數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī).ppt

1,第三章 若干數(shù)學(xué)典故中的數(shù)學(xué)文化,2,第一節(jié) 歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī),3,歷史上，數(shù)學(xué)的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機(jī)。危機(jī)也意味著挑戰(zhàn)，危機(jī)的解決就意味著進(jìn)步。所以，危機(jī)往往是數(shù)學(xué)發(fā)展的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)發(fā)展史上有三次數(shù)學(xué)危機(jī)。每一次數(shù)學(xué)危機(jī)，都是數(shù)學(xué)的基本部分受到質(zhì)疑。實(shí)際上，也恰恰是這三次危機(jī)，引發(fā)了數(shù)學(xué)上的三次思想解放，大大推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。,4,一、第一次數(shù)學(xué)危機(jī),第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由 不能寫(xiě)成兩 個(gè)整數(shù)之比引發(fā)的，我們?cè)诘谝徽乱褜?zhuān) 門(mén)討論過(guò)，現(xiàn)再簡(jiǎn)要回顧一下。,5,這一危機(jī)發(fā)生在公元前5世紀(jì)，危機(jī) 來(lái)源于：當(dāng)時(shí)認(rèn)為所有的數(shù)都能表示為整 數(shù)比，但突然發(fā)現(xiàn) 不能表為整數(shù)比。 其實(shí)質(zhì)是： 是無(wú)理數(shù)，全體整數(shù)之比 構(gòu)成的是有理數(shù)系，有理數(shù)系需要擴(kuò)充，需 要添加無(wú)理數(shù)。,6,當(dāng)時(shí)古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危機(jī)。他采用了一個(gè)十分巧妙的關(guān)于“兩個(gè)量之比”的新說(shuō)法，回避了 是無(wú)理數(shù)的實(shí)質(zhì)，而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結(jié)果，使幾何的基礎(chǔ)牢靠了，幾何從全部數(shù)學(xué)中脫穎而出。歐幾里得的幾何原本中也采用了這一說(shuō)法，以致在以后的近二千年中，幾何變成了幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 但是徹底解決這一危機(jī)是在19世紀(jì)，依賴實(shí)數(shù)理論的建立。,7,二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī),第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對(duì)牛頓 “無(wú)窮小量”說(shuō)法的質(zhì)疑引起的。,8,1危機(jī)的引發(fā) 1）牛頓的“無(wú)窮小” 牛頓的微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問(wèn)題。我們來(lái)看一個(gè)例子。 微積分的一個(gè)來(lái)源，是想求運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。在牛頓之前，只能求一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，無(wú)法求某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。,9,例如，設(shè)自由落體在時(shí)間 下落的距離為 ，有公式 ，其中 是固定的重力加速度。我們要求物體在 的瞬時(shí)速度，先求 。 （*）,10,當(dāng) 變成無(wú)窮小時(shí)，右端的 也變成無(wú)窮小，因而上式右端就可以認(rèn)為是 ，這就是物體在 時(shí)的瞬時(shí)速度，它是兩個(gè)無(wú)窮小之比。 牛頓的這一方法很好用，解決了大量過(guò)去無(wú)法解決的科技問(wèn)題。但是邏輯上不嚴(yán)格，遭到責(zé)難。,11,2）貝克萊的發(fā)難 英國(guó)的貝克萊大主教發(fā)表文章猛烈攻擊牛頓的理論。 貝克萊問(wèn)道：“無(wú)窮小”作為一個(gè)量，究竟是不是0？,12,如果是0，上式左端當(dāng) 成無(wú)窮小后分母為0，就沒(méi)有意義了。如果不是0，上式右端的 就不能任意去掉。,在推出上式時(shí)，假定了 才能做除法，所以上式的成立是以 為前提的。那么，為什么又可以讓 而求得瞬時(shí)速度呢？,因此，牛頓的這一套運(yùn)算方法，就如同從 出發(fā)，兩端同除以0，得出5=3一樣的荒謬。,（*）,13,貝克萊還諷刺挖苦說(shuō)：即然 和 都變成“無(wú)窮小”了，而無(wú)窮小作為一個(gè)量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。 這就是著名的“貝克萊悖論”。 對(duì)牛頓微積分的這一責(zé)難并不是由數(shù)學(xué)家提出的，但是，,14,貝克萊的質(zhì)問(wèn)是擊中要害的,數(shù)學(xué)家在將近200年的時(shí)間里，不能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。 直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責(zé)難。 直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“ ”語(yǔ)言，才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難。,15,3）實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn) 應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，貝克萊的責(zé)難是有道理的。“無(wú)窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當(dāng)時(shí)的其它數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴(yán)格說(shuō)清“無(wú)窮小”的方法。數(shù)學(xué)家們相信它，只是由于它使用起來(lái)方便有效，并且得出的結(jié)果總是對(duì)的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責(zé)。這表明，在大多數(shù)人的腦海里，“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)?！?16,2危機(jī)的實(shí)質(zhì) 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是 “ 不是有理數(shù)，而是無(wú)理數(shù)”。那么第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？應(yīng)該說(shuō)，是極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說(shuō)，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。,17,其實(shí)，在牛頓把瞬時(shí)速度說(shuō)成“物體所走的無(wú)窮小距離與所用的無(wú)窮小時(shí)間之比”的時(shí)候，這種說(shuō)法本身就是不明確的，是含糊的。 當(dāng)然，牛頓也曾在他的著作中說(shuō)明，所謂“最終的比”，就是分子、分母要成為0還不是0時(shí)的比例如（*）式中的gt，它不是“最終的量的比”，而是“比所趨近的極限”。 他這里雖然提出和使用了“極限”這個(gè)詞，但并沒(méi)有明確說(shuō)清這個(gè)詞的意思。,18,德國(guó)的萊布尼茨雖然也同時(shí)發(fā)明了微積分，但是也沒(méi)有明確給出極限的定義。 正因?yàn)槿绱?，此后近二百年間的數(shù)學(xué)家，都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。 所以，由“無(wú)窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，實(shí)質(zhì)上是缺少嚴(yán)密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)。,19,牛頓,萊布尼茨,20,3危機(jī)的解決 1）必要性 微積分雖然在發(fā)展，但微積分邏輯基礎(chǔ)上存在的問(wèn)題是那樣明顯，這畢竟是數(shù)學(xué)家的一塊心病。,21,而且，隨著時(shí)間的推移，研究范圍的擴(kuò)大，類(lèi)似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無(wú)窮級(jí)數(shù)的時(shí)候，做出許多錯(cuò)誤的證明，并由此得到許多錯(cuò)誤的結(jié)論。由于沒(méi)有嚴(yán)格的極限理論作為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)家們?cè)谟邢夼c無(wú)限之間任意通行（不考慮無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的問(wèn)題）。,22,因此，進(jìn)入19世紀(jì)時(shí)，一方面微積 分取得的成就超出人們的預(yù)料，另一方 面，大量的數(shù)學(xué)理論沒(méi)有正確、牢固的邏 輯基礎(chǔ)，因此不能保證數(shù)學(xué)結(jié)論是正確無(wú) 誤的。 歷史要求為微積分學(xué)說(shuō)奠基。,23,2）嚴(yán)格的極限理論的建立 到19世紀(jì)，一批杰出數(shù)學(xué)家辛勤、 天才的工作，終于逐步建立了嚴(yán)格的極限 理論，并把它作為微積分的基礎(chǔ)。 應(yīng)該指出，嚴(yán)格的極限理論的建立是 逐步的、漫長(zhǎng)的。,24, 在18世紀(jì)時(shí)，人們已經(jīng)建立了極限理論，但那是初步的、粗糙的。 達(dá)朗貝爾在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但他本人未能提供這樣的理論。 19世紀(jì)初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開(kāi)始將嚴(yán)格的論證引入數(shù)學(xué)分析，他寫(xiě)的無(wú)窮的悖論一書(shū)中包含許多真知灼見(jiàn)。,25, 而做出決定性工作、可稱為分析學(xué)的奠基人的是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在18211823年間出版的分析教程和無(wú)窮小計(jì)算講義是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。他對(duì)極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性，已與我們現(xiàn)在教科書(shū)上的差不太多了。,26,柯西,波爾查諾,27,3）嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論的建立 對(duì)以往理論的再認(rèn)識(shí) 后來(lái)的一些發(fā)現(xiàn)，使人們認(rèn)識(shí)到，極限理論的進(jìn)一步嚴(yán)格化，需要實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格化。微積分或者說(shuō)數(shù)學(xué)分析，是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的。但是，下邊兩件事，表明極限概念、連續(xù)性、可微性和收斂性對(duì)實(shí)數(shù)系的依賴比人們想象的要深?yuàn)W得多。,28,一件事是，1874年德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）構(gòu)造了一個(gè) “點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”。 “連續(xù)函數(shù)”在直觀上是“函數(shù)曲線沒(méi)有間斷，連在一起”，而“函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)”直觀上是“函數(shù)曲線在該點(diǎn)有切線”。所以，在直觀上“連續(xù)”與“可導(dǎo)”有密切的聯(lián)系。 這之前甚至有人還證明過(guò)：函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)上都可導(dǎo)（當(dāng)然是錯(cuò)誤的）。因此根本不可想象，還會(huì)有“點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”。,29,魏爾斯特拉斯(18151897) 德意志帝國(guó)數(shù)學(xué)家。1815年10月31日生于威斯特法倫州的奧斯滕費(fèi)爾德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大學(xué)學(xué)習(xí)法律和財(cái)政。1838年轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)。18421856年，先后在幾所中學(xué)任教。1854年3月31日獲得柯尼斯堡大學(xué)名譽(yù)博士學(xué)位。1856年10月受聘為柏林大學(xué)助理教授，同年成為柏林科學(xué)院成員，1864年升為教授。,30,魏爾斯特拉斯 關(guān)于 “點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)”的例子是 其中 是奇數(shù)， ， 使 。,31,另一件事是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（B.Riemann，18261866）發(fā)現(xiàn)，柯西把定積分限制于連續(xù)函數(shù)是沒(méi)有必要的。黎曼證明了，被積函數(shù)不連續(xù)，其定積分也可能存在。 黎曼還造出一個(gè)函數(shù)，當(dāng)自變量取無(wú)理數(shù)時(shí)它是連續(xù)的，當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)它是不連續(xù)的。,32,黎曼 1826年9月17日，黎曼生于德國(guó)北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個(gè)鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開(kāi)始上學(xué)，14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)， 1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚年的學(xué)生。,33,這些例子使數(shù)學(xué)家們?cè)絹?lái)越明 白，在為分析建立一個(gè)完善的基礎(chǔ) 方面，還需要再前進(jìn)一步：即需要 理解和闡明實(shí)數(shù)系的更深刻的性質(zhì)。,34, 魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn) 德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（Karl Weierstrass，18151897）的努力，終于使 分析學(xué)從完全依靠運(yùn)動(dòng)學(xué)、直觀理解和幾何概 念中解放出來(lái)。他的成功產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響， 主要表現(xiàn)在兩方面，一方面是建立了實(shí)數(shù)系， 另一方面是創(chuàng)造了精確的“ ”語(yǔ)言。,35,“ ”語(yǔ)言的成功，表現(xiàn)在： 這一語(yǔ)言給出極限的準(zhǔn)確描述，消除 了歷史上各種模糊的用語(yǔ)，諸如“最終 比”、“無(wú)限地趨近于”，等等。 這樣一來(lái)，分析中的所有基本概念都 可以通過(guò)實(shí)數(shù)和它們的基本運(yùn)算和關(guān)系精 確地表述出來(lái)。,36,4）極限的“ ”定義及“貝克萊悖 論” 的消除 極限的“ ”定義,37,定義：設(shè)函數(shù) 在 的附近都有定 義，如果有一個(gè)確定的實(shí)數(shù) （無(wú)論多 么小的正數(shù) ）。 都 （都能找到一個(gè)正數(shù) ，依賴 于 ），使當(dāng) 時(shí)（滿足不等式 的所有不等于 的 ），有 （這些 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 與 的差小于預(yù)先給定的任意小的 ）我們就 說(shuō)“函數(shù) 在 趨近于 時(shí)，有極限 ” 。 記為 。,38,由極限的這個(gè) “ ”定義，可以求 出一些基本的極限，并嚴(yán)格地建立一整套 豐富的極限理論。簡(jiǎn)單說(shuō)，例如有 兩個(gè)相等的函數(shù)，取極限后仍相等； 兩個(gè)函數(shù)，和的極限等于極限的和。 等等。 由此再建立嚴(yán)格的微積分理論。,39, “貝克萊悖論”的消除 回到牛頓的（*）式上： （*） 這是在 （即 ）條件下，得到的等式；它表明 時(shí)間內(nèi)物體的平均速度為 。（*）式等號(hào)兩邊都是的函數(shù)。然后，我們把物體在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度定義為：上述平均速度當(dāng) 趨于0時(shí)的極限，即 物體在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度= 。,40,下邊我們對(duì)（*）式的等號(hào)兩邊同時(shí)取 極限 ，根據(jù)“兩個(gè)相等的函數(shù)取極 限后仍相等”，得 瞬時(shí)速度= 再根據(jù)“兩個(gè)函數(shù)和的極限等于極限的 和”，得 然后再求極限得,41,上述過(guò)程所得結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論 是一樣的，但每一步都有了嚴(yán)格的邏輯基 礎(chǔ)。“貝克萊悖論”的焦點(diǎn)“無(wú)窮小量 是 不是0？”，在這里給出了明確的回答： 。 這里也沒(méi)有“最終比”或“無(wú)限趨近于” 那樣含糊不清的說(shuō)法。,42,總之，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的核心是微積分的基礎(chǔ)不穩(wěn)固?？挛鞯呢暙I(xiàn)在于，將微積分建立在極限論的基礎(chǔ)。魏爾斯特拉斯的貢獻(xiàn)在于，邏輯地構(gòu)造了實(shí)數(shù)系，建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，使之成為極限理論的基礎(chǔ)。所以，建立數(shù)學(xué)分析（或者說(shuō)微積分）基礎(chǔ)的“邏輯順序”是： 實(shí)數(shù)理論極限理論微積分。 而“歷史順序”則正好相反。,43,知識(shí)的邏輯順序與歷史順序 有時(shí)是不同的.,44,三、第三次數(shù)學(xué)危機(jī),1“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光集合論 到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？正在這時(shí)，19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺(jué)到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。,45,其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等為對(duì)象，微積分以變數(shù)、函數(shù)為對(duì)象，幾何以點(diǎn)、線、面及其組成的圖形為對(duì)象。同時(shí)，用集合論的語(yǔ)言，算術(shù)的對(duì)象可說(shuō)成是“以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等組成的集合”；微積分的對(duì)象可說(shuō)成是“以函數(shù)等組成的集合”；幾何的對(duì)象可說(shuō)成是“以點(diǎn)、線、面等組成的集合”。這樣一來(lái)，都是以集合為對(duì)象了。集合成了更基本的概念。,46,于是，集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)?lái)了曙光：可能會(huì)一勞永逸地?cái)[脫“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的危機(jī)。盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認(rèn)為這只是時(shí)間問(wèn)題。龐加萊甚至在1900年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上宣稱：“現(xiàn)在 我們可以說(shuō)，完全的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了！”,47,2算術(shù)的集合論基礎(chǔ) 1）人們按下列邏輯順序把全部數(shù)學(xué)的基 礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)，即自然數(shù) 集合加上0現(xiàn)在我國(guó)中小學(xué)就把這一集合 稱為自然數(shù)集合。 （算術(shù)）非負(fù)整數(shù)n有理數(shù) 實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù) 圖形,48,因此，全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)了，或者說(shuō)，全部數(shù)學(xué)都可以歸結(jié)為算術(shù)了。 這樣，如果能把算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，就相當(dāng)于解決了整個(gè)“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的問(wèn)題。 法國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)弗雷格 （G.Frege,18481925）就做了這樣的工作。他寫(xiě)了一本名叫算術(shù)基礎(chǔ)的書(shū)。,49,弗雷格,算術(shù)基礎(chǔ),50,2) 弗雷格的算術(shù)基礎(chǔ) 為了使算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，所有的非負(fù)整數(shù)，都需要用集合論的觀點(diǎn)和語(yǔ)言重新定義。 首先從0說(shuō)起。0是什么？ 應(yīng)當(dāng)先回答0是什么，然后才有表示“0”的符號(hào)。,51,為此，先定義“空集”?？占恰安缓?素的集合”。例如，“ 方程 在實(shí) 數(shù)集中的根的集合 ”就是一個(gè)空集，再例 如“由最大的正整數(shù)組成的集合”也是一個(gè) 空集。,52,所有的空集放在一起，作成一個(gè)集合的集合，（為說(shuō)話簡(jiǎn)單我們把“集合的集合”稱作類(lèi)），這個(gè)類(lèi)，就可以給它一個(gè)符號(hào)：0，中國(guó)人念“l(fā)ing”，英國(guó)人念“Zero”。 空集是空的，但由所有空集組成的類(lèi)，它本身卻是一個(gè)元素了，即，0是一個(gè)元素了。由它再作成一個(gè)集合0，則不是空集了。,53,弗雷格再定義兩個(gè)集合間的雙射：既是滿射又是單射的映射叫作雙射，也稱可逆映射；通俗地說(shuō)，就是存在逆映射的映射。它可以在兩個(gè)集合間來(lái)回地映射，所以一般稱為“雙射”。 弗雷格再定義兩個(gè)集合的“等價(jià)”： ， 能夠在其間建立雙射的兩個(gè)集合A、B稱為“等價(jià)”。,54,下邊可以定義“1”了。把與集合0等價(jià)的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)類(lèi)，就可以給它一個(gè)符號(hào)：1。 再定義“2”。把與集合0，1等價(jià)的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)類(lèi)，就叫：2。 然后，把與0，1，2等價(jià)的集合作成的類(lèi)，叫：3。,55,一般地，在有了0，1，2，n的 定義后，就把所有與集合0，1，2， n等價(jià)的集合放在一起，作成集合的集 合，這樣的類(lèi)，定義為：n+1。 這種定義概念的方法，叫作“歸納定 義”的方法。,56,這樣，弗雷格就從空集出發(fā)，而僅僅 用到集合及集合等價(jià)的概念，把全部非負(fù) 整數(shù)定義出來(lái)了。于是根據(jù)上邊說(shuō)的“可 以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)”，就可以 說(shuō)，全部數(shù)學(xué)可以建立在集合論的基礎(chǔ)上 了。,57,3 羅素的“集合論悖論”引發(fā)危機(jī) 1） 悖論引起震憾和危機(jī) 正當(dāng)弗雷格即將出版他的算術(shù)基 礎(chǔ)一書(shū)的時(shí)候，羅素的集合論悖論出來(lái) 了。這也是龐加萊宣布“完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué) 已經(jīng)建立起來(lái)！”之后剛剛兩年，即1902 年。,58,伯特蘭羅素（1872-1970）Russell, Bertrand Arthur William(Third Earl Russell) 出生年月：1872-1970 國(guó)籍：英國(guó) 學(xué)科成就：英國(guó)著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，分析學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)始人，世界和平運(yùn)動(dòng)的倡導(dǎo)者和組織者。 所獲獎(jiǎng)項(xiàng)：1950年諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。,羅素,59,集合論中居然有邏輯上的矛盾！ 傾刻之間，算術(shù)的基礎(chǔ)動(dòng)搖了，整個(gè) 數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)似乎也動(dòng)搖了。這一動(dòng)搖所帶 來(lái)的震憾是空前的。許多原先為集合論興 高采烈的數(shù)學(xué)家發(fā)出哀嘆：我們的數(shù)學(xué)就 是建立在這樣的基礎(chǔ)上的嗎？ 羅素悖論引發(fā)的危機(jī)，就稱為第三次 數(shù)學(xué)危機(jī)。,60,羅素把他發(fā)現(xiàn)的悖論寫(xiě)信告訴弗雷 格。弗雷格在他的算術(shù)基礎(chǔ)一書(shū)的末 尾無(wú)可奈何地寫(xiě)道：“一個(gè)科學(xué)家遇到的 最不愉快的事莫過(guò)于，當(dāng)他的工作完成 時(shí)，基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書(shū)即將印刷時(shí)，羅 素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境 地?！?61,2） 羅素悖論 在敘述羅素悖論之前,我們先注意到 下邊的事實(shí)：一個(gè)集合或者是它本身的成 員(元素),或者不是它本身的成員(元素)， 兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集 合”，把后者稱為“正常集合”。,62,例如,所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”。 再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合”。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一集合本身的元素，所以是“正常集合”。,63,羅素當(dāng)年的例子,“異常集合” 1： 不多于29個(gè)字母表達(dá)的句子所構(gòu)成的集合 “異常集合” 2： 不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合,64,羅素悖論是：以 表示“是其本身成員的 所有集合的集合”（所有異常集合的集合）， 而以 表示“不是它本身成員的所有集合的集 合”（所有正常集合的集合），于是任一集合 或者屬于 ，或者屬于 ，兩者必居其一，且 只居其一。然后問(wèn)：集合 是否是它本身的 成員？（集合 是否是異常集合？）,65,如果 是它本身的成員，則按 及 的定 義， 是 的成員，而不是 的成員，即 不 是它本身的成員，這與假設(shè)矛盾。即 如果 不是它本身的成員，則按 及 的定義， 是 的成員，而不是 的成員，即 是它本身的成員，這又與假設(shè)矛盾。即 悖論在于：無(wú)論哪一種情況，都得出矛盾。,66,羅素悖論的通俗化“理發(fā)師悖論”：某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問(wèn)：理發(fā)師是否給自己刮臉？ 如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。,67,4 危機(jī)的消除 危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來(lái)消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。 人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來(lái)。,68,這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡(jiǎn)明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就留下了解決問(wèn)題的余地。 羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論的共同特征（悖論的實(shí)質(zhì)）是“自我指謂”。即，一個(gè)待定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來(lái)定義，造成惡性循環(huán)。 例如，悖論中定義“不屬于自身的集合”時(shí)，涉及到“自身”這個(gè)待定義的對(duì)象。,69,為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托 “樸素的集合論”加以公理化；并且規(guī)定構(gòu) 造集合的原則，例如，不允許出現(xiàn)“所有 集合的集合”、“一切屬于自身的