高數(shù)同濟六版課件D95隱函數(shù)求導.ppt

,第九章,第五節(jié),一、一個方程所確定的隱函數(shù) 及其導數(shù),二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導數(shù),隱函數(shù)的求導方法,1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .,例如, 方程,C 0 時, 能確定隱函數(shù),C 0 時, 不能確定隱函數(shù),2) 方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性,可微性及求導方法問題.,本節(jié)討論:,一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導數(shù),定理1. 設函數(shù),則方程,單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù),(隱函數(shù)求導公式),定理證明從略，僅就求導公式推導如下：, 具有連續(xù)的偏導數(shù);,的某鄰域內可唯一確定一個,在點,的某一鄰域內滿足,滿足條件,導數(shù),兩邊對 x 求導,在,的某鄰域內,則,若F( x , y ) 的二階偏導數(shù)也都連續(xù),二階導數(shù) :,則還可求隱函數(shù)的,例1. 驗證方程,在點(0,0)某鄰域,可確定一個單值可導隱函數(shù),解: 令,連續(xù) ;,由 定理1 可知,導的隱函數(shù),則,在 x = 0 的某鄰域內方程存在單值可,且,并求,兩邊對 x 求導,兩邊再對 x 求導,令 x = 0 , 注意此時,導數(shù)的另一求法, 利用隱函數(shù)求導,定理2 .,若函數(shù),的某鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù) ;,則方程,在點,并有連續(xù)偏導數(shù),定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) ,定理證明從略, 僅就求導公式推導如下:,滿足, 在點,滿足:,某一鄰域內可唯一確,兩邊對 x 求偏導,同樣可得,則,例2. 設,解法1 利用隱函數(shù)求導,再對 x 求導,解法2 利用公式,設,則,兩邊對 x 求偏導,例3.,設F( x , y)具有連續(xù)偏導數(shù),解法1 利用偏導數(shù)公式.,確定的隱函數(shù),則,已知方程,故,對方程兩邊求微分:,解法2 微分法.,二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導數(shù),隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.,由 F、G 的偏導數(shù)組成的行列式,稱為F、G 的雅可比 行列式.,以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 ,即,雅可比,定理3.,的某一鄰域內具有連續(xù)偏,設函數(shù),則方程組,的單值連續(xù)函數(shù),且有偏導數(shù)公式 :, 在點,的某一鄰域內可唯一確定一組滿足條件,滿足:,導數(shù)；,(P86),有隱函數(shù)組,則,兩邊對 x 求導得,設方程組,在點P 的某鄰域內,解的公式,故得,系數(shù)行列式,同樣可得,例4. 設,解:,方程組兩邊對 x 求導，并移項得,求,練習: 求,答案:,由題設,故有,例5.設函數(shù),在點(u,v) 的某一,1) 證明函數(shù)組,( x, y) 的某一鄰域內,2) 求,解: 1) 令,對 x , y 的偏導數(shù).,在與點 (u, v) 對應的點,鄰域內有連續(xù)的偏導數(shù),且,唯一確定一組單值、連續(xù)且具有,連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù),式兩邊對 x 求導, 得,則有,由定理 3 可知結論 1) 成立.,2) 求反函數(shù)的偏導數(shù).,從方程組解得,例5的應用: 計算極坐標變換,的反變換的導數(shù) .,同樣有,所以,由于,內容小結,1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理,2. 隱函數(shù) ( 組) 求導方法,方法1. 利用復合函數(shù)求導法則直接計算 ;,方法2. 利用微分形式不變性 ;,方法3. 代公式 .,思考與練習,設,求,提示:,解法2. 利用全微分形式不變性同時求出各偏導數(shù).,作業(yè) P87 3 , 6， 7 , *9 , 10(1); (3)，11,第六節(jié),由d y, d z 的系數(shù)即可得,備用題,分別由下列兩式確定 :,又函數(shù),有連續(xù)的一階偏導數(shù) ,1. 設,解: 兩個隱函數(shù)方程兩邊對 x 求導, 得,(2001考研),解得,因此,2. 設,是由方程,和,所確定的函數(shù) , 求,解法1 分別在各方程兩端對 x 求導, 得,(1999考研),解法2 微分法.,對各方程兩邊分別求微分:,化簡得,消去,可得,二元線性代數(shù)方程組解的公式,解:,雅可比(1804 1851),德國數(shù)學家.,他在數(shù)學方面最主要,的成就是和挪威數(shù)學家阿貝兒相互獨,地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎.,他對行列,式理論也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引進了“雅可比行列式”,并應