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文檔簡介
第5章 符號計算 (1),MATLAB 7.X程序設(shè)計,2/44,主要內(nèi)容:,創(chuàng)建符號常量和變量; 符號多項式的運(yùn)算; 符號微積分的計算; 符號積分變換的計算; 符號微分方程和代數(shù)方程的求解。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,3/44,5.1 符號計算基礎(chǔ),5.1.1 概述 符號計算的特點(diǎn): 1)符號計算定義在符號變量的基礎(chǔ)上,符號表達(dá)式計算前必須定義符號變量。 2)符號計算是精確計算。 3)符號計算的計算速度較慢。 4)符號計算的運(yùn)算符和基本數(shù)學(xué)函數(shù)與數(shù)值計算中的運(yùn)算符和基本數(shù)學(xué)函數(shù)幾乎完全相同。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,4/44,5.1.2 創(chuàng)建符號常量,sym函數(shù)創(chuàng)建符號常量,格式1為: sym(常量),例5-1 創(chuàng)建符號常量。 b=sym(pi) %創(chuàng)建符號常量,MATLAB 7.X程序設(shè)計,5/44,sym函數(shù)的格式2為: sym(常量,參數(shù)) 功能:把常量按參數(shù)的格式要求轉(zhuǎn)換為符號常量。其中參數(shù)的含義: d 返回最接近的十進(jìn)制數(shù)(默認(rèn)位數(shù)為32位) f 返回該符號值最接近的浮點(diǎn)表示 r 返回該符號值最接近的有理數(shù)型(為系統(tǒng)默認(rèn)方式),可表示為p/q、p*q、10q、p/q、2q和sqrt(p)形式之一 e 返回最接近的帶有機(jī)器浮點(diǎn)誤差的有理值,MATLAB 7.X程序設(shè)計,6/44,5.1.3 創(chuàng)建符號變量,sym(變量,參數(shù)) 功能:把變量定義為符號對象。其中參數(shù)用來設(shè)置限定符號變量的數(shù)學(xué)特性,有三種選擇: positive 表示為“正、實(shí)”符號變量, real 表示為“實(shí)”符號變量, unreal 表示為“非實(shí)”符號變量。如果不限定則參數(shù)可省略。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,7/44,syms函數(shù)的格式為: syms(arg1, arg2, ,參數(shù)) syms arg1 arg2 參數(shù) 功能:創(chuàng)建多個符號變量。,例5-2 創(chuàng)建符號復(fù)數(shù)變量a+bi。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,8/44,5.2 符號表達(dá)式的基本操作,5.2.1 符號表達(dá)式的基本運(yùn)算 1 算術(shù)運(yùn)算、關(guān)系運(yùn)算 2 常用的函數(shù) 1) 三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 2) 指數(shù)和對數(shù)函數(shù) 3) 矩陣分析函數(shù),MATLAB 7.X程序設(shè)計,9/44,例5-3 創(chuàng)建符號矩陣,并求逆、對角陣、行 列式和秩。,例5-4 求線性方程組的解。,如果求解前3個方程所構(gòu)成的“欠定”方程組呢?,MATLAB 7.X程序設(shè)計,10/44,4) 取整函數(shù) 5)復(fù)數(shù)函數(shù),例5-5 創(chuàng)建符號復(fù)數(shù)常量,并求其共軛、實(shí) 部 、虛部和模。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,11/44,5.2.2 符號數(shù)值精度控制,三種不同的算術(shù)運(yùn)算: 1) 數(shù)值型 MATLAB的浮點(diǎn)運(yùn)算。 2) 有理數(shù)型 Maple的精確符號運(yùn)算。 3) VPA型 Maple的任意精度運(yùn)算。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,12/44,第3種運(yùn)算的精度可以任意設(shè)置,由digits和vpa函數(shù)實(shí)現(xiàn)。 digits(n) 功能:設(shè)定計算精度和改變默認(rèn)的有效位數(shù)函數(shù)。 其中n為所期望的有效位數(shù),默認(rèn)值為32位。 Vpa 的格式為: S=vpa(s,n) 功能:將s表示為n位有效位數(shù)的符號對象。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,13/44,例5-6 應(yīng)用digits和vpa函數(shù)設(shè)置運(yùn)算精度。,a=sym(2*sqrt(5)+pi) %創(chuàng)建符號對象 digits %顯示默認(rèn)的有效位數(shù) vpa(a) %用默認(rèn)的位數(shù)計算并顯示 vpa(a,20) %按指定的精度計算并顯示 digits(15) %改變默認(rèn)的有效位數(shù) vpa(a) %按digits指定的精度計算并顯示,MATLAB 7.X程序設(shè)計,14/44,5.2.3 符號對象轉(zhuǎn)換為數(shù)值對象,double(S) 功能:把符號矩陣S轉(zhuǎn)換為雙精度浮點(diǎn)數(shù)矩陣。 single(S) 功能:把符號矩陣S轉(zhuǎn)換為單精度浮點(diǎn)數(shù)矩陣。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,15/44,例5-7 建立符號常數(shù)矩陣,并轉(zhuǎn)換 為數(shù)值矩陣。,s=sym(1/3 5/7;sqrt(3) 8/9) %建立符號常數(shù)矩陣s single(s) %把s轉(zhuǎn)換為數(shù)值矩陣,MATLAB 7.X程序設(shè)計,16/44,5.2.4 自由變量的確定,符號表達(dá)式允許使用自由變量。確定自由變量的原則: 1)小寫字母i和j不能作為自由變量。 2)符號表達(dá)式中如果有多個字符變量,則按照以下順序選擇自由變量: 首先選擇x作為自由變量;如果沒有x,則選擇在字母順序中最接近x的字符變量;如果與x相同距離,則在x后面的優(yōu)先。 3)大寫字母比所有的小寫字母都靠后。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,17/44,findsym的格式為: findsym(EXPR,n) 功能:確定EXPR中的自由變量。 其中EXPR可以是符號表達(dá)式或符號矩陣;n為按順序得出符號變量的個數(shù),當(dāng)n省略時,則不按順序給出EXPR中所有的符號變量。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,18/44,例5-8 創(chuàng)建符號表達(dá)式,然后確定符 號變量。,f1=sym(a*x2+B*x+c) %創(chuàng)建符號表達(dá)式a*x2+ B*x+c findsym(f1) %確定B, a, c, x為符號變量 findsym(f1,1) %確定x為符號變量 findsym(f1,2) %確定x,c為符號變量 findsym(f1,3) %確定x,c,a為符號變量 findsym(f1,4) %確定x,c,a,B為符號變量,MATLAB 7.X程序設(shè)計,19/44,5.2.5 變量置換,subs (S) 功能:用MATLAB工作空間中的變量替換S符號表達(dá)式中的所有變量。,subs (S,NEW) 功能:用變量NEW替換符號表達(dá)式S中的自由變量。,subs (S,OLD,NEW) 功能:用變量NEW替換符號表達(dá)式S中的變量OLD。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,20/44,例5-9 根據(jù)subs的置換規(guī)則,分析下 列語句的功能。,syms a b x; %創(chuàng)建符號變量a, b,和 x f=a*sin(x)+b; %創(chuàng)建符號表達(dá)式 f1=subs(f,a,sym(2) %以符號常量2替換符號變量a f2=subs(f,a,b,sym(2),sym(3) %分別以符號常量2、3替換符號變量a、b f3=subs(f,a,b,3,2) %分別以標(biāo)量2、3替換符號變量a、b,MATLAB 7.X程序設(shè)計,21/44,f4=subs(f,sin(x),sym(y) %以符號變量y替換符號表達(dá)式sin(x) f5=subs(f,a,b,x,2,2,sym(pi/3) %分別以標(biāo)量2、3替換符號變量a、b,以符號常量pi/3替換符號變量x f6=subs(f,a,b,x,2,2,pi/3) %分別以標(biāo)量2、3 、pi/3替換符號變量a、b、x,MATLAB 7.X程序設(shè)計,22/44,5.2.6 反函數(shù)和復(fù)合函數(shù),finverse(f,v) 功能:對指定自變量v的函數(shù)f(v)求反函數(shù)。當(dāng)v省略時,則對默認(rèn)的自由符號變量求反函數(shù)。,compose(f,g,x,z) 功能:返回值為f(g(z)。其中f和g是符號表達(dá)式,x和z是符號變量。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,23/44,例5-11 求tex的反函數(shù)。 f=sym(t*ex)%原函數(shù) g=finverse(f) %對默認(rèn)自由變量x求反函數(shù) g=finverse(f,t)%對t求反函數(shù),例5-10 求y=x2的反函數(shù)。 syms x;f=x2;g=finverse(f) fg=compose(g,f) %驗算g(f(x)是否等于x,MATLAB 7.X程序設(shè)計,24/44,應(yīng)該注意的是如果先定義t為符號變量,則參數(shù)t的單引號可去掉: syms t g=finverse(f,t),例5-12 求sinx和lnx的反函數(shù)。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,25/44,5.3 符號多項式函數(shù),5.3.1 合并同類項 collect (S,v) 功能:合并多項式S的同類項。其中S是符號表達(dá)式,v是合并同類項的變量。 collect (S) 功能:以findsym確定的變量合并多項式S的同類項。 函數(shù)pretty可給出多項式的易讀形式。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,26/44,例5-13 合并多項式 的同類項。,x=sym(x); f=(x3+x+1)*(x2+1); g=collect(f),MATLAB 7.X程序設(shè)計,27/44,例5-14 合并多項式 的同類項。,s=sym(x2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t); e1=collect(s) %合并關(guān)于x的同類項系數(shù) e2=collect(s,exp(-t) %合并關(guān)于exp(-t)的同類項系數(shù) e3=collect(s,t) %合并關(guān)于t的同類項系數(shù),MATLAB 7.X程序設(shè)計,28/44,例5-15 創(chuàng)建符號多項式,并應(yīng)用函數(shù) sym2poly,poly2str和poly2sym 進(jìn)行各種形式間的轉(zhuǎn)換。,syms x;f=x3+2*x2-3*x+5; sy2p=sym2poly(f) %由符號多項式產(chǎn)生數(shù)值系數(shù)行向量 p2st=poly2str(sy2p,x) %把系數(shù)行向量變成易讀表示式 p2sy=poly2sym(sy2p) %把數(shù)值系數(shù)行向量再轉(zhuǎn)換為符號多項式 pretty(f,x) %顯示符號多項式的易讀表示形式,MATLAB 7.X程序設(shè)計,29/44,5.3.2 因式分解,factor(s) 功能:把符號表達(dá)式S轉(zhuǎn)換為多個因式相乘的形式,各多項式的系數(shù)均為有理數(shù)。 horner(s) 功能:將符號多項式s轉(zhuǎn)換為嵌套形式表示,即用多層括號的形式表示。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,30/44,例5-16 分解因式,syms x a;f=factor(x3-a3) ; pretty(f,x) 執(zhí)行結(jié)果如下: ans = 2 2 -(a - x) (a + a x + x ),MATLAB 7.X程序設(shè)計,31/44,例5-17 將符號矩陣表達(dá)式的各個元素 分解為多個因式,syms x b; f=x3+b3 x4-1;x5-1 x6-1; factor(f),MATLAB 7.X程序設(shè)計,32/44,例5-18 將多項式表示為嵌套形式。,syms x; horner(x6-x4-5*x3+5*x2+5*x-6),MATLAB 7.X程序設(shè)計,33/44,例5-19 將數(shù)字1025分解為正整數(shù)之積。,factor(1025) 執(zhí)行結(jié)果如下: ans = 5 5 41 分析:由執(zhí)行結(jié)果可以看出1025=5541,恰巧是素數(shù)之積。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,34/44,求全部兩位數(shù)的素數(shù)的程序如下:,sushu=; for ii=10:99 x=factor(ii); if x=ii sushu=sushu ii; end end sushu,MATLAB 7.X程序設(shè)計,35/44,例5-20 問入取何值時,齊次方程組有非 0解?,MATLAB 7.X程序設(shè)計,36/44,5.3.3 分子、分母的提取,N,D = numden (S) 提取有理多項式的分子、分母多項式。其中S是符號表達(dá)式,N為符號表達(dá)式S的分子,D為符號表達(dá)式S的分母。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,37/44,例5-21 求出 的分子、分母,syms x; f=1/(x3)+6/x/x+12/x+8;n,d=numden(f),MATLAB 7.X程序設(shè)計,38/44,例5-22 求出符號矩陣 各元素的分子、分母多項式。,syms x; A=3/x/x/x+1 x2/(2*x-1);4/x2-1/x 1/(x+4); n,d=numden(A),MATLAB 7.X程序設(shè)計,39/44,5.3.4 化簡,simplify(s) simple(s) 功能:返回符號表達(dá)式s的簡化形式。,MATLAB 7.X程序設(shè)計,40/44,例 5-23 化簡,方法1: syms x; f=x/(x2+x+1)+1/(x-1); simple(f),方法2: syms x; f=x/(x2+x+1)+1/(x-1); simplify(f),MATLAB 7.X程序
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