīng)力集中的存在，兩個(gè)狹矩形的連接處，可能存在遠(yuǎn)大于此的局部剪應(yīng)力。,9-5 開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn),28,扭轉(zhuǎn),9-5 開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn),閉口薄壁桿件,應(yīng)用薄膜比擬法求桿件應(yīng)力。假象在薄壁桿件的界面邊界上張一塊薄膜，在邊界的垂度為零，在內(nèi)邊界處垂度為 ，且為常量，可以假象CD是一塊無(wú)重的剛性平板。,由于 很小，可以認(rèn)為薄膜的斜率沿厚度不變，于是切應(yīng)力的大小為：,扭矩M 應(yīng)等于體積ABCD的兩倍，即,面積A可以取為內(nèi)外兩邊界所包圍的面積的平均值，也可取為桿壁的中線所包圍的面積，由上兩式得：,最大切應(yīng)力發(fā)生在桿壁最薄處.,29,扭轉(zhuǎn),9-5 開口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn),設(shè)薄膜對(duì)平板所施加的拉力為,在豎直方向的投影為：,由整個(gè)平板在豎直方向的平衡,上式變?yōu)椋?由于,求扭轉(zhuǎn)角,當(dāng) 是常數(shù)時(shí),S是桿壁中線的全長(zhǎng),30,設(shè)空心圓截面桿，外半徑為a，內(nèi)半徑為b,取應(yīng)力函數(shù),側(cè)面邊界條件,端面邊界條件,結(jié)果與材料力學(xué)相同。,扭轉(zhuǎn),9-6 空心圓截面桿的扭轉(zhuǎn),31,扭轉(zhuǎn),習(xí)題 10.1 有一根高為a 的等邊三角形截面扭桿，坐標(biāo)如圖所示。三角形三條邊AB，OA，OB的方程分別為：,試證應(yīng)力函數(shù),能滿足一切條件，并求出最大剪應(yīng)力及扭角。,解： 將 代入相容方程,得,即,練習(xí)題,32,扭轉(zhuǎn),故,扭桿無(wú)孔洞， 顯然滿足側(cè)面邊界條件 ，由桿端部邊界條件,得,從而得,練習(xí)題,33,扭轉(zhuǎn),剪應(yīng)力,單位長(zhǎng)度上的扭角,練習(xí)題,34,扭轉(zhuǎn),習(xí)題 10.2 等截面桿單位長(zhǎng)度上的扭轉(zhuǎn)角為K ，剪切彈性模量為 ，若函數(shù) ，其中 為實(shí)常量， 為待定函數(shù)。試問： 滿足什么條件時(shí)， 可作為扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)？,答： 若題意所給函數(shù)能作為扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力函數(shù)，則該函數(shù)必須滿足相容方程,將 代入后得,此即為 需滿足的條件。,