平面點集與多元函數(shù).ppt

1 平面點集與多元函數(shù),多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣, 它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì), 同時又因自變量的增多而產(chǎn)生了許多新的性質(zhì), 讀者對這些新性質(zhì)尤其要加以注意. 下面著重討論二元函數(shù), 由二元函數(shù)可以方便地推廣到一般的多元函數(shù)中去.,返回,一、平面點集,二、 R2 上的完備性定理,三、 二元函數(shù),一、平 面 點 集, 平面點集的一些基本概念 由于二元函數(shù)的定,坐標(biāo)平面上滿足某種條件 P 的點的集合, 稱為平,對 與平面上所有點之間建立起了一一對應(yīng).,在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后, 所有有序?qū)崝?shù),義域是坐標(biāo)平面上的點集, 因此在討論二元函數(shù),之前，有必要先了解平面點集的一些基本概念.,面點集, 記作,例如：,(2),(3),由于點 A 的任意圓鄰域可以包含在點 A 的某一,方鄰域之內(nèi)(反之亦然), 因此通常用“點 A 的 鄰,用記號 或 來表示.,點 A 的空心鄰域是指:,或,域” 或 “點 A 的鄰域” 泛指這兩種形狀的鄰域, 并,注意: 不要把上面的空心方鄰域錯寫成 : ( 請指出, 點和點集之間的關(guān)系,以下三種關(guān)系之一 :,是 E 的內(nèi)點; 由 E 的全體內(nèi)點所構(gòu)成的集合稱為,E 的內(nèi)部, 記作 int E.,錯在何處? ),點 A 是 E 的外點；由 E 的全體外點所構(gòu)成的集合,的全體界點所構(gòu)成的集合稱為 E 的邊界; 記作,注 E 的內(nèi)點必定屬于 E; E 的外點必定不屬于 E;,E 的界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E. 并請注意:,稱為 E 的外部.,的集合.,例1 設(shè)平面點集（見圖 16 3）,于D; 滿足 的一切點也,是 D 的內(nèi)點; 滿足,的一切點是 D 的界點, 它們都屬,是 D 的界點, 但它們都不屬于 D.,點 A 與點集 E 的上述關(guān)系是按 “內(nèi)-外” 來區(qū)分的.,此外，還可按 “疏-密” 來區(qū)分，即在點 A 的近旁,是否密集著 E 中無窮多個點而構(gòu)成另一類關(guān)系:,含有 E 中的點，則稱點 A 是點集 E 的聚點,注1 聚點本身可能屬于E，也可能不屬于E.,注2 聚點的上述定義等同于: “在點 A 的任何鄰域,內(nèi)都含有 E 中的無窮多個點”.,注3 E 的全體聚點所構(gòu)成的集合稱為 E 的導(dǎo)集, 記,例如, 對于例1 中的點集 D, 它的導(dǎo)集與閉包同為,所有聚點都屬于 D.,E 的孤立點.,注 孤立點必為界點; 內(nèi)點和不是孤立點的界點必,為聚點; 既非聚點, 又非孤立點, 則必為外點.,E 中所有點 ( p, q ) 全為 E 的孤立點; 并有, 一些重要的平面點集,根據(jù)點集所屬的點所具有的特殊性質(zhì), 可來定義一,些重要的點集.,開集 若 E 所屬的每一點都是 E 的內(nèi)點( 即E =,int E ), 則稱 E 為開集.,E 為閉集.,例如前面列舉的點集中, (2)式所示的 C 是開集; (3),式所示的 S 是閉集; (4)式所示的 D 既非開集, 又,非閉集; 而(1)式所示的 R2 既是開集又是閉集. 在,開域若非空開集 E 具有連通性, 即 E 中任意兩,點之間都可用一條完全含于 E 的有限折線相連接,則稱 E 為開域. 簡單地說, 開域就是非空連通開集.,閉域 開域連同其邊界所成的集合稱為閉域.,區(qū)域 開域、閉域、開域連同其一部分界點所,成的集合, 統(tǒng)稱為區(qū)域.,不難證明: 閉域必為閉集; 而閉集不一定為閉域.,在前述諸例中, (2)式的 C 是開域, (3)式的 S 是閉,域, (1)式的 R2 既是開域又是閉域, (4)式的 D 是區(qū),域 (但既不是開域又不是閉域). 又如,它是 I、 III 兩象限之并集. 雖然它是開集, 但因,不具有連通性, 所以它既不是開域, 也不是區(qū)域.,其中 O 是坐標(biāo)原點(也可以是其他固定點), 則稱 E,為有界點集. 否則就為無界點集 (請具體寫出定義).,前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1) 與 (5) 是無界集.,E 為有界點集的另一等價說法是: 存在矩形區(qū)域,此外，點集的有界性還可以用點集的直徑來反映,所謂點集 E 的直徑, 就是,其中(P1, P2) 是 P1 (x1, y1) 與 P2 (x2, y2)之間的距,離, 即,于是, 當(dāng)且僅當(dāng) d(E) 為有限值時, E為有界點集.,根據(jù)距離的定義, 不難證明如下三角形不等式:,二、R2上的完備性定理, 平面點列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)則 反映實數(shù),系完備性的幾個等價定理, 構(gòu)成了一元函數(shù)極限理,論的基礎(chǔ). 現(xiàn)在把這些定理推廣到 R2, 它們同樣是,二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).,則稱點列 Pn 收斂于點 P0 , 記作,同樣地有,由于點列極限的這兩種等價形式都是數(shù)列極限, 因,此立即得到下述關(guān)于平面點列的收斂原理.,證（必要性）,應(yīng)用三角形不等式, 立刻得到,(充分性) 當(dāng) (6) 式成立時, 同時有,這說明 xn 和 yn 都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則,所以它們都收斂.,由點列收斂概念, 推知 Pn 收斂于點 P0(x0, y0).,( 這是一個重要命題, 證明留作習(xí)題.),定義2 設(shè)平面點集 , 若按照某對應(yīng)法則 f ,D 中每一點 P ( x, y ) 都有惟一確定的實數(shù) z 與之,對應(yīng), 則稱 f 為定義在 D 上的二元函數(shù) ( 或稱 f 為,D 到 R 的一個映射 ), 記作,也記作,或點函數(shù)形式,與一元函數(shù)相類似, 稱 D 為 f 的定義域; 而稱,為 f 在點 P 的函數(shù)值; 全體函數(shù)值的集合為 f 的,值域, 記作 . 通常把 P 的坐標(biāo) x 與 y 稱,為 f 的自變量, 而把 z 稱為因變量.,當(dāng)把 和它所對應(yīng)的 一起組成,三維數(shù)組 ( x, y, z ) 時, 三維點集,便是二元函數(shù) f 的圖象. 通常該圖象是一空間曲,面, f 的定義域 D 是該曲面在 xOy 平面上的投影.,其定義域是 R