妙用《幾何畫板》“直觀”數(shù)學(xué)課堂.doc

妙用幾何畫板“直觀”數(shù)學(xué)課堂 王輝 職高學(xué)生普遍存在基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)、自信心不足、性格散漫、厭學(xué)等問題，導(dǎo)致自暴自棄，情緒低落，對(duì)學(xué)習(xí)喪失信心，但對(duì)一些自己感興趣的事情，參與意識(shí)極強(qiáng)，也表現(xiàn)出很強(qiáng)的好勝心。如何投其所好，以看得見、摸得著的事例來激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的參與意識(shí)，引導(dǎo)他們正確地對(duì)待學(xué)習(xí)呢？ 幾何畫板繪制的圖形非常直觀，它能構(gòu)造出各種各樣的幾何圖形，將一個(gè)“活”的幾何圖形展現(xiàn)在學(xué)生面前，使學(xué)生一目了然，具有一般的實(shí)物教具難以達(dá)到的妙用。因此，巧妙地運(yùn)用幾何畫板可以使原本呆板的數(shù)學(xué)課堂變得有趣，形成生動(dòng)、活潑的課堂教學(xué)氛圍。同時(shí)，還可以通過對(duì)直觀圖形的觀察提高學(xué)生的空間觀念、空間想象力和抽象思維能力；學(xué)生自己動(dòng)手操作時(shí)，更可以提升他們對(duì)圖形的理解及繪圖能力。本文試圖通過若干教學(xué)實(shí)例對(duì)如何運(yùn)用幾何畫板激活數(shù)學(xué)課堂談一點(diǎn)看法。 立足直觀制造懸念 需求是人的一切行為的原動(dòng)力。要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)就要從激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求入手。如果教師能準(zhǔn)確抓住學(xué)生的心理特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)懸念，就能激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。 例如，在講述橢圓定義的時(shí)候，我先讓學(xué)生回想日常生活中所出現(xiàn)的橢圓，并啟發(fā)他們思考怎樣才能形成橢圓，接著利用幾何畫板，向?qū)W生提供形象的動(dòng)態(tài)畫面（如圖1）。 說明出現(xiàn)這個(gè)圖形的因素是：PF1+PF2=定長(zhǎng)。接著展示如下兩個(gè)動(dòng)畫（如圖2、圖3）。 學(xué)生通過觀察、思考，歸納出要形成橢圓，定長(zhǎng)是有條件的，即PF1+PF2F1F2。通過這樣的設(shè)計(jì)，運(yùn)用直觀的圖像，在給學(xué)生造成懸念的同時(shí)，又可以使其在圖形的形成過程中得出結(jié)論。明確了原先的迷惑，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。這時(shí)教師的角色不再是學(xué)生的保姆，學(xué)生也不再是接受知識(shí)的容器，更不再是目睹教師口干舌燥的“觀眾”，而是積極參與探索的“主角”。 形象直觀啟發(fā)引導(dǎo) 心理學(xué)研究表明，變動(dòng)的事物、圖形易引起人們的注意，從而在人腦里形成較深刻的印象。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如果能準(zhǔn)確、動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)幾何圖形，揭示幾何中的變化規(guī)律，對(duì)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)有著十分重要的意義。 例如，在講述棱錐的體積公式前，我先讓學(xué)生回顧三角形面積公式及導(dǎo)出方法，接著利用幾何畫板向?qū)W生提供形象的動(dòng)態(tài)畫面（如圖4），同學(xué)生一起回顧推導(dǎo)過程：（1）將三角形補(bǔ)成平行四邊形，從而把三角形的面積轉(zhuǎn)化成平行四邊形面積；（2）將平行四邊形又割補(bǔ)成矩形，從而將問題轉(zhuǎn)化為求矩形的面積。 在觀察畫面后，讓學(xué)生明確“在解決數(shù)學(xué)問題過程中，我們經(jīng)?；吧鸀槭煜ぃ笾獮橐阎钡幕瘹w思想方法。接下來，我便提出問題：能否用類似的方法來求解三棱錐的體積呢？給學(xué)生以啟發(fā)，激發(fā)學(xué)生的求知欲。這時(shí)，可以在屏幕上顯示三棱錐的體積由三棱柱體積轉(zhuǎn)化的割補(bǔ)過程（如圖5），從棱柱ABCABC分割出來三個(gè)錐體CAAB，CABB，ABCC，讓它們的頂點(diǎn)和面積相等的兩個(gè)底面繪以同一色彩。隨著“合并移開合并”的反復(fù)動(dòng)作，不難得出三個(gè)錐體的體積是相等的，從而使學(xué)生自然而然地得出所要論證的結(jié)論，讓他們產(chǎn)生成就感，學(xué)習(xí)興趣盎然。 運(yùn)用畫板的測(cè)量計(jì)算和動(dòng)畫功能，計(jì)算出兩個(gè)截面面積并記錄，發(fā)現(xiàn)兩截面面積處處相等，由祖暅原理可知，半球的體積與幾何體的體積是相等的。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察： （1）當(dāng)把一個(gè)半徑為R的半球和一個(gè)底面半徑和高均為R的圓錐放入一個(gè)底面半徑和高都為R的圓柱內(nèi)時(shí)，必有：R33 （2）設(shè)底面所在的平面為面，半球的球心為O，平面/平面，截得半球上的截面圓O1半徑為r，OO1=L，則S截面圓=r2=R2L2（如圖7）。 構(gòu)造直觀展現(xiàn)思維 數(shù)學(xué)理論的表述往往是抽象的，而圖形則以其生動(dòng)、直觀的形象展現(xiàn)于人們面前，以幫助其理解、記憶抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的成敗在于能否充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維過程，并且讓這種過程能為學(xué)生所理解、接受。幾何畫板能夠使靜態(tài)變?yōu)閯?dòng)態(tài)、抽象變?yōu)榫呦?，有利于抽象思維能力的培養(yǎng)。 例如，在講授“球的體積公式”前，可以運(yùn)用幾何畫板給學(xué)生做一個(gè)演示實(shí)驗(yàn)。把一個(gè)半徑為R的半球和一個(gè)底面半徑和高均為R的圓錐放入一個(gè)底面半徑和高都為R的圓柱內(nèi)（如圖6）。此時(shí)，柱體內(nèi)扣除掉圓錐部分的幾何體，當(dāng)用一個(gè)平行于底面的平面去截時(shí)，半球的截面面積和幾何體的截面面積（圓環(huán)）會(huì)怎么樣呢？ （3）將半球、圓錐放入圓柱后，用平面去截，扣除掉圓錐的截面圓，剩下的部分，即將底面半徑和高均為R的圓柱挖去一個(gè)底面和高均為R的圓錐，圓柱體內(nèi)被平面所截得的一個(gè)圓環(huán)，其內(nèi)圓半徑即為L(zhǎng)，也就是：S圓環(huán)=R2L2。這樣就有：S截面圓=S圓環(huán)。由于面是平行于面的任意平面，所以，半球的體積與該幾何體的體積相等，即VR3=R3球2=R333112，從而可以得出球的體積為：V球=34R3。 從上面可以看出，運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行課堂教學(xué)的神奇能力，是其他方式無法取代的。在課堂教學(xué)中，我們通過“實(shí)驗(yàn)”讓學(xué)生觀察理解、探索研究、發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，給學(xué)生以一個(gè)建構(gòu)知識(shí)、展開思維活動(dòng)的空間，讓每一位學(xué)生都參與到發(fā)現(xiàn)、探索的過程中，進(jìn)而理解知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，形成自己的經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到讓學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的目的，這才是數(shù)學(xué)課堂的真諦。 運(yùn)動(dòng)直觀揭示規(guī)律 在立體幾何中，如何對(duì)學(xué)生傳授數(shù)形結(jié)合的思想方法以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題，是一個(gè)難點(diǎn)。而運(yùn)用幾何畫板則可以使圖形“動(dòng)”起來，讓學(xué)生觀察到數(shù)與形的聯(lián)系，在動(dòng)中找靜，使形與數(shù)有機(jī)結(jié)合，突破難點(diǎn)。 例如，在講授翻折問題時(shí)，有許多學(xué)生不知該如何畫圖，即便畫出了直觀圖，但圖形卻又缺乏空間感，更有學(xué)生不知該如何在二維平面內(nèi)去表現(xiàn)空間三維圖形以方便解題。究其原因，是由于在靜態(tài)的黑板上無法表現(xiàn)圖形的翻折過程，而且在翻折過程中的變化關(guān)系和不變關(guān)系不能動(dòng)態(tài)而且準(zhǔn)確地表現(xiàn)出來。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中也只能依靠想象，這就給他們的學(xué)習(xí)造成了一定的困難，往往還會(huì)使部分學(xué)生失去學(xué)習(xí)興趣。 有這樣一道題：將一個(gè)長(zhǎng)和寬分別是10和8的矩形ABCD沿一條對(duì)角線AC折成一個(gè)直二面角，求BC的長(zhǎng)。我們可以在幾何畫板中建立起一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，把平面圖形放到該坐標(biāo)系中，同時(shí)，構(gòu)造出可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的三維直角坐標(biāo)系，然后對(duì)平面圖形進(jìn)行翻折并讓它依托到三維坐標(biāo)系中。這樣，經(jīng)過預(yù)先制作好的“水平位置”“平面位置”“正面位置”“翻折變化”“復(fù)原變化”等按鈕進(jìn)行空間圖形的變化、旋轉(zhuǎn)，使學(xué)生充分感受到折疊圖形在空間中的各種位置關(guān)系，讓他們將數(shù)量與圖形結(jié)合起來，從而清楚地看到在翻折過程中哪些是不變量，哪些是變量。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力及解題思路的形成無疑是有幫助的（如圖8）。 顯然，在課堂教學(xué)中運(yùn)用幾何畫板展現(xiàn)出在二維平面內(nèi)將平面圖形變化為空間立體圖形以及翻折的全過程，揭示出圖形與數(shù)量間的變化規(guī)律是有著明顯的優(yōu)勢(shì)的。 突破直觀提高能力 在數(shù)學(xué)課堂中，有許多知識(shí)是與圖形、圖像分不開的，但不管是借助于直觀模型還是徒手描繪，最終必然要回到抽象思維中來。這就需要靠學(xué)生自己作圖并進(jìn)行分析。這對(duì)知識(shí)點(diǎn)的積累和應(yīng)用都有比較高的要求，有的學(xué)生完成起來會(huì)覺得困難重重。在幾何畫板上作圖，可以直觀體現(xiàn)圖像中點(diǎn)、線、面，圖形中圖、數(shù)之間的聯(lián)系，縮短了學(xué)生知識(shí)積累的時(shí)間，提高了效率，增進(jìn)了能力。 例如，在講述到空間四邊形時(shí)，由于剛學(xué)習(xí)立體幾何內(nèi)容不久，學(xué)生的空間想象能力不強(qiáng)，所以總分不清空間四邊形與平面四邊形有何區(qū)別。這時(shí)我們可以在幾何畫板中畫一個(gè)四邊形，用鼠標(biāo)拖動(dòng)讓它旋轉(zhuǎn)，從不同的角度觀察，找出空間四邊形與平面四邊形的區(qū)別，并選擇出在什么情況下畫出的圖形立體感最強(qiáng)（如圖9）。 對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實(shí)。但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。正如蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！睅缀萎嫲逭且云鋸?qiáng)大的圖形和圖像功能、方便的動(dòng)畫功能，將抽象的思維視覺化的理想工具。運(yùn)用幾何畫板更能在較短的時(shí)間內(nèi)豐富學(xué)生的知識(shí)積累，