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文檔簡介

2.2 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù),1、共軛調(diào)和函數(shù),由復(fù)變函數(shù)的可微的充要條件，函數(shù)可微必須滿足C-R條 件，即： 。而由C-R條件有：,顯然有：,定義1(調(diào)和函數(shù))：如果實(shí)函數(shù)u(x,y)在區(qū)域D中有二階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)，并且滿足： ，則稱u(x,y)為區(qū)域D中的調(diào)和 函數(shù)。 稱為Laplace方程。,定理1：在區(qū)域D中解析的復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其實(shí)部 和虛部都是該區(qū)域上的調(diào)和函數(shù)。,* 若u(x,y),v(x,y)是任意選取的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)，則f(z)卻不一定解析。,例1、驗(yàn)證u(x,y)=x3-3xy2是二維平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以它 為實(shí)部的解析函數(shù)。,解：,顯然： ， u(x,y)為調(diào)和函數(shù)。,若以u(x,y)為實(shí)部，則函數(shù)解析必須滿足C-R條件，所以：,由方程(1)解得：,將其帶入到(2)中有：,解得：,最后可以將解析函數(shù)表示為：,* 顯然一個(gè)解析的復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部并不是獨(dú)立的任意選 取的實(shí)函數(shù)，而是由C-R條件聯(lián)系在一起的一對共軛實(shí)調(diào)和 函數(shù)。,定理2：在區(qū)域D中解析的復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其實(shí)部 和虛部為該區(qū)域上的共軛調(diào)和函數(shù)。,2、共軛調(diào)和函數(shù)的幾何意義,在區(qū)域D中解析的復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f(z)0，并分 別取u(x,y),v(x,y)的等值線：,可以證明，兩條曲線在交點(diǎn)處正交。,證明：若令兩個(gè)曲線的交點(diǎn)為(x0,y0)，則：,實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)的梯度場函數(shù)為：,所以，在交點(diǎn)處兩個(gè)等值線的法向量為：,現(xiàn)在做兩個(gè)向量的內(nèi)積：,很顯然，兩個(gè)共軛調(diào)和函數(shù)的等值曲線在交點(diǎn)處正交。,例2，在復(fù)平面上的

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