高中數(shù)學(xué)第二章平面向量的數(shù)量積（第1課時）平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教案.docx

第1課時平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P103P105的內(nèi)容，回答下列問題觀察教材P103圖2.41和圖2.42，思考：(1)如何計算力F所做的功？提示：W|F|s|cos .(2)力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cos .(3)力做功的大小與哪些量有關(guān)？提示：與力F的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān)2歸納總結(jié)，核心必記(1)向量的數(shù)量積的定義已知條件向量a，b是非零向量，它們的夾角為定義數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)記法ab|a|b|cos 規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0(2)向量的數(shù)量積的幾何意義投影的概念：()向量b在a的方向上的投影為|b|cos .()向量a在b的方向上的投影為|a|cos .數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量，為a與b的夾角abab0.當(dāng)a與b同向時，ab|a|b|，當(dāng)a與b反向時，ab|a|b|.aa|a|2或|a|.cos .|ab|a|b|.(4)向量數(shù)量積的運算律abba(交換律)(a)b(ab)a(b)(結(jié)合律)(ab)cacbc(分配律)問題思考(1)向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量的區(qū)別是什么？提示：平面向量的數(shù)量積是關(guān)于兩個向量間的運算，其運算結(jié)果是一個實數(shù)，這個實數(shù)的符號由兩向量夾角的余弦值來確定向量的數(shù)乘是實數(shù)與向量間的運算，其結(jié)果是一個向量，這個向量與原向量是共線向量(2)數(shù)量積ab與實數(shù)乘法ab的區(qū)別是什么？提示：在實數(shù)中，若a0，且ab0，則b0，但在數(shù)量積中，若a0且ab0，不一定能推出b0，這是因為|b|cos 有可能為0，即ab.在實數(shù)中|ab|a|b|，但在向量中|ab|a|b|.(3)ab與ab0等價嗎？提示：當(dāng)a與b為非零向量時，兩者等價；當(dāng)其中一個為零向量時，兩者不等價(4)ab0，則a，b是鈍角嗎？提示：ab|a|b|cosa，b0，cosa，b0，a，b是鈍角或180.(5)ab中的“”能省略不寫嗎？提示：不能省略，也不能換成其它符號，a與b的數(shù)量積又稱a與b的點乘(6)對于向量a，b，c，等式(ab)ca(bc)一定成立嗎？提示：不一定成立，若(ab)c0，其方向與c相同或相反，而a(bc)0時其方向與a相同或相反，而a與c方向不一定相同，故該等式不一定成立課前反思(1)向量數(shù)量積的定義： ；(2)向量數(shù)量積的幾何意義： ；(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)： ；(4)向量數(shù)量積的運算律： .知識點1向量數(shù)量積的運算思考1要求ab，需要知道哪些量？名師指津：要求ab，需要知道|a|、|b|、cos .思考2你認為，求平面向量數(shù)量積的步驟是什么？名師指津：求平面向量數(shù)量積的步驟為：(1)求a與b的夾角 ，0，；(2)求|a|和|b|；(3)代入公式求ab的值講一講1(1)已知向量a與b的夾角為120，且|a|4，|b|2，求：ab；(ab)(a2b)(2)設(shè)正三角形ABC的邊長為，c，a，b，求abbcca.嘗試解答(1)由已知得ab|a|b|cos 42cos 1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)|a|b|c|，且a與b、b與c、c與a的夾角均為120，abbccacos 12033.類題通法向量數(shù)量積的求法(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵(2)根據(jù)數(shù)量積的運算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算練一練1(1)已知下列命題：若a2b20，則ab0；已知a，b，c是三個非零向量，若ab0，則|ac|bc|；|a|b|0，則a與b的夾角為銳角其中所有正確命題的序號是_(2)已知|a|2，|b|3，a與b的夾角為60，求：ab；(2ab)(a3b)；|ab|.解析：(1)對于，a2b20，|a|2|b|20，|a|b|0，ab0，故正確；對于，ab0，a與b互為相反向量，設(shè)a與c夾角為，則b與c夾角為，則ac|a|c|cos ，bc|b|c|cos()|b|c|cos ，|ac|bc|，所以正確；對于，|ab|a|b|cos |a|b|，故錯誤；對于，aaa|a|2a，其結(jié)果為向量，故錯誤；對于，當(dāng)a與b為同向的非零向量時，ab|a|b|cos 0|a|b|0，但夾角不是銳角，故錯誤(2)ab|a|b|cos 23cos 603.(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25ab3|b|2222533324.|ab|.答案：(1)知識點2向量的模思考如何求向量的模|a|?提示：|a|.講一講2已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|.嘗試解答(1)由(2a3b)(2ab)61，得4|a|24ab3|b|261.將|a|4，|b|3代入上式，得ab6，所以cos .又0，所以.(2)因為|ab|2(ab)2a22abb2|a|22ab|b|213，所以|ab|.類題通法向量模的常見求法在求向量的模時，直接運用公式|a|，但計算兩向量的和與差的長度用|ab|.練一練2(1)已知非零向量a2b2c，|b|c|1，若a與b的夾角為，則|a|_；(2)已知向量a、b滿足|a|2，|b|3，|ab|4，則|ab|_.解析：(1)由于cab，所以c2|a|2|b|22|a|b|，整理得|a|22|a|0，所以|a|2或|a|0(舍去)(2)由已知，|ab|4，|ab|242，a22abb216.(*)|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，代入(*)式得42ab916，即2ab3.又|ab|2(ab)2a22abb243910，|ab|.答案：(1)2(2)知識點3兩向量的夾角與垂直問題思考1如何求a與b的夾角？名師指津：利用cos 求出cos 的值，然后借助0，求.思考2兩非零向量a與b垂直的充要條件是什么？名師指津：兩非零向量a與b垂直的充要條件是ab0.講一講3(1)已知向量a，b滿足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，則a與b的夾角為_(2)已知非零向量a，b滿足a3b與7a5b互相垂直，a4b與7a2b互相垂直，求a與b的夾角嘗試解答(1)設(shè)a與b的夾角為，依題意有：(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6，所以cos ，因為0，故.(2)由已知條件得即得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos .0，.答案：(1)類題通法求向量a，b的夾角的思路(1)求向量的夾角的關(guān)鍵是計算ab及|a|b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計算cos ，最后借助0，求出值(2)在個別含有|a|，|b|與ab的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cos 的值練一練3已知|a|3，|b|2，向量a，b的夾角為60，c3a5b，dma3b，求當(dāng)m為何值時，c與d垂直？解：由已知得ab32cos 603.由cd，得cd0，即cd(3a5b)(ma3b)3ma2(5m9)ab15b227m3(5m9)6042m870，m，即m時，c與d垂直課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點是向量數(shù)量積的定義、幾何意義以及向量數(shù)量積的性質(zhì)、運算律，難點是向量數(shù)量積的幾何意義2要掌握與數(shù)量積相關(guān)的三個問題(1)數(shù)量積的計算，見講1；(2)向量的模的計算，見講2；(3)向量的夾角及垂直問題，見講3.3要注意區(qū)分向量數(shù)量積與實數(shù)運算的區(qū)別(1)在實數(shù)運算中，若ab0，則a與b中至少有一個為0.而在向量數(shù)量積的運算中，不能從ab0推出a0或b0.實際上由ab0可推出以下四種結(jié)論：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(2)在實數(shù)運算中，若a，bR，則|ab|a|b|，但對于向量a，b，卻有|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立這是因為|ab|a|b|cos |，而|cos |1.(3)實數(shù)運算滿足消去律：若bcca，c0，則有ba.在向量數(shù)量積的運算中，若abac(a0)，則向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc.(4)實數(shù)運算滿足乘法結(jié)合律，但向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，而a(bc)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線課下能力提升(十九)學(xué)業(yè)水平達標練題組1向量數(shù)量積的運算1下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是()0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2.A1 B2 C3 D4解析：選C正確，錯誤，|ab|a|b|cos |ab，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2a2b2.2已知|b|3，a在b方向上的投影是，則ab為()A. B3 C2 D.解析：選A|a|cosa，b，|b|3，ab|a|b|cosa，b3.3在ABC中，M是BC的中點，AM1，點P在AM上且滿足2，則()等于()A. B. C D解析：選AAM1，且2，|.如圖，()2()22.4.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，|4，|3，DAB60.求：(1) ；(2) ；(3) .解：(1) |29；(2) | |216；(3) | |cos (18060)436.題組2向量的模5已知平面向量a，b滿足|a|，|b|2，ab3，則|a2b|()A1 B.C4 D2解析：選B根據(jù)題意，得|a2b|.故選B.6若向量a與b的夾角為60，|b|4，(a2b)(a3b)72，則|a|()A2 B4C6 D12解析：選C(a2b)(a3b)72，a2ab6b272，|a|2|a|b|cos 606|b|272，|a|22|a|240，|a|6或|a|4.又|a|0，|a|6.7已知非零向量a，b，滿足ab，且a2b與a2b的夾角為120，則_.解析：(a2b)(a2b)a24b2，ab，|a2b|，|a2b|.故cos 120，得，即.答案：題組3兩向量的夾角與垂直問題8若非零向量a，b滿足|a|b|，(2ab)b0，則a與b的夾角為()A30 B60C120 D150解析：選C因為(2ab)b2abbb0，所以ab|b|2.設(shè)a與b的夾角為，則cos ，故120.9已知|a|3，|b|2，且a，b的夾角為60，如果(3a5b)(mab)，那么m的值為()A. B. C. D.解析：選C由題意知(3a5b)(mab)0，即3ma2(5m3)ab5b20,3m32(5m3)32cos 605220，解得m.10已知|a|3，|b|4，且(a2b)(2ab)4，則a與b的夾角的取值范圍是_解析：(a2b)(2ab)2a2ab4ab2b2293|a|b|cos 21614334cos 4，cos ，.答案：11已知向量a，b滿足|a|1，|b|4，且a，b的夾角為60.(1)求(2ab)(ab)；(2)若(ab)(a2b)，求實數(shù)的值解：(1)由題意，得ab|a|b|cos 60142.(2ab)(ab)2a2abb2221612.(2)(ab)(a2b)，(ab)(a2b)0，a2(2)ab2b20，2(2)320，12.能力提升綜合練1已知|a|3，|b|5，且a與b的夾角45，則向量a在向量b上的投影為()A. B3 C4 D5解析：選A由已知|a|3，|b|5，cos cos 45，而向量a在向量b上的投影為|a|cos 3.2如圖，e1，e2為互相垂直的兩個單位向量，則|ab|()A20 B. C2 D.解析：選C由題意，知ae1e2，be1e2，所以ab2e14e2，所以|ab|2，故選C.3如圖，在ABC中，ADAB，|1，則等于()A2 B. C. D.解析：選D因為 ，所以() .又ADAB，所以0，所以 .又，所以 () 2 .4已知平面向量a，b滿足|ab|1，|ab|x，abx，則x()A. B2 C. D3解析：選B|ab|2a22abb21，|ab|2a22abb2x2，兩式相減得4ab1x2.又abx，所以1x2x，解得x2或x(舍去)故選B.5已知平面向量，|1，|2，(2)，則|2|的值是_解析：|1，|2，由(2)，知(2)0,21，所以|2|2424242410，故|2|.答案：6設(shè)向量e1，e2滿足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夾角為60，若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍解：由題意，知e4，e1，e1e21，(2te17e2)(e1te2)2te(2t27)e1e27te2