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第三節(jié) 一階線性微分方程,一、線性方程 二、貝努利方程 三、小結(jié),一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:,上方程稱為齊次的.,上方程稱為非齊次的.,一、線性方程,例如,線性的;,非線性的.,齊次方程的通解為,1. 線性齊次方程,一階線性微分方程的解法,(使用分離變量法),2. 線性非齊次方程,討論,兩邊積分,非齊次方程通解形式,與齊次方程通解相比:,常數(shù)變易法,把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.,實質(zhì): 未知函數(shù)的變量代換.,作變換,積分得,一階線性非齊次微分方程的通解為:,對應(yīng)齊次方程通解,非齊次方程特解,解,例1,例2 如圖所示，平行與 軸的動直線被曲 線 與 截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線 .,兩邊求導(dǎo)得,解,解此微分方程,所求曲線為,伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,方程為線性微分方程.,方程為非線性微分方程.,二、伯努利方程,解法: 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,求出通解后，將 代入即得,代入上式,解,例 3,例4 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:,解,所求通解為,解,分離變量法得,所求通解為,解,代入原式,分離變量法得,所求通解為,另解,三、小結(jié),1.齊次方程,2.線性非齊次方程,3.伯努利方程,思考題,求

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