(免費資料)2006年數(shù)學四分析、詳解和評注

2006年數(shù)學四試題分析、詳解和評注一、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1） 【分析】將其對數(shù)恒等化求解. 【詳解】， 而數(shù)列有界，所以. 故 . 【評注】對于冪指函數(shù)的極限，總是將其化為指數(shù)函數(shù)后求解.（2）設函數(shù)在的某鄰域內可導,且，則 【分析】利用復合函數(shù)求導即可. 【詳解】由題設知，兩邊對求導得 ， 兩邊再對求導得 ，又，故 . 【評注】本題為抽象復合函數(shù)求導，注意計算的準確性. （3）設函數(shù)可微,且,則在點(1,2)處的全微分 【分析】利用二元函數(shù)的全微分公式或微分形式不變性計算. 【詳解】方法一：因為， ， 所以 . 方法二：對微分得 ，故 . （4） 已知為2維列向量，矩陣，.若行列式，則.【分析】利用矩陣乘積的行列式運算即可.【詳解】，所以 ，而，故 . 【評注】本題關鍵是將其轉化為用矩陣乘積形式表示.（5）設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則.【分析】 將矩陣方程改寫為的形式，其中是待求矩陣，再通過左乘或右乘可逆陣，解出待求矩陣即可.【詳解】 由題設，有 于是有 .【評注】 本題關鍵是將被求矩陣轉化為矩陣方程中的一個乘積因子.（6）設隨機變量相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 .【分析】 利用的獨立性及分布計算.【詳解】 由題設知，具有相同的概率密度.則.【評注】 本題屬幾何概型，也可如下計算，如下圖：則.二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（7）設函數(shù)具有二階導數(shù)，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應的增量與微分，若，則(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】 題設條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】 由知，函數(shù)單調增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當時，故應選(). 【評注】 對于題設條件有明顯的幾何意義或所給函數(shù)圖形容易繪出時，圖示法是求解此題的首選方法.本題還可用拉格朗日中值定理求解：因為，所以單調增加，即，又，則，即.（8）設函數(shù)在處連續(xù)，且，則(A) 存在 (B) 存在(C) 存在 (D) 存在 C 【分析】從入手計算，利用導數(shù)的左右導數(shù)定義判定的存在性. 【詳解】由知，.又因為在處連續(xù)，則 . 令，則. 所以存在，故本題選（C）. 【評注】本題聯(lián)合考查了函數(shù)的連續(xù)性和左右導數(shù)的定義，屬基本題型. （9）設函數(shù)與在上連續(xù)，且，且對任何，（A）（B）（C）（D） 【分析】 利用定積分的比較定理即可 .【詳解】因為與在上連續(xù)，則對任何，與在上連續(xù)，且，所以.故選（D）.【評注】 本題屬基本題型.由于比較大小未知，所以不能選（A）（B）.（10）設非齊次線性微分方程有兩個不同的解為任意常數(shù)，則該方程的通解是（）. （）. （）. （） 【分析】 利用一階線性非齊次微分方程解的結構即可.【詳解】由于是對應齊次線性微分方程的非零解，所以它的通解是，故原方程的通解為，故應選().【評注】本題屬基本題型，考查一階線性非齊次微分方程解的結構：.其中是所給一階線性微分方程的特解，是對應齊次微分方程的通解.（11）設均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. 【分析】 利用拉格朗日函數(shù)在（是對應的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】 作拉格朗日函數(shù)，并記對應的參數(shù)的值為，則 ， 即 .消去，得 ,整理得.（因為），若，則.故選（）. 【評注】 本題考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法.（12）設均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是(A) 若線性相關，則線性相關. (B) 若線性相關，則線性無關. (C) 若線性無關，則線性相關. (D) 若線性無關，則線性無關. A 【分析】 本題考查向量組的線性相關性問題，利用定義或性質進行判定.【詳解】 記，則.所以，若向量組線性相關，則，從而，向量組也線性相關，故應選().【評注】 對于向量組的線性相關問題，可用定義，秩，也可轉化為齊次線性方程組有無非零解進行討論.（13）設為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）.（）.（）.（）.【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關系以及初等矩陣的性質可得.【詳解】由題設可得，而，則有.故應選（）.【評注】（）每一個初等變換都對應一個初等矩陣，并且對矩陣施行一個初等行（列）變換，相當于左（右）乘相應的初等矩陣.（）牢記三種初等矩陣的轉置和逆矩陣與初等矩陣的關系.（14）設隨機變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A) (B) (C) (D) A 【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】 由題設可得，則，即.其中是標準正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調不減函數(shù)，則，即.故選(A).【評注】 對于服從正態(tài)分布的隨機變量，在考慮它的概率時，一般先將標準化，即.三 、解答題：1523小題，共94分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分7分）設,求() ；() . 【分析】第()問求極限時注意將作為求解，此問中含型未定式極限；第()問需利用第()問的結果，含型未定式極限. 【詳解】() . () （通分）【評注】本題為基本題型，注意利用洛必達法則求極限時，要充分利用等價無窮小代換，并及時整理極限式，以使求解簡化.對型未定式極限，一般利用通分將其轉化為型未定式，然后再計算.（16）（本題滿分7分） 計算二重積分，其中是由直線所圍成的平面區(qū)域. 【分析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可. 【詳解】積分區(qū)域如右圖.因為根號下的函數(shù)為關于的一次函數(shù)，“先后”積分較容易，所以 . 【評注】計算二重積分時，首先畫出積分域的圖形，然后結合積分域的形狀和被積函數(shù)的形式，選擇坐標系和積分次序. 完全類似例題見文登暑期輔導班高等數(shù)學第10講第2節(jié)【例8】，數(shù)學復習指南（經濟類）P.181【例7.2】，考研數(shù)學過關基本題型（經濟類）P.65【例1】，P.66【例3】及練習.（17）（本題滿分10分） 證明：當時，. 【分析】 利用“參數(shù)變易法”構造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調性證明.【詳解】 令，則 ，且.又 ，（），故當時，單調減少，即，則單調增加，于是，即.【評注】 證明數(shù)值不等式一般需構造輔助函數(shù)，輔助函數(shù)一般通過移項，使不等式一端為“0”，另一端即為所作輔助函數(shù)，然后求導驗證的增減性，并求出區(qū)間端點的函數(shù)值（或極限值），作比較即得所證. 本題也可用拉格朗日中值定理結合函數(shù)的單調性證明.（18）（本題滿分8分）在坐標平面上，連續(xù)曲線過點，其上任意點處的切線斜率與直線的斜率之差等于（常數(shù)）.() 求的方程；() 當與直線所圍成平面圖形的面積為時,確定的值. 【分析】()利用導數(shù)的幾何意義建立微分方程，并求解；()利用定積分計算平面圖形的面積，確定參數(shù). 【詳解】() 設曲線的方程為，則由題設可得 ，這是一階線性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲線的方程為 . () 與直線（）所圍成平面圖形如右圖所示. 所以 ， 故. 【評注】本題涉及了導數(shù)和定積分的幾何意義，一階線性微分方程的求解，屬基本題型.（19）（本題滿分10分）試確定的值，使得，其中是當時比高階的無窮小.【分析】題設方程右邊為關于的多項式，要聯(lián)想到的泰勒級數(shù)展開式，比較的同次項系數(shù)，可得的值.【詳解】將的泰勒級數(shù)展開式代入題設等式得 整理得 比較兩邊同次冪系數(shù)得 ，解得 .【評注】題設條件中含有高階無窮小形式的條件時，要想到用麥克勞林公式或泰勒公式求解.要熟練掌握常用函數(shù)的泰勒公式.（20）（本題滿分13分）設4維向量組 ，問為何值時線性相關?當線性相關時,求其一個極大線性無關組,并將其余向量用該極大線性無關組線性表出. 【分析】因為向量組中的向量個數(shù)和向量維數(shù)相同，所以用以向量為列向量的矩陣的行列式為零來確定參數(shù)；用初等變換求極大線性無關組. 【詳解】記以為列向量的矩陣為，則 . 于是當時，線性相關. 當時，顯然是一個極大線性無關組，且； 當時， ， 由于此時有三階非零行列式，所以為極大線性無關組，且. 【評注】本題屬常規(guī)題型.91年，00年和04年均考過. （21）（本題滿分13分）設3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.()求的特征值與特征向量；()求正交矩陣和對角矩陣,使得；（）求及，其中為3階單位矩陣.【分析】 由矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣的一個特征值和對應的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所對應的特征向量.將的線性無關的特征向量正交化可得正交矩陣；由可得到和.【詳解】 ()因為矩陣的各行元素之和均為3，所以，則由特征值和特征向量的定義知，是矩陣的特征值，是對應的特征向量.對應的全部特征向量為，其中為不為零的常數(shù).又由題設知，即，而且線性無關，所以是矩陣的二重特征值，是其對應的特征向量，對應的全部特征向量為，其中為不全為零的常數(shù).()因為是實對稱矩陣，所以與正交，所以只需將正交.取，.再將單位化，得，令，則，由是實對稱矩陣必可相似對角化，得. （）由()知 ，所以 . ，則.【評注】 本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量及矩陣的對角化問題，抽象矩陣特征值和特征向量問題一般用定義求解，要想方設法將題設條件轉化為的形式.矩陣的對角化用常規(guī)方法求解.（22）（本題滿分13分）設二維隨機變量（）的概率分布為 1 0 1 1 0 0.2 0 0.1 0.2 1 0 0.1 其中為常數(shù)，且的數(shù)學期望，記，求() 的值；() 的概率分布；() .【分析】 利用二維離散型隨機變量概率分布的性質和定義計算.【詳解】 （I）由概率分布的性質知 ，即. 由（）可寫出的邊緣概率分布為 1 0 1 故 ，即. 又因 ，即. 將，聯(lián)立解方程組得 .（II）的可能取值為，則 ， ， ， ， . 故的概率分布為 2 1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1() .（23）（本題滿分13分）設隨機變量的概率密度為，令為二維隨機變量的分布函數(shù).()求的概率密度；