微元法及定積分的幾何應(yīng)用.ppt

第五章,定積分的應(yīng)用,一.定積分的微元法,二.定積分在幾何上的應(yīng)用,三.定積分在經(jīng)濟(jì)分析上的應(yīng)用,第一節(jié),定積分的微元法,第五章,定積分的微元法,復(fù)習(xí)（如圖，求曲邊梯形的面積）,1) 大化小.,在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個(gè)分點(diǎn),用直線,將曲邊梯形分成 n 個(gè)小曲邊梯形;,2) 常代變.,在第i 個(gè)窄曲邊梯形上任取,作以,為底 ,為高的小矩形,并以此小,矩形面積近似代替相應(yīng),窄曲邊梯形面積,得,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,3) 近似和.,4) 取極限.,令,則曲邊梯形面積,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,表示為,1、什么問(wèn)題可以用定積分解決 ?,1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的,2) U 對(duì)區(qū)間 a , b 具有可加性 ,即可通過(guò),“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”,定積分定義,一個(gè)整體量 ;,微元法,2 、如何應(yīng)用定積分解決問(wèn)題 ?,第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的,微分表達(dá)式,第二步 利用“ 積零為整 , 無(wú)限累加 ” 求出整體量的,積分表達(dá)式,這種分析方法成為微元法 (或元素分析法),元素的幾何形狀常取為:,條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等,近似值,精確值,5.2.2、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,第二節(jié),5.2.1、 平面面積的計(jì)算,定積分在幾何上的應(yīng)用,第五章,5.2.1、平面圖形的面積,(1) 設(shè)曲線,與直線,及 x 軸所圍曲,則,邊梯形面積為 A ,若 y = f (x)在 a , b 上不都是非負(fù)的，則所圍成,圖形的面積為,（2）,所圍成的圖形的面積,及直線,由連續(xù)曲線,面積微元,（3）,(4) 如所示圖形面積為,所圍圖形的面積 .,解:,例1. 求由正弦曲線,例2. 計(jì)算兩條拋物線,在第一象限所圍,所圍圖形的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),面積微元,平面圖形的面積,類似地,例5.2.2. 計(jì)算拋物線,與直線,的面積 .,解: 由,得交點(diǎn),所圍圖形,為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有,例5.2.3. 求橢圓,解: 利用對(duì)稱性 ,所圍圖形的面積 .,有,其中,因此,由定積分的計(jì)算，得,所以,5.2.2、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積,設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間,的體積元素為,因此所求立體體積為,上連續(xù),特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),有,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周?chē)傻牧Ⅲw體積時(shí),有,例5.2.4. 計(jì)算由橢圓,所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而,轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.,解: 利用直角坐標(biāo)方程,則,(利用對(duì)稱性),例5.2.5. 計(jì)算高為h、底半徑為r 的正圓錐體的體積。,解: 如圖，建立直角坐標(biāo)方程,則直線方程為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,任取截面，,則體積元素為,所以,內(nèi)容小結(jié),1. 平面圖形的面積,直角坐標(biāo)方程,2. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積,旋轉(zhuǎn)體的體積,繞 x 軸 :,3. 經(jīng)濟(jì)方面的應(yīng)用,例5.2.6. 求由曲線,解: 作圖，,所圍成的圖形