（安徽專(zhuān)用）2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.6 特殊的平行四邊形（試卷部分）課件.ppt

第四章圖形的認(rèn)識(shí)4.6特殊的平行四邊形,中考數(shù)學(xué)(安徽專(zhuān)用),A組20142018年安徽中考題組,五年中考,1.(2017安徽,10,4分)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足SPAB=S矩形ABCD.則點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為()A.B.C.5D.,答案D如圖,過(guò)P點(diǎn)作MN,使MNAB,作A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1,連接PA1,A1B,則PA1=PA,設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h,由AB=5,AD=3,SPAB=S矩形ABCD可得h=2,則AA1=4,因?yàn)镻A+PB=PA1+PBA1B,所以當(dāng)P為A1B與MN的交點(diǎn)時(shí),PA+PB最小,其最小值為=,故選D.,疑難突破本題的突破口是根據(jù)SPAB=S矩形ABCD推出P點(diǎn)是在平行于AB的線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng),從而想到利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化.,2.(2015安徽,9,4分)如圖,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,點(diǎn)E在AB上,點(diǎn)F在CD上,點(diǎn)G、H在對(duì)角線(xiàn)AC上,若四邊形EGFH是菱形,則AE的長(zhǎng)是()A.2B.3C.5D.6,答案C連接EF交GH于點(diǎn)O,由四邊形EGFH為菱形,可得EFGH,OH=OG,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以B=90.因?yàn)锳B=8,BC=4,所以AC=4.易證AGECHF,所以AG=CH,所以AO=AC=2,因?yàn)镋OGH,B=90,所以AOE=B,又因?yàn)镺AE=BAC,所以AOEABC,所以=,所以AE=5,故選C.,思路分析連接EF,先證EFGH,可求AC的長(zhǎng),再證AGECHF,可得AG=CH,求得AO的長(zhǎng),然后證AOEABC,由相似比求出AE的長(zhǎng).,方法指導(dǎo)利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算的三種題型:(1)求角度.應(yīng)注意菱形的四條邊相等、對(duì)角相等和鄰角互補(bǔ)等,可利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)轉(zhuǎn)化要求的角,直到找到與已知角的關(guān)系;(2)求長(zhǎng)度(線(xiàn)段或周長(zhǎng)).應(yīng)注意使用等腰三角形的性質(zhì),若菱形中有一個(gè)頂角為60,則連接另外兩點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)所分割的兩個(gè)三角形為等邊三角形,故在計(jì)算時(shí)可借助等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解;若菱形中存在直角三角形,則應(yīng)注意使用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半等進(jìn)行求解;(3)求面積.可直接利用S=底高來(lái)求解,也可利用面積等于對(duì)角線(xiàn)之積的一半來(lái)進(jìn)行求解.,3.(2014安徽,10,4分)如圖,正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD長(zhǎng)為2,若直線(xiàn)l滿(mǎn)足:點(diǎn)D到直線(xiàn)l的距離為;A、C兩點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離相等,則符合題意的直線(xiàn)l的條數(shù)為()A.1B.2C.3D.4,答案B連接AC交BD于O點(diǎn),則OD=OB=.在直線(xiàn)BD上找一點(diǎn)E,使得DE=,過(guò)點(diǎn)E作AC的平行線(xiàn)即可,可知滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有兩條,故選B.,4.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部,點(diǎn)E在邊BC上,滿(mǎn)足PBEDBC.若APD是等腰三角形,則PE的長(zhǎng)為.,答案3或,解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,AB0),則DE=3k,EM=5k,AD=9k=DC,DF=6k.tanA=tanDFH=,則sinDFH=,DH=DF=k,CH=9k-k=k,cosC=cosA=,CN=CH=7k,BN=2k,=.,思路分析延長(zhǎng)NF與DC交于點(diǎn)H,由菱形的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)得出NHDC,構(gòu)造出RtNHC,在RtNHC和RtDHF中,利用邊角關(guān)系求得相應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng),再求出BN,CN的長(zhǎng),得出答案.,解題關(guān)鍵本題主要考查了菱形的性質(zhì),翻折變換以及解直角三角形,靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)表示線(xiàn)段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.,6.(2016黑龍江哈爾濱,20,3分)如圖,在菱形ABCD中,BAD=120,點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上,BEF與GEF關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng),點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)G,且點(diǎn)G在邊AD上.若EGAC,AB=6,則FG的長(zhǎng)為.,答案3,解析設(shè)AC與EG相交于點(diǎn)O,四邊形ABCD是菱形,BAD=120,EAC=DAC=60,B=60,AB=BC.ABC是等邊三角形.又AB=6,ABC的面積為18.菱形ABCD的面積為36,EGAC,AOE=AOG=90.AGE=90-60=30.BEF與GEF關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng),點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)G,EGF=B=60,AGF=EGF+AGE=90.FGAD,FG=3.,7.(2018北京,21,5分)如圖,在四邊形ABCD中,ABDC,AB=AD,對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分BAD,過(guò)點(diǎn)C作CEAB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接OE.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的長(zhǎng).,解析(1)證明:ABCD,OAB=DCA.AC平分BAD,OAB=DAC,DCA=DAC,CD=AD.又AB=AD,AB=CD,四邊形ABCD為平行四邊形.又CD=AD=AB,四邊形ABCD為菱形.(2)四邊形ABCD為菱形,OA=OC,BDAC.CEAE,OE=AO=OC.BD=2,OB=BD=1.在RtAOB中,AB=,OB=1,OA=2,OE=2.,8.(2017北京,22,5分)如圖,在四邊形ABCD中,BD為一條對(duì)角線(xiàn),ADBC,AD=2BC,ABD=90,E為AD的中點(diǎn),連接BE.(1)求證:四邊形BCDE為菱形;(2)連接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的長(zhǎng).,解析(1)證明:E為AD的中點(diǎn),AD=2ED.AD=2BC,ED=BC.ADBC,四邊形BCDE為平行四邊形.又在ABD中,E為AD的中點(diǎn),ABD=90,BE=ED,BCDE為菱形.,ADBC,DAC=ACB.AC平分BAD,BAC=DAC,BAC=ACB,BA=BC,由(1)可知,BE=AE=BC,AB=BE=AE,ABE為等邊三角形,BAC=30,ACBE,AH=CH.在RtABH中,AH=ABcosBAH=,(2)設(shè)AC與BE交于點(diǎn)H,如圖.,AC=2AH=.,9.(2015貴州遵義,24,10分)在RtABC中,BAC=90,D是BC的中點(diǎn),E是AD的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作AFBC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.(1)求證:AEFDEB;(2)證明四邊形ADCF是菱形;(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面積.,解析(1)證明:在RtABC中,BAC=90,D是BC的中點(diǎn),AD=BC=DC=BD.(1分)AFBC,DBE=AFE,E是AD的中點(diǎn),ED=EA.又BED=FEA,(2分)BDEFAE(AAS).(3分)(2)證明:由(1)知AF=BD=DC,(4分)AFDC,四邊形ADCF是平行四邊形.(5分)又AD=DC,四邊形ADCF是菱形.(6分)(3)解法一:連接DF,1.(2018天津,11,3分)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),P為對(duì)角線(xiàn)BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列線(xiàn)段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是()A.ABB.DEC.BDD.AF,考點(diǎn)三正方形,答案D在正方形ABCD中,連接CE、PC.點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng),AP=CP,AP+EP的最小值為EC.E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),DE=BF=AD.AB=CD,ABF=ADC=90,ABFCDE.AF=CE.,故選D.,解后反思本題考查軸對(duì)稱(chēng),正方形的性質(zhì),主要依據(jù)“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”.只要作出點(diǎn)A(或點(diǎn)E)關(guān)于直線(xiàn)BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C(或G),再連接EC(或AG),所得的線(xiàn)段長(zhǎng)為兩條線(xiàn)段和的最小值.,思路分析點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C,連接CE,AP+EP的最小值就是線(xiàn)段CE的長(zhǎng)度;通過(guò)證明CDEABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于線(xiàn)段AF的長(zhǎng).,2.(2016陜西,8,3分)如圖,在正方形ABCD中,連接BD,點(diǎn)O是BD的中點(diǎn).若M、N是邊AD上的兩點(diǎn),連接MO、NO,并分別延長(zhǎng)交邊BC于兩點(diǎn)M、N,則的全等三角形共有()A.2對(duì)B.3對(duì)C.4對(duì)D.5對(duì),答案C易知ABDCBD,MONMON,DONBON,DOMBOM,故選C.,3.(2014山西,10,3分)如圖,點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上,且EC=2AE,直角三角形FEG的兩直角邊EF,EG分別交BC,DC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則重疊部分四邊形EMCN的面積為()A.a2B.a2C.a2D.a2,答案D過(guò)點(diǎn)E作EOCD,EHBC,顯然四邊形EHCO為正方形,EH=EO,HEO=90.GEF=HEO=90,OEN=MEH.EHM=EON=90,EHMEON,S四邊形EMCN=S正方形EHCO.EC=2AE,=.AB=a,S正方形ABCD=a2,S正方形EHCO=S正方形ABCD=a2,重疊部分四邊形EMCN的面積為a2.故選D.,4.(2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,連接AC,BD,P是正方形邊上或?qū)蔷€(xiàn)上一點(diǎn),若PD=2AP,則AP的長(zhǎng)為.,答案2,-或2,解析四邊形ABCD是正方形,AB=6,ACBD,AC=BD=6,OA=OD=3.有三種情況:點(diǎn)P在AD上時(shí),AD=6,PD=2AP,AP=AD=2;點(diǎn)P在AC上時(shí),不妨設(shè)AP=x(x0),則DP=2x,在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,即(2x)2=(3)2+(3-x)2,解得x=-(負(fù)值舍去),即AP=-;點(diǎn)P在AB上時(shí),PAD=90,PD=2AP,ADP=30,AP=ADtan30=6=2.綜上所述,AP的長(zhǎng)為2,-或2.,思路分析根據(jù)正方形的性質(zhì)得出ACBD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,畫(huà)出符合題意的三種情況,根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)求解即可.,解題關(guān)鍵熟記正方形的性質(zhì),分析符合題意的情況,并準(zhǔn)確畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵.,易錯(cuò)警示此題沒(méi)有給出圖形,需將點(diǎn)P的位置分類(lèi)討論,做題時(shí),往往會(huì)因只畫(huà)出點(diǎn)P在正方形邊上而致錯(cuò).,5.(2016山東青島,13,3分)如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O,E為BC上一點(diǎn),CE=5,F為DE的中點(diǎn).若CEF的周長(zhǎng)為18,則OF的長(zhǎng)為.,答案,解析四邊形ABCD是正方形,BO=DO,BC=CD,BCD=90.在RtDCE中,F為DE的中點(diǎn),CF=DE=EF=DF.CEF的周長(zhǎng)為18,CE+CF+EF=18,又CE=5,CF+EF=18-5=13,DE=DF+EF=13,DC=12,BC=12,BE=12-5=7.在BDE中,BO=DO,F為DE的中點(diǎn),OF為BDE的中位線(xiàn),OF=BE=.,6.(2015上海,16,4分)已知E是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn),AE=AD,過(guò)點(diǎn)E作AC的垂線(xiàn),交邊CD于點(diǎn)F,那么FAD=度.,答案22.5,解析如圖,由題意可得ADFAEF,所以FAD=DAC=22.5度.,7.(2014重慶,18,4分)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn),點(diǎn)E在CD上,且DE=2CE,連接BE.過(guò)點(diǎn)C作CFBE,垂足是F,連接OF,則OF的長(zhǎng)為.,答案,解析如圖,在BE上截取BG=CF,連接OG,CFBE,EBC+BCF=90.又ECF+BCF=90,EBC=ECF,OBC=OCD=45,OBG=OCF.在OBG與OCF中,OBGOCF(SAS),OG=OF,BOG=COF,OGOF.BC=DC=6,DE=2EC,EC=2,BE=2,BC2=BFBE,62=BF2,解得BF=,EF=BE-BF=,CF2=BFEF,CF=,GF=BF-BG=BF-CF=.在等腰直角OGF中,OF2=GF2,OF=.,8.(2017上海,23,12分)已知:如圖,四邊形ABCD中,ADBC,AD=CD,E是對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn),且EA=EC.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)如果BE=BC,且CBEBCE=23,求證:四邊形ABCD是正方形.,證明(1)在ADE和CDE中,ADECDE(SSS).ADE=CDE.ADBC,ADE=CBD,CBD=CDE,BC=CD,AD=BC,四邊形ABCD為平行四邊形.又AD=CD,四邊形ABCD為菱形.(2)CBEBCE=23,設(shè)CBE=2x,BCE=3x,BE=BC,BEC=BCE=3x,2x+3x+3x=180,x=22.5,CBE=45.,ADB=CDB=CBE,ADC=90.四邊形ABCD為菱形,四邊形ABCD為正方形.,思路分析(1)先證四邊形ABCD為平行四邊形,再由一組鄰邊相等,便可證得四邊形ABCD為菱形.(2)證菱形ABCD的一個(gè)角為直角,便可證得菱形ABCD為正方形.,9.(2015山東臨沂,25,11分)如圖1,在正方形ABCD的外側(cè),作兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF,連接AF,BE.(1)請(qǐng)判斷:AF與BE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是;(2)如圖2,若將條件“兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF”變?yōu)椤皟蓚€(gè)等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)作出判斷并給予證明;(3)若三角形ADE和DCF為一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)問(wèn)中的結(jié)論都能成立嗎?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷.,解析(1)AF=BE,AFBE.(2分)(2)結(jié)論成立.(3分)證明:四邊形ABCD是正方形,BA=AD=DC,BAD=ADC=90.在EAD和FDC中,EADFDC.EAD=FDC.EAD+DAB=FDC+CDA,即BAE=ADF.(4分)在BAE和ADF中,BAEADF.BE=AF,ABE=DAF.(6分)DAF+BAF=90,ABE+BAF=90,AFBE.(9分)(3)結(jié)論都能成立.(11分),考點(diǎn)一矩形,C組教師專(zhuān)用題組,1.(2016四川南充,8,3分)如圖,對(duì)折矩形紙片ABCD,使AB與DC重合得到折痕EF,將紙片展平;再一次折疊,使點(diǎn)D落到EF上點(diǎn)G處,并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,展平紙片后DAG的大小為()A.30B.45C.60D.75,答案C如圖,根據(jù)第二次折疊可知,1=2,MGA=90,由第一次折疊可知,MN=AN,即NG是RtAMG的中線(xiàn),故AN=GN,所以2=3.又EFAB,所以3=4,故1=2=4,又因?yàn)?+2+4=90,所以1=2=4=30,所以1+2=DAG=60,故選C.,2.(2015江西南昌,5,3分)如圖,小賢為了體驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性,將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD,B與D兩點(diǎn)之間用一根拉直固定,然后向右扭動(dòng)框架,觀察所得四邊形的變化.下列判斷的是()A.四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅蜝.BD的長(zhǎng)度增大C.四邊形ABCD的面積不變D.四邊形ABCD的周長(zhǎng)不變,答案C向右扭動(dòng)框架ABCD的過(guò)程中,AD與BC的距離逐漸減小,即ABCD的高發(fā)生變化,所以面積改變,選項(xiàng)C錯(cuò)誤,故選C.,3.(2014江蘇南京,6,2分)如圖,在矩形AOBC中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,1),點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是4,則B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是()A.、B.、C.、D.、,答案B過(guò)點(diǎn)A作AA1x軸于點(diǎn)A1,過(guò)點(diǎn)B作BB1x軸于點(diǎn)B1,過(guò)點(diǎn)C作B1B的垂線(xiàn),交B1B的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,如圖所示,易知AOA1BCD,故點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是4-1=3,從而由AOA1OBB1得=,解得OB1=,所以B,故點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-2=-,即C,故選B.,4.(2015江蘇蘇州,18,3分)如圖,四邊形ABCD為矩形,過(guò)點(diǎn)D作對(duì)角線(xiàn)BD的垂線(xiàn),交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,取BE的中點(diǎn)F,連接DF,DF=4.設(shè)AB=x,AD=y,則x2+(y-4)2的值為.,答案16,解析由題意知DF是RtBDE的中線(xiàn),所以DF=BF=FE=4.矩形ABCD中,AB=DC=x,BC=AD=y,在RtCDF中,CF=BF-BC=4-y,CD=x,DF=4,由勾股定理得CF2+CD2=DF2,即x2+(y-4)2=42=16.,評(píng)析本題考查勾股定理的應(yīng)用,直角三角形的性質(zhì),綜合性較強(qiáng),對(duì)學(xué)生能力要求較高,屬難題.,5.(2015內(nèi)蒙古包頭,20,3分)如圖,在矩形ABCD中,BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,取EF的中點(diǎn)G,連接CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論:BE=CD;DGF=135;ABG+ADG=180;若=,則3SBDG=13SDGF.其中正確的結(jié)論是.(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)),答案,解析因?yàn)锽AD=ADF=90,AE平分BAD,所以BAE=DAF=F=45,所以AD=DF=BC,AB=BE=CD.在DGF中,F=45,所以DGF135.在等腰RtEFC中,因?yàn)镚為EF的中點(diǎn),所以GF=GC,F=BCG=45,又因?yàn)镈F=BC,所以BGCDGF(SAS),所以GBC=GDF.又因?yàn)镈BC+BDC=90,所以GBD+GDB=GBC+CBD+GDB=CBD+GDB+CDG=90,所以BGD=90,在四邊形ABGD中,BAD=BGD=90,所以ABG+ADG=180.因?yàn)?,所以可設(shè)AB=2k,則AD=3k,所以BD=k.所以SBDG=BD2=k2.作GMCF于M,則GM=CF=k.所以SDGF=DFGM=k2.所以3SBDG=13SDGF.故正確.,評(píng)析本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、三角形全等的性質(zhì)與判定、三角形的面積等知識(shí).考查內(nèi)容較多、較復(fù)雜.屬難題.,6.(2015重慶,18,4分)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,連接BD,DBC的角平分線(xiàn)BE交DC于點(diǎn)E,現(xiàn)把BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)后的BCE為BCE.當(dāng)射線(xiàn)BE和射線(xiàn)BC都與線(xiàn)段AD相交時(shí),設(shè)交點(diǎn)分別為F,G.若BFD為等腰三角形,則線(xiàn)段DG長(zhǎng)為.,答案,解析過(guò)點(diǎn)F作FHBD交BG的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H,在矩形ABCD中,BD=14,ADBC,ADB=DBC,BE平分DBC,FBG=EBC=DBC,FBG=FDB,由題可得BF=FD,FBD=FDB,FBG=FBD,FBG=GBD,FHBD,H=GBD,H=FBG,FB=FH=FD,設(shè)FD=x(x0),在RtABF中,由勾股定理得BF2=AF2+AB2,即x2=(10-x)2+(4)2,解得x=,FB=FH=FD=.FHBD,FHGDBG,=,設(shè)GD=y(y0),=,解得y=,GD=.,評(píng)析本題重點(diǎn)考查勾股定理,矩形的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)與判定,方程思想等,綜合性較強(qiáng),屬于難題.,7.(2014河南,15,3分)如圖,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),把ADE沿AE折疊,當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在ABC的角平分線(xiàn)上時(shí),DE的長(zhǎng)為.,答案或,解析如圖,連接BD,過(guò)點(diǎn)D作PQAB,交AB于點(diǎn)Q,交CD于點(diǎn)P.點(diǎn)D在ABC的角平分線(xiàn)上,四邊形ABCD為矩形,ABD=ABC=45,BQ=QD,設(shè)BQ=x,由折疊得,AD=AD=5,DE=DE,ADE=90,易得EDPDAQ,=,在RtAQD中,AD2=AQ2+QD2,即52=(7-x)2+x2,x1=3,x2=4.當(dāng)DQ=3時(shí),=,即=,解得DE=,即DE=.當(dāng)DQ=4時(shí),=,即=,解得DE=,即DE=.DE的長(zhǎng)為或.,8.(2014上海,18,4分)如圖,已知在矩形ABCD中,點(diǎn)E在邊BC上,BE=2CE,將矩形沿著過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)翻折后,點(diǎn)C、D分別落在邊BC下方的點(diǎn)C、D處,且點(diǎn)C、D、B在同一直線(xiàn)上,折痕與邊AD交于點(diǎn)F,DF與BE交于點(diǎn)G.設(shè)AB=t,那么EFG的周長(zhǎng)為(用含t的代數(shù)式表示).,答案2t,解析連接BD,點(diǎn)C、D、B在同一直線(xiàn)上,D=FDC=GDB=90,由翻折知,CE=CE,BE=2CE=2CE,EBC=30,BGD=60,BGD=FGE,FGE=60.ADBC,AFG=BGD.AFG=60,易得GFE=60,EFG為等邊三角形.AB=t,FG=t,CEFG=2t.,9.(2016寧夏,26,10分)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度,沿AB向點(diǎn)B移動(dòng);同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),仍以每秒1個(gè)單位的速度,沿BC向點(diǎn)C移動(dòng),連接QP,QD,PD.若兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒(03(不合題意,舍去),存在x,使得QPDP.(10分)解法二:若存在x,使得QPDP,則RtQBPRtPCD,=,即=,整理,得x2-7x+9=0,(8分)解得x=或x=3(不合題意,舍去),存在x,使得QPDP.(10分),評(píng)析本題是以矩形為載體的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.主要考查矩形的性質(zhì),三角形的面積等.解題的關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示各線(xiàn)段的長(zhǎng).屬難題.,10.(2015福建龍巖,20,10分)如圖,E,F分別是矩形ABCD的邊AD,AB上的點(diǎn),若EF=EC,且EFEC.(1)求證:AE=DC;(2)已知DC=,求BE的長(zhǎng).,解析(1)證明:在矩形ABCD中,A=D=90,1+2=90.EFEC,FEC=90,2+3=90,1=3.(2分)在AEF和DCE中,AEFDCE,(4分)AE=DC.(6分)(2)由(1)得AE=DC,AE=DC=.在矩形ABCD中,AB=DC=,(8分)在RtABE中,AB2+AE2=BE2,即()2+()2=BE2,BE=2.(10分),11.(2015山東聊城,21,8分)如圖,在ABC中,AB=BC,BD平分ABC.四邊形ABED是平行四邊形,DE交BC于點(diǎn)F,連接CE.求證:四邊形BECD是矩形.,證明AB=BC,BD平分ABC,BDAC,AD=CD.(2分)四邊形ABED是平行四邊形,BEAD,BE=AD,(4分)BE=CD.四邊形BECD是平行四邊形.(6分)BDAC,BDC=90,BECD是矩形.(8分),12.(2014江蘇揚(yáng)州,28,12分)已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接AP、OP、OA.求證:OCPPDA;若OCP與PDA的面積比為14,求邊AB的長(zhǎng);(2)若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn),求OAB的度數(shù);(3)如圖2,擦去折痕AO、線(xiàn)段OP,連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作MEBP于點(diǎn)E.試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中,線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若變化,說(shuō)明理由;若不變,求出線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度.,圖1,圖2,解析(1)證明:四邊形ABCD是矩形,C=D=90,APD+DAP=90,APO是由ABO沿AO折疊而得,APO=B=90,APD+CPO=90,DAP=CPO,ADPPCO.(2分)ADPPCO,=,=,AD=8,CP=4,設(shè)AB=x,則DP=x-4,由D=90得AP2=AD2+DP2,x2=82+(x-4)2,x=10,即AB=10.(4分)(2)折疊后AOB與AOP重合,AP=AB,OAB=OAP,AB=CD,AP=CD,P是CD的中點(diǎn),DP=AP,D=90,PAD=30,又OAB=OAP,OAB=30.(8分)(3)不變.作MHBN交PB于點(diǎn)H,MHP=ABP,MHF=NBF,AP=AB,APB=ABP,MHP=APB,MP=MH,MP=BN,BN=MH,NFB=MFH,NBFMHF,FB=FH,MP=MH,MEPB,PE=EH,EF=EH+FH,EF=EP+FB=PB,由(1)得AB=10,AD=8,DP=6,PC=4,PB=4,EF=PB=2.(12分),評(píng)析本題通過(guò)圖形的變換綜合考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí),屬較難題.(1)通過(guò)等角的余角相等找到兩組角相等判定兩三角形相似,再利用三角形相似的性質(zhì)、勾股定理等建立方程是突破口;(2)通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形,再對(duì)所求線(xiàn)段進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.,1.(2015遼寧沈陽(yáng),7,3分)順次連接對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形的各邊中點(diǎn),所形成的四邊形是()A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形,考點(diǎn)二菱形,答案B如圖,在ABD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),EF是ABD的中位線(xiàn),EF=BD,同理,GH=BD,EH=AC,FG=AC,AC=BD,EF=FG=HG=HE,四邊形EFGH是菱形.,評(píng)析順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是中點(diǎn)四邊形.中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形,它的其他特征取決于原四邊形對(duì)角線(xiàn)的特點(diǎn):若原四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直,則中點(diǎn)四邊形的各角為直角;若原四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等,則中點(diǎn)四邊形的各邊相等.,2.(2014上海,6,4分)如圖,已知AC、BD是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn),那么下列結(jié)論一定正確的是()A.ABD與ABC的周長(zhǎng)相等B.ABD與ABC的面積相等C.菱形ABCD的周長(zhǎng)等于兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)之和的兩倍D.菱形ABCD的面積等于兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)之積的兩倍,答案B解法一:由題圖可知SABD=S菱形ABCD,SABC=S菱形ABCD,所以SABD=SABC.解法二:ABC和ABD是同底等高的兩個(gè)三角形,所以SABC=SABD.,3.(2014山東煙臺(tái),6,3分)如圖,在菱形ABCD中,M,N分別在AB,CD上,且AM=CN,MN與AC交于點(diǎn)O,連接BO.若DAC=28,則OBC的度數(shù)為()A.28B.52C.62D.72,答案CAOM=CON,MAO=NCO,AM=CN,AOMCON,AO=CO,點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),BOAC,OBC=90-BCO=90-DAC=90-28=62.,4.(2016陜西,14,3分)如圖,在菱形ABCD中,ABC=60,AB=2,點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn).若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,則P、D(P、D兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為.,答案2-2,解析當(dāng)?shù)妊黀BC以PBC為頂角時(shí),點(diǎn)P在以B為圓心,BC為半徑的圓弧上.連接AC、BD相交于點(diǎn)O.若使PD最短,則點(diǎn)P在如圖所示的位置處.四邊形ABCD是菱形,ACBD,ABO=ABC=30,BO=ABcos30=,BD=2BO=2,PB=BC=2,PD=BD-PB=2-2.當(dāng)?shù)妊切蜳BC以PCB為頂角時(shí),易知點(diǎn)P與點(diǎn)D重合(不合題意,舍去)或點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,則PD=2.當(dāng)?shù)妊切蜳BC以BC為底邊時(shí),如圖,作BC的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E,易知該直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A,則,點(diǎn)P在線(xiàn)段AE上(不含點(diǎn)E).當(dāng)P與A重合時(shí),PD最短,此時(shí)PD=2.2-20),則BC=7kcm.上下兩個(gè)陰影三角形的面積之和為54cm2,23k+54=6k7k,即(2x+7k)3k+54=42k2.易知四邊形DENM、四邊形AFMN是平行四邊形,DE=AF=MN=2xcm.EF=4cm,4x+4=7k,即2x=.將代入得,3k+54=42k2,化簡(jiǎn)得7k2+4k-36=0.解得k1=2,k2=-(舍去).AB=12cm,BC=14cm,MN=5cm,x=.易證MCDMPQ,=,解得y=.PM=(cm).菱形MPNQ的周長(zhǎng)為4=(cm).,評(píng)析本題主要考查平行四邊形、菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì).,7.(2014四川成都,24,4分)如圖,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,A=60,M是AD邊的中點(diǎn),N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),將AMN沿MN所在直線(xiàn)翻折得到AMN,連接AC,則AC長(zhǎng)度的最小值是.,答案-1,解析過(guò)點(diǎn)M作MFCD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F.由題意可知MA、MA是定值,AC的長(zhǎng)度最小時(shí),A在MC上(如圖).菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,A=60,M是AD的中點(diǎn),MD=MA=1,MDF=60.MF=MDsin60=,DF=MDcos60=.CF=CD+DF=.在RtMFC中,由勾股定理得MC=.AMN沿MN所在直線(xiàn)翻折得到AMN,MA=MA=1.AC=MC-MA=-1.故答案為-1.,評(píng)析本題是一道以菱形為依托的動(dòng)點(diǎn)探究問(wèn)題,主要考查菱形、軸對(duì)稱(chēng)(翻折)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用.根據(jù)已知分析確定點(diǎn)A的位置是本題的解題關(guān)鍵.,8.(2016遼寧沈陽(yáng),19,8分)如圖,ABCABD,點(diǎn)E在邊AB上,CEBD,連接DE.,求證:(1)CEB=CBE;(2)四邊形BCED是菱形.,證明(1)ABCABD,ABC=ABD.CEBD,CEB=DBE,CEB=CBE.(2)ABCABD,BC=BD.由(1)得CEB=CBE,CE=CB,CE=BD,CEBD,四邊形BCED是平行四邊形.BC=BD,四邊形BCED是菱形.,9.(2015江西南昌,20,8分)(1)如圖1,紙片ABCD中,AD=5,SABCD=15.過(guò)點(diǎn)A作AEBC,垂足為E,沿AE剪下ABE,將它平移至DCE的位置,拼成四邊形AEED,則四邊形AEED的形狀為()A.平行四邊形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如圖2,在(1)中的四邊形紙片AEED中,在EE上取一點(diǎn)F,使EF=4,剪下AEF,將它平移至DEF的位置,拼成四邊形AFFD.求證:四邊形AFFD是菱形;求四邊形AFFD的兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng).,解析(1)C.(2分)(2)AD=5,SABCD=15,AE=3.又在題圖2中,EF=4,在RtAEF中,AF=5.AF=AD=5.又由AEF平移得到DEF,AFDF,AF=DF,四邊形AFFD是平行四邊形.又AF=AD,四邊形AFFD是菱形.(5分)如圖,連接AF,DF.,在RtDEF中,EF=EE-EF=5-4=1,DE=3,DF=.(6分)在RtAEF中,EF=EE+EF=5+4=9,AE=3,AF=3.(8分),10.(2014貴州貴陽(yáng),18,10分)如圖,在RtABC中,ACB=90,D,E分別為AB,AC邊上的中點(diǎn),連接DE,將ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180得到CFE,連接AF,CD.(1)求證:四邊形ADCF是菱形;(2)若BC=8,AC=6,求四邊形ABCF的周長(zhǎng).,解析(1)證明:將ADE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180得到CFE,AE=CE,DE=FE.四邊形ADCF為平行四邊形.(3分)點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),DE是ABC的中位線(xiàn),DEBC.ACB=90,DFAC,四邊形ADCF為菱形.(5分)(2)在RtABC中,BC=8,AC=6,AB=10.(7分)點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn),AD=5.四邊形ADCF為菱形,AF=FC=AD=5,(9分)C四邊形ABCF=10+8+5+5=28.(10分),評(píng)析本題考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),屬容易題.,11.(2014山東青島,24,12分)已知:如圖,菱形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,且AC=12cm,BD=16cm.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;同時(shí),直線(xiàn)EF從點(diǎn)D出發(fā),沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s,EFBD,且與AD,BD,CD分別交于點(diǎn)E,Q,F;當(dāng)直線(xiàn)EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng).連接PF,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0t8).解答下列問(wèn)題:(1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形APFD是平行四邊形?(2)設(shè)四邊形APFE的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)是否存在某一時(shí)刻t,使S四邊形APFES菱形ABCD=1740?若存在,求出t的值,并求出此時(shí)P,E兩點(diǎn)間的距離;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.,解析(1)四邊形ABCD是菱形,ABCD,ACBD,OA=OC=AC=6cm,OB=OD=BD=8cm.在RtAOB中,AB=10cm.EFBD,FQD=COD=90.又FDQ=CDO,DFQDCO.=.即=,DF=tcm.四邊形APFD是平行四邊形,AP=DF.即10-t=t,解這個(gè)方程,得t=.答:當(dāng)t=時(shí),四邊形APFD是平行四邊形.(4分),S菱形ABCD=ABCG=ACBD,即10CG=1216,CG=cm.S梯形APFD=(AP+DF)CG=cm2.DFQDCO,=.,(2)過(guò)點(diǎn)C作CGAB于點(diǎn)G,即=,QF=tcm.同理,EQ=tcm.EF=QF+EQ=tcm.SEFD=EFQD=tt=t2cm2.y=-t2=-t2+t+48.(8分)(3)若S四邊形APFES菱形ABCD=1740,則-t2+t+48=96,即5t2-8t-48=0,解這個(gè)方程,得t1=4,t2=-(舍去).過(guò)點(diǎn)P作PMEF于點(diǎn)M,PNBD于點(diǎn)N,當(dāng)t=4時(shí),PBNABO,=,即=.PN=cm,BN=cm.EM=EQ-MQ=3-=cm,PM=BD-BN-DQ=16-4=cm.,在RtPME中,PE=cm.(12分),評(píng)析本題主要考查菱形和四邊形的面積,是動(dòng)態(tài)幾何的典型題目,中考中常以壓軸題目出現(xiàn),也是幾何背景下的函數(shù)應(yīng)用題.,12.(2014浙江杭州,22,12分)菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,AC=4,BD=4.動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BD上從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),PFAB于點(diǎn)F,四邊形PFBG關(guān)于BD對(duì)稱(chēng),四邊形QEDH與四邊形PFBG關(guān)于AC對(duì)稱(chēng).設(shè)菱形ABCD被這兩個(gè)四邊形蓋住部分的面積為S1,未被蓋住部分的面積為S2,BP=x.(1)用含x的代數(shù)式分別表示S1,S2;(2)若S1=S2,求x的值.,解析(1)在RtABO中,由tanABO=,得ABO=60,因?yàn)锽P=x,所以BF=,FP=.菱形ABCD的面積等于ACBD=8.當(dāng)0x2時(shí),S1=,S2=8-.當(dāng)2x4時(shí),四邊形PFBG的面積等于.又因?yàn)镻O=x-2,MN=,所以PMN的面積等于,所以五邊形BGNMF的面積等于-,所以S1=2=-+8,S2=.(2)當(dāng)0x2時(shí),由S1=S2,即=8-,解得x=2(舍去);當(dāng)2b).下列結(jié)論:BCGDCE;BGDE;=;(a-b)2SEFO=b2SDGO.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A.4B.3C.2D.1,答案B延長(zhǎng)BG交DE于P,四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形,BC=DC,CG=CE,BCG=DCE=90,BCGDCE;DCE=90,CDE+CED=90,BCGDCE,CDE=CBG,CBG+CED=90,BPE=90,BGDE;OGCE,DGODCE,=,;易知DGOEFO,SDGOSEFO=,(a-b)2SEFO=b2SDGO.4個(gè)結(jié)論中有3個(gè)是正確的,故選B.,4.(2016天津,17,3分)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,N,P,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,點(diǎn)M,F,Q都在對(duì)角線(xiàn)BD上,且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形,則的值等于.,答案,解析由題意易得DQ=PQ=QM=MN=MB=AB,DG=GF=GA=AE=BE=AB.S正方形MNPQ=MN2=AB2,S正方形AEFG=AE2=AB2.=.,5.(2016重慶,18,4分)正方形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,DE平分ADO交AC于點(diǎn)E,把ADE沿AD翻折,得到ADE,點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),連接AF,BF,EF.若AE=,則四邊形ABFE的面積是.,答案,解析如圖,連接EB、EE,設(shè)EE交AD于點(diǎn)N.作EMAB于M,易知四邊形AMEN為正方形.AE=,AM=EM=EN=AN=1,DE平分ADO,ENDA,EODB,EO=EN=1,AO=+1,AB=AO=2+,四邊形ABCD是正方形,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性及翻折的性質(zhì),得ADEADEABE,AE=AE,DAE=DAE=45,AEE為等腰直角三角形,AB=2+,EM=1,SAEB=ABEM=1+,SAED=SADE=SAEB=1+,SBDE=SADB-SAEB-SAED=(2+)2-2=1+,S四邊形AEDE=2SAED=2+,SAEE=()2=1,SDEE=(2+)-1=1+,DF=EF,SEFE=SDEE=,DF=EF,SBDE=1+,SFEB=SBDE=,S四邊形ABFE=SAEE+SEFE+SAEB+SEFB=1+1+=.,評(píng)析本題考查正方形的性質(zhì)、翻折(軸對(duì)稱(chēng))的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)等,解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.,6.(2014江蘇連云港,16,3分)如圖1,將正方形紙片ABCD對(duì)折,使AB與CD重合,折痕為EF.如圖2,展開(kāi)后再折疊一次,使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合,折痕為GH,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M,EM交AB于點(diǎn)N,則tanANE=.,解析設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2,DH=x,則DE=1,CH=2-x,EH=CH=2-x,在RtDEH中,(2-x)2=x2+1,解得x=,所以tanHED=,因?yàn)镠EN=90,所以AEN+DEH=90,又因?yàn)锳EN+ANE=90,所以ANE=DEH,所以tanANE=.,答案,評(píng)析本題主要考查翻折的性質(zhì)以及勾股定理、銳角三角函數(shù)、解直角三角形的綜合運(yùn)用,抓住變換中不變的量是解決本題的關(guān)鍵.,7.(2018北京,27,7分)如圖,在正方形ABCD中,E是邊AB上的