教育部課題圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.ppt

教育部重點(diǎn)課題新教育子課題 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何達(dá)到理想課堂的實(shí)踐,溫州市甌海區(qū)三溪中學(xué) 張明,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,2019/7/14,3,一、我們知道，在笛卡爾之前，幾何和代數(shù)是老死不相往來，各自分開。是笛卡爾讓幾何代數(shù)聯(lián)系在一起。也就是通過直角坐標(biāo)系。笛卡兒向世人證明，幾何問題可以歸結(jié)成代數(shù)問題，也可以通過代數(shù)轉(zhuǎn)換來發(fā)現(xiàn)、證明幾何性質(zhì)。 其實(shí)笛卡爾曾經(jīng)有個(gè)偉大構(gòu)想，那就是：把一切問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，把一切數(shù)學(xué)問題歸結(jié)為代數(shù)問題，把一切代數(shù)問題歸結(jié)為方程，最后得到關(guān)于一個(gè)未知數(shù)的方程。只要把這個(gè)方程解出來，就解決了任何問題。我們知道按當(dāng)代科技這個(gè)構(gòu)想是不能實(shí)現(xiàn)的。比如化學(xué)、生物學(xué)科。就算是數(shù)學(xué)也不能都?xì)w結(jié)為方程問題。 把幾何問題歸結(jié)成代數(shù)問題這是個(gè)很新鮮的想法。 比如點(diǎn)有個(gè)坐標(biāo)，但直線由點(diǎn)組成，所以直線是否有代數(shù)形式，這很新鮮的。我們知道在幾何中兩直線由相交、平行，那反應(yīng)在代數(shù)上會是怎么回事，也是很新鮮的。在幾何中有圓，那圓的代數(shù)形式是怎樣的，在幾何中直線與圓有好幾種關(guān)系，這幾種關(guān)系如果從代數(shù)角度講會有新鮮的結(jié)論嗎？ 這節(jié)課我們講直線的代數(shù)形式，那就是直線的方程。這是很新鮮的東西，在笛卡爾之前是沒有的。,2019/7/14,4,解析幾何是17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成果之一，它的產(chǎn)生有著深刻的原因 首先，生產(chǎn)力的發(fā)展對數(shù)學(xué)提出了新的要求，常量數(shù)學(xué)的局限性越來越明顯了例如，航海業(yè)的發(fā)展，向數(shù)學(xué)提出了如何精確測定經(jīng)緯度的問題；造船業(yè)則要求描繪船體各部位的曲線，計(jì)算不同形狀船體的面積和體積；顯微鏡與望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明，提出了研究透鏡鏡面形狀的問題；隨著火器的發(fā)展，拋射體運(yùn)動的性質(zhì)顯得越來越重要了，它要求正確描述拋射體運(yùn)動的軌跡，計(jì)算炮彈的射程，特別是開普勒發(fā)現(xiàn)行星沿橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，要求用數(shù)學(xué)方法確定行星位置所有這些問題都難以在常量數(shù)學(xué)的范圍內(nèi)解決實(shí)踐要求人們研究變動的量解析幾何便是在這樣的社會背景下產(chǎn)生的,總結(jié)：在當(dāng)時(shí)以前的幾何是定性研究不是定量研究，不是精確的計(jì)算。同學(xué)們平面幾何或立體幾何中有精確的計(jì)算嗎？沒有。,2019/7/14,5,其次，解析幾何的產(chǎn)生也是數(shù)學(xué)發(fā)展的大勢所趨，因?yàn)楫?dāng)時(shí)的幾何與代數(shù)都相當(dāng)完善了實(shí)際上，幾何學(xué)早就得到比較充分的發(fā)展，幾何原本建立起完整的演繹體系，阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論則對各種圓錐曲線的性質(zhì)作了詳盡的研究但幾何學(xué)仍存在兩個(gè)弱點(diǎn)，一是缺乏定量研究，二是缺乏證題的一般方法而當(dāng)時(shí)的代數(shù)則是一門注重定量研究、注重計(jì)算的學(xué)科到16世紀(jì)末，韋達(dá)(FVieta， 15401603)在代數(shù)中有系統(tǒng)地使用字母，從而使這門學(xué)科具有了一般性它在提供廣泛的方法論方面，顯然高出希臘人的幾何方法于是，從代數(shù)中尋求解決幾何問題的一般方法，進(jìn)行定量研究，便成為數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢實(shí)際上，韋達(dá)的分析術(shù)引論(In artem analyticem isagoge)等著作中的一些代數(shù)問題，便是為解幾何題而列出的,2019/7/14,6,在初中圓是屬于平面幾何內(nèi)容，在笛卡爾之前，幾何、代數(shù)相互分離，老死不相往來，笛卡爾后代數(shù)、幾何結(jié)合在一起。那我們從代數(shù)角度研究圓看看，看看有什么不同新鮮的結(jié)論或與平面幾何中圓的知識有什么不同的風(fēng)景。,問題提出,1.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條 直線，一點(diǎn)和傾斜角也確定一條直線， 那么在什么條件下可以確定一個(gè)圓呢？,2.直線可以用一個(gè)方程表示，圓也可以用一個(gè)方程來表示嗎？怎樣建立圓的方程是我們需要探究的問題.,探究一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓.,P=M|MA|=r.,圓上點(diǎn)的集合,數(shù)學(xué)思想：變化中的不變性,思考2:確定一個(gè)圓最基本的要素是什么？,思考3:設(shè)圓心坐標(biāo)為A(a，b)，圓半徑 為r，M(x，y)為圓上任意一點(diǎn)，根據(jù)圓的定義x，y應(yīng)滿足什么關(guān)系？,(x-a)2+(y-b)2=r2,P = M | |MA| = r ,圓心和半徑,變化中的不變性,思考4:對于以點(diǎn)A(a，b)為圓心，r為半徑的圓，由上可知，若點(diǎn)M(x，y)在圓上,則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ；反之,若點(diǎn)M(x，y)的坐標(biāo)適合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ， 那么點(diǎn)M一定在這個(gè)圓上嗎？,思考6:以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓稱為單位圓,那么單位圓的方程是什么？,我們把方程 稱為以A(a，b)圓心，r為半徑長的,x2+y2=1,思考5:那么確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要幾個(gè)獨(dú)立條件？,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,為什么被稱為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？,1、“標(biāo)準(zhǔn)”意思衡量事物的準(zhǔn)則：技術(shù)實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一。 本身合于準(zhǔn)則，可供同類事物比較核對的事物：音時(shí)。 指樣榜；規(guī)范。 2、說明還有其他方程。,1、圓心為 ，半徑長等于5的圓的方程為（ ） A (x 2 )2+(y 3 )2=25 B (x 2 )2+(y + 3 )2=25 C (x 2 )2+(y + 3 )2=5 D (x + 2 )2+(y 3 )2=5,B,2、圓 (x2)2+ y2=2的圓心C的坐標(biāo)及半徑r分別為（ ） A C（2，0） r = 2 B C（ 2，0） r = 2 C C（0，2） r = D C（2，0） r =,D,隨堂練習(xí),3、已知 和圓 (x 2 )2+(y + 3 )2=25 ，則點(diǎn)M在 （ ） A 圓內(nèi) B 圓上 C 圓外 D 無法確定,B,探究二：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,思考7:在平面幾何中，初中學(xué)過：點(diǎn)與 圓有哪幾種位置關(guān)系？,OAr,OAr,OA=r,思考9:在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)M(x0，y0)和圓C： ,如何判斷點(diǎn)M在圓外、圓上、圓內(nèi)？,(x0-a)2+(y0-b)2r2時(shí),點(diǎn)M在圓C外;,(x0-a)2+(y0-b)2=r2時(shí),點(diǎn)M在圓C上;,(x0-a)2+(y0-b)2r2時(shí),點(diǎn)M在圓C內(nèi).,思考題： 集合(x，y)|(x-a)2+(y-b)2r2 表示的圖形是什么？,2019/7/14,16,圓心C：兩條直線的交點(diǎn),半徑CA：圓心到圓上一點(diǎn),x,y,O,A(1,1),B(2,-2),弦AB的垂直 平分線,例1 已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1, 1)和B(2, 2)，且圓心C在直線上l：x y +1=0，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,探究三：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用,解題就是思維如何發(fā)生發(fā)展？為什么要這樣發(fā)生發(fā)展？,2019/7/14,17,解：因?yàn)锳(1, 1)和B(2, 2)，所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo),直線AB的斜率:,解方程組,得,所以圓心C的坐標(biāo)是,圓心為C的圓的半徑長,所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是,2019/7/14,18,圓心：兩條弦的中垂線的交點(diǎn),半徑：圓心到圓上一點(diǎn),x,y,O,A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),例2 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1), B(7,3)，C(2, 8)，求它的外接圓的方程,D,E,2019/7/14,19,例2： 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別A(5,1)、B(7,3)、C(2,8)，求它的外接圓的方程,解：設(shè)所求圓的方程是 (1),因?yàn)锳(5,1), B(7,