清北學堂 2014年寒假高一理科精英班導學1-物理學科專題講解+例題精講

2014 年寒假 高一理科精英班 導學 （第 一 次） 資料 說明 本 導學用于學員在實際授課 之 前 ，了解授課方向及重難點。 同時 還 附上部分知識點 的詳細解讀。每個班型導學共由 2 次書面資料構成。此次發(fā)布的為第 一 次導學，后面的第 二次導學 ， 將于 2013 年 12 月 25 日發(fā)布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 還 會發(fā)布 相應班型的詳細授課大綱，敬請關注。 自主招生郵箱： 數(shù)學競賽郵箱： 物理競賽郵箱： 化學競賽郵箱： 生物競賽郵箱： 理科精英郵箱： 清北學堂集中 培訓課程 導學資料 （ 2014 年寒假集中培訓 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-3-3 2013-12-15 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 1 頁 2014 年寒假 高一理科精英班 導學 (物理 部分 ) 目錄 知識框架 . 3 重點難點 . 4 知識梳理 . 5 一、 運動學 . 5 1. 運動的合成與分解 . 5 2. 相對運動 . 5 3. 直線運動 . 5 4. 曲線運動 . 5 5. 剛體平動 . 7 6. 剛體繞定軸轉動 . 7 二、 靜力學 . 7 1. 力的種類與特性 . 7 2. 力的合成與分解 . 8 3. 共點力的平衡 . 8 4. 非共點力的平衡 . 8 5. 液體壓強與浮力 . 8 6. 液體表面張力 . 8 三、 動力學 . 8 1. 牛頓運動定律 . 8 2. 質心和質心參考系 . 9 3. 非慣性系 . 9 4. 慣性力 . 9 5. 轉動慣量 . 9 6. 剛體轉動的牛頓運動定律 . 10 四、 能量、動量和角動量 . 10 1. 機械能守恒定律 . 10 2. 功能原理 . 10 3. 動能定理 . 11 4. 動量守恒 . 11 5. 碰撞問題 . 12 6. 角動量守恒定律 . 12 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 五、 天體運動 . 13 1. 萬有引力 . 13 2. 開普勒行星運動定律 . 13 3. 宇宙速度與軌道能量 . 13 六、 經(jīng)典方法歸納 . 14 1. 微元法 . 14 2. 等效法 . 14 3. 整體法和隔離法 . 14 4. 幾何法 . 14 5. 虛功原理 . 14 6. 摩擦角 . 15 例題選講 . 16 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 知識框架 運動學 基本要求 運動的合成與分解 相對運動 直線運動 曲線運動（平拋、圓周） 拔高內(nèi)容 曲線運動（斜拋） 剛體平動 和轉動 經(jīng)典方法 微元法、作圖法、極限法、等效法、矢量法 靜力學 基本要求 力的種類與特性 力的合成與分解 力的平衡（共點力） 液體的靜壓強與浮力 拔高內(nèi)容 力矩問題（非共點力） 液體表面張力 經(jīng)典方法 摩擦角、極限法、微元法、虛功原理 動力學 基本要求 牛頓運動定律 質心和質心參考系 拔高內(nèi)容 非慣性系 慣性力 轉動慣量 剛體轉動的牛頓運動定律 經(jīng)典方法 整體法、隔離法、微元法 能量、動量和角動量 基本要求 機械能守恒定律 功能原理 動能定理 動量守恒 碰撞問題 拔高內(nèi)容 角動量守恒定律 天體運動 基本要求 萬有引力 開普勒行星運動定律 宇宙速度與軌道能量 常用 方法 能量守恒、角動量守恒 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 重點難點 運動學知識是高中物理最為基本的內(nèi)容，大部分理論內(nèi)容都列于高考考綱之內(nèi)，因此需要 熟練掌握 。在學習中重點要訓練的是如何變換角度和思路，靈活快速解題。非慣性參照系、斜拋運動以及剛體的知識都不在高考考綱的范圍之內(nèi)，知識點也較有難度。不過在競賽及自主招生考試中經(jīng)常容易出現(xiàn)，需要特別注意。 靜力學是高中物理力學部分的基礎，需要熟練掌握并理解 物理過程 。靜力學中的平衡問題是高考乃至競賽中的重點，受力分析是難點。 動力學中解題的關鍵在于準確 分析物體的受力 。受力分析的方法在靜力學中已經(jīng)重點訓練過，需要在動力學問題中 靈活運用 。在競賽或自招考試中，較常見對于非慣性系和剛體轉動的考查，應該作為難點進行攻克。 能量、動量和角動量部分，如何基于物體的受力分析判斷出適用的守恒定律，并列出方程是需要訓練的重點。 在守恒定律不能封閉方程組的情況下要從 運動學 角度尋找其他方程。這部分問題的難點通常在應用 動量守恒定律 方面， 碰撞問題 是 考查 重點。此外，角動量部分也需要熟悉并能在涉及轉動的問題中靈活使用動量守恒和 角動量守恒 定律。 天體運動中， 開普勒行星運動定律 是重點，要結合 角動量守恒定律 進行求解。 巧妙地運用經(jīng)典方法能夠很大程度上縮短解題的時間，提高解題的準確度。因此在求解力學 問題時常用的 幾種經(jīng)典 方法也應該作為重點和難點掌握。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 5 頁 知識梳理 一、 運動學 1. 運動的合成與分解 a) 包括 位移 、 速度 和 加速度 的合成與分解； b) 遵守矢量合成法則 平行四邊形法則 ； c) 注意分運動和合運動在 時間上的同一性 ； d) 要根據(jù) 實際的運動效果 選擇分量的方向 。 2. 相對運動 a) 絕對運動 質點對地或對地面靜止物體的運動； b) 相對運動 質點對運動參照系的運動； c) 牽連運動 運動參照系對地的運動； d) 三者的關系（以速度矢量為例） 牽連相對絕對 vvv ； e) 注意三者的方向性關系。 3. 直線運動 （ 1） 勻速直線運動 vts （ 常數(shù)v 0a ） （ 2） 勻變速直線運動 1) 勻變速直線運動的一般規(guī)律 a) 速度表達式 ： atvvt 0 。 b) 位移表達式 ： 20 21 attvs 。 c) 速度與位移的關系 ： asvvt 2202 。 2) 自由落體運動 gtvt 221gts 3) 豎直拋體運動 1 豎直下拋運動的規(guī)律：規(guī)定 拋出點為原點 ，豎直 向下為正方向 ，公式為 gtvvt 0 20 21 gttvs 2 豎直上拋運動的規(guī)律：規(guī)定 拋出點為原點 ，豎直 向上為正方向 ，公式為 gtvvt 0 20 21 gttvs 4. 曲線運動 （ 1） 拋體運動 1) 平拋運動 a) 分位移： tvx 0 221gty 。消去參數(shù) t ，得 軌跡方程 ： 2202 xvgy。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 6 頁 位移公式 ： )21()( 22022 gttvyxs 。 位移 s 和 x 軸方向夾角 ：02arctan vgt 。 b) 分速度 ： 0vvx gtvy 。 速度公式 ： 222022 tgvvvv yx 。 速度 v 與 x 軸方向夾角 ：0arctan vgt 。 c) 加速度 ： 0xa gay 。 2) 斜拋運動 整體思路 ： 將 斜拋的 初速度 分解為 水平初速度 和 豎直初速度 ，在水平和豎直方向上分別為 勻速直線運動 和有初速度的 勻變速直線運動 （豎直加速度為 ）。可以說，平拋運動是斜拋運動的一個特例（ 平拋 = 0）。 分速度公式 ： cos0vvx gtvv y sin0 ， 斜上拋運動 ， 斜下拋運動 。 分位移公式 ： tvx cos0 20 21s in gttvy ， 斜上拋運動 ， 斜下拋運動 。 軌跡方程 ： 2220 c o s2ta n xv gxy ， 斜上拋運動 ， 斜下拋運動 。 斜上拋運動 的幾個 特征量 ：飛行時間gvT sin2 0射高gvH 2sin220 射程gvs 2sin20 （ 2） 圓周運動 1) 勻速圓周運動 線速度、角速度及其關系 ： tsv t rv ，其中 s 為弧長， 為圓心角。 加速度 ：切向加速度 0ra ；法向加速度 rrvan 22 ， 指向圓心 。 2) 變速圓周運動 合加速度的方向 不指向圓心 ，加速度可分解為 向心 加速度 和 切向 加速度 兩個分量。 即： rn aaa 22 rn aaa nraatan 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 7 頁 （ 3） 一般曲線運動 每一 光滑平面曲線 中任何一個 無限小部分 均可屬于某一 圓 ，此圓稱為曲線在該部位的 曲率圓 ，其半徑稱為 曲率半徑 ，常記為 ，運動速度 v 及向心加速度 na 與曲率半徑 間有關系式： 2n va 5. 剛體平動 在任何情況下都 不發(fā)生形變 的物體稱為 剛體 。 剛體平動的 特點 是：剛體上 各點 在空間運動的軌跡通過平移可以 完全重合 ，同一時刻剛體上各點的運動速度都相同。因此， 整個剛體的運動可以視為一個質點的運動 。 6. 剛體繞定軸轉動 剛體繞定軸轉動 特點 是：剛體上的 各點 都在 與轉軸垂直的平面內(nèi)做圓周運動 ，各點做圓周運動的 半徑可以不相等 ，但各點的 轉過的角度都相同 。 轉動涉及的運動學變量為 角位移 、 角速度 、 角加速度 ，這些概念可以分別與直線運動中的 位移 、 速度 、 加速度 類比。 當 為常量時，為勻變速轉動。類似于勻變速直線運動，有： = 0 + = 0 +0 +122 2 02 = 2(0) 對于定軸轉動的剛體上的某點，以 R 表示該點到轉軸的距離，則該點作圓周運動的 線速度 v、 切向加速度 和 法向加速度 ，分別表示為： = = = 2 二、 靜力學 1. 力的種類與特性 （ 1） 重力 a) 重力由 地球引力 引起； b) 在計算中一般認為重力方向 豎直向下 ，作用在物體 重心 上； c) 重力為 非接觸力 。 （ 2） 彈力 a) 彈力產(chǎn)生必要條件為 相互接觸且有形變 ； b) 彈力為 接觸力 ； c) 判斷 形變 是否存在：可采用 假設法 判斷物體間是否具有 相對運動趨勢 或 相對運動 。 1) 輕繩、輕桿、輕彈簧 a) 輕繩 受力， 只能產(chǎn)生 拉力 ，方向 沿繩子且指向繩子收縮的方向 。 b) 輕桿 受力，有 拉伸 、 壓縮 、 彎曲 、 扭轉 形變，相應的桿的彈力 方向具有多向性 。 c) 輕彈簧 受力，有 壓縮 和 拉伸 形變，能產(chǎn)生 拉力 和 壓力 ，方向 沿彈簧的軸線方向 。 2) 面與面、點與面接觸 面與面、點與面接觸時，彈力方向 垂直于面 （若是曲面則 垂直于切面 ）， 指向受力物體 。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 8 頁 （ 3） 摩擦力 a) 摩擦力產(chǎn)生的 必要條件 為 有相互作用彈力及相對運動趨勢或相對運動 ； b) 摩擦力為 接觸力 ； c) 判斷 相對運動或相對運動趨勢 是否存在：通過 假設法 判斷； d) 滑動摩擦力 Nf ， 為滑動摩擦系數(shù)； e) 靜摩擦力 滿足 sms ff 0 ，其中 Nfsm 0 為最大靜摩擦力， 0 為靜摩擦系數(shù)。實際上 0 ，但一般認為 0 。 2. 力的合成與分解 a) 力的合成與分解遵循 平行四邊形法則 。 b) 力的分解可根據(jù)其 作用效果 分解為兩個或多個 效果單一 的力。 3. 共點力的平衡 a) 平衡條件： 合力為零 ，即 0i iF ，分量形式為 0i ixF ， 0i iyF 。 b) 共點力性質：當 物體受三個 不平行 的力作用平衡時， 三力必為共點力 。 4. 非共點力的平衡 a) 平衡的一般條件： 合力為零且合力矩為零 ，即 0i iF ， 0i iM 。 b) 力矩：表征作用力使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向，由徑向矢量與作用力叉積得到。 5. 液體壓強與浮力 a) 液體靜壓：與 液體密度和深度成正比 ，即 ghP ， 為液體密度， h為深度。 b) 浮力：浸在靜止液體中物體受到液體對它各個方向總壓力的 合力 ，其大小就等于被物體所 排開的液體受的重力 。 gVF ，式中 V 為物體浸沒在液體部分的體積， 為液體密度。浮力的方向是 豎直向上 的，浮力的大小 與物體的重量無關 ， 與物體在液體中 深度無關 。 6. 液體表面張力 液體與其他相物體 交界面 處會產(chǎn)生表面張力， LF ， 為表面張力系數(shù)， L為交界面長度。表面張力 垂直于交界面 。 三、 動力學 1. 牛頓運動定律 a) 牛頓第一定律： 慣性定律 ，不受力物體保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。 b) 牛頓第二定律：物理的 加速度與合外力成正比 ， 跟質量成反比 ， 即： amF 。 c) 牛頓第三定律：作用力與反作用力 等大反向 ，在同一條直線上。 三大定律中 第二定律 使用最多，也最為重要。第二定律同樣 適用于質點組 。質點組某一時刻各質點 受外力 x 方向分量為 xF1 ， xF2 ， ， kxF ，加速度 x 方向分量為 xa1 ， xa2 ， ，kxa ，則： 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 9 頁 kxxxx FFFF 21 為質點系 x 方向上所受的 合外力 ，進而有： kxkxxx amamamF 2211 上式為 質點組的牛頓第二定律 。 2. 質心和質心參考系 對 n個質點組成的系統(tǒng)， 1m ， 2m ， ， nm 和 1r ， 2r ， ， nr 分別為質量和位置矢量，系統(tǒng) 質心的位置矢量 為： mrmmmmrmrmrmrni iinnnc 1212211，其中 ni imm 1。 質心位置矢量在 直角坐標系 三個方向上的 投影分量 為： mxmxni iic 1， mymyni iic 1， mzmzni iic 1 對質心的牛頓第二定律 為 camF ， F 為 系統(tǒng)所受合外力 ， ca 為 質心加速度 。 質心運動定律 ：不管物體的質量如何分布，也不管外力作用點在物體的哪個位置，質心的運動總等效于物體的質量全部集中在此點、外力作用于此點的運動。 以 質心作參照 的參考系為質心系，多質點系統(tǒng) 不受外力 時 質心運動狀態(tài)不變 ，結合質心定義可確定各質點運動狀態(tài)。 3. 非慣性系 牛頓第一定律不成立 的參考系叫非慣性參考系，簡稱 非慣性系 ，如加速運動的小車、考慮自轉時地球等。選取非慣性系作為參考系時由于牛頓第一定律不成立，牛頓運動定律的形式將發(fā)生改變。 4. 慣性力 非慣性系相對慣性系有加速度，因此相對慣性系沒有加速度的物體對非慣性系有加速度，因此在非慣性系看來認為物體受到了一種 方向與非慣性系相對于慣性系的加速度相反 的力，這種力叫慣性力： amF 慣 ， m 為物體質量， a 為非慣性系相對于慣性系的加速度。 慣性力 不是真實存在 的，因此 沒有反 作用力 。引入慣性力后非慣性系中動力學方程與慣性系 形式相同 。 5. 轉動慣量 對饒定軸轉動的剛體，描述其轉動運動的運動學量為剛體對轉軸的 角位移 、剛體旋轉的 角速度 和剛體旋轉的 角加速度 ，動力學量為剛體受外力對轉軸的 合外力矩 M ，剛體對轉軸的 轉動慣量 I 。 剛體對軸的轉動慣量定義為 12i iirmI。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 10 頁 計算轉動慣量有三個定理，即平行軸定理、垂直軸定理和伸展定則。 a) 平行軸定理 ：剛體對 過質心的軸 的轉動慣量為 I ，則剛體對 與該軸平行 且相距為 d的軸的轉動慣量 2mdII 。 b) 垂直軸定理 ：設三維直角坐標系 xy 平面內(nèi)有一 平板狀剛體 ，對 x 軸和 y 軸的轉動慣量分別為 xI 和 yI ，則剛體對 z 軸的轉動慣量 yxz III 。 c) 伸展定則 ：剛體上任一點 平行的沿一直軸 移動一段距離，剛體 對該軸 的轉動慣量不變。 6. 剛體轉動的牛頓運動定律 類比質點牛頓運動定律， 剛體轉動運動定律 為 IM 。由此可總結 轉動與平動 各物理量之間的 對應關系 ： 平動 轉動 位移 s 角位移 速度 v 角速度 加速度 a 角加速度 力 F 力矩 M 質量 m 轉動慣量 I 根據(jù)上面的對應關系可直接將各平動定律的形式 改寫 為轉動定律。 四、 能量、動量和角動量 1. 機械能守恒定律 （ 1） 勢能 高中 涉及到的勢能可大致分為兩類，一類是由引力場（電場）產(chǎn)生的 引力勢能（電勢能） ，另一類是由彈簧或其他彈性體彈性形變產(chǎn)生的 彈性勢能 。 以引力勢能為例，取無窮遠為勢能零點，則其形式為 rGMmEp ，其中 r 為兩物體之間的距離。 以彈簧彈性勢能為例，進度系數(shù)為 k 的彈簧儲存的彈性勢能為 221kxEp ，其中 x 為彈簧的伸長量（壓縮量）。 （ 2） 機械能守恒定律 系統(tǒng)內(nèi) 只有保守力做功 ，其他非保守內(nèi)力和外力做功之和為零，系統(tǒng)的機械能守恒。 2. 功能原理 （ 1） 矢量標積 矢量是既有大小又有方向且加減運算遵循平行四邊形定則的一種量，矢量的大小也稱為清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 11 頁 絕對值。 設矢量 A 、 B 的夾角為 ，其標積用 BA 表示，定義為 cosAB ，即 cosABBA 。 “標 ”指結果為一般標量， “積 ”指 BA 是一種乘積運算。這種乘法用其間的一個點表示，故又稱為點乘或點積。標積的正負與 的取值有關。 （ 2） 變力的功 一般情況下，力是變力，而物體的運動軌跡可能是曲線。這時，必須將恒力做功公式的結果進行推廣。 設質點從 A 點沿曲線運動到 B 點，現(xiàn)在來確定變力 F 在這段過程中所做的功。為此，將此過程分成許多小段，取其中任意一小段 is ，當 is 很小時， is 可看作直線，其方向沿曲線的切線，而在這小段上力可視為恒力，以 iF 表示，設力 iF 與 is 夾角為 i ，則兩者的標積即為 iF 在 is 段對質點所做的功，稱為元功，記為 iiiiii sFsFW c o s 。變力 F 從 A 到 B 對質點做的功，就等于所有元功的代數(shù)和，即 BA iiBA i sFWW。 變力在曲線運動中的功也可由 F -s 圖像和 s 軸包圍的 “面積 ”求解。 在一些特定情況下，例如：已知恒定功率和時間可用 PtW 求解；若知物體的動能變化，可用動能定理求解；若作用力的大小隨位移作線性變化，可用平均力作為恒力按功的定義求解。 （ 3） 功能原理 系統(tǒng) 機械能的變化量 等于 外力 對系統(tǒng)所做 總功 與系統(tǒng)內(nèi) 耗散力做功 的代數(shù)和。耗散力指的是 非保守力 ，即 做功與路徑有關 的力。目前接觸到的力除重力、庫侖 力外其他力均為非保守力。 這里要注意， 彈簧彈力做功可用初末位置的彈性勢能變化來求解 ，乍看起來彈簧做功做功只與初末位置有關，與路徑無關，但實際上彈簧系統(tǒng)是一個 一維系統(tǒng) ，一維系統(tǒng)的運動路徑只能是一條直線，且由初末位置唯一確定，因此 彈簧彈力不是保守力 ，但仍可用計算保守力做功的方法計算彈簧彈力做功。 3. 動能定理 系統(tǒng) 所有外力 與 所有內(nèi)力 對系統(tǒng)做功的代數(shù)和等于系統(tǒng) 總動能的變化量 ，即： 12 kk EEWW 內(nèi)外 需要注意，考慮質點系時要考慮內(nèi)力做功。 類比質點運動動能，剛體 轉動動能 為 221 IEk ，對轉動剛體動能定理仍然成立，即 202 2121 IIW 動能定理常用于計算 變加速運動速度 。 4. 動量守恒 （ 1） 沖量 沖量是表示力對時間的累積效應量。一般情況下，將質點從 1t 時刻到 2t 的一段運動時間清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 12 頁 分割成一系列用 i 標記的無限小時間間隔 it ，質點在 it 時間內(nèi)受力為 iF ，則將 iii tFII 稱為力 F 在該段時間內(nèi)的沖量。其中 iii tFI ，稱為元沖量。若力 F 在時間 t 內(nèi)是恒定的，則沖量 tFI 。力的沖量方向與該力方向一致。 若力 F 是變化的，則先求元沖量，再求和?？梢宰C明，分力對質點的沖量之和等于合力對質點的沖量。 沖量是矢量，恒力情況下，沖量的方向與力的方向相同，變力的沖量方向由其作用效果來判斷。沖量是過程量，說沖量時，要指明是哪個力在哪個過程或哪段時間內(nèi)的沖量。 （ 2） 動量定理 系統(tǒng)所有 外力 對系統(tǒng)的沖量和等于系統(tǒng)總動量的變化量，即： 0)( pptF 外 （ 3） 動量守恒定律 由動量定理可知，如果 0外F ，則 0pp 。因此，系統(tǒng) 不受外力或者受外力之和為零 ，系統(tǒng)的總動量保持不變，即質點系的總動量是守恒的。 若系統(tǒng)在 某一方向上 不受外力（或外力分量之和為零），則系統(tǒng)在該方向上的動量守恒。 在處理碰撞或爆炸問題時，系統(tǒng) 內(nèi)力作用遠強于外力作用 ，可近似認為無外力作用于系統(tǒng)， 動量守恒仍然成立 。 5. 碰撞 問題 碰撞過程滿足動量守恒。碰撞前后物體速度在同一直線為 正碰 ，否則為 斜碰 。碰撞中無機械能損失為 彈性碰撞 ，有機械能損失為 非彈性碰撞 。當碰撞后兩物體速度相同時，為 完全非彈性碰撞 。 描述碰撞非彈性程度的量為 恢復系數(shù) ，定義為碰撞后分離速度與碰撞前接近速度的比 值，即1212 vv vve 。對彈性碰撞， 1e ，完全非彈性碰撞 0e ，一般非彈性碰撞 10 e 。對斜碰，取 沿碰撞接觸面法線方向 的相對速度為接近速度和分離速度即可。 對彈性碰撞，使用 1e 及動量守恒計算碰撞后速度，比使用機械能守恒方便得多。 6. 角動量 守恒定律 （ 1） 角動量 角動量定義為動量對轉軸（支點）的矩，也稱為 動量矩 ，即 sinm v rvmrL 。 角動量是剛體轉動中的物理量，類比質點運動動量的定義，質量對應轉動慣量，速度對應角速度，有 IL 。 類比動量定理，角動量定理的形式為 )( ItM 。 對 剛體 ，繞定軸 轉動慣量 I 為常數(shù) ，角動量定理為 ItM 。 對 非剛體 ， 轉動慣量 I 不為常數(shù) ，角動量定理為 1122 IItM 。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 13 頁 （ 2） 角動量守恒定律 由角動量定理可知，當物體所受 合外力矩為零 時，角動量守恒。合外力矩為零的一種特殊情況是物體受到 有心力場 作用，如行星繞恒星轉動。當然，物體所受合外力為零時角動量必然守恒。 五、 天體運動 1. 萬有引力 質量為 M 的 球對稱分布 球體，半徑為 R ，則與另一個質量為 m 的質點 B 間的萬有引力為 Rrr mrMGRrrMmGF22)( ，其中 )(rM 表示半徑 r 內(nèi)的部分球的質量。 如果 A 、 B 都是質量球對稱分布的球形物體， 相距很遠 ，則萬有引力為將其質量集中于球心處的 質點 間的萬有引力，即2rMmGF 兩個相距為 r 的質點 M 、 m ，其間 引力勢能 為 rGMmEp 。若 M 為質量均勻半徑為 R 的球殼，則引力勢能RrRG M mRrrG M mE p 。 2. 開普勒行星運動定律 開普勒第一定律 ：行星圍繞太陽的運動 軌道為橢圓 ，太陽在橢圓的一個 焦點 上。 開普勒第二定律 ：行星與太陽的 連線 在相等的時間內(nèi) 掃過相等的面積 。 開普勒第三定律 ：各行星橢圓軌道半長軸 a 的三次方與軌道運動周期 T 的平方之比值為相同的常量，即 CTa 23 其中，開普勒第二定律與行星運動中角動量守恒等價。 3. 宇宙速度與軌道能量 （ 1） 第一宇宙速度 第一宇宙速度是使物體 繞地球公轉 的最小速度，又稱 環(huán)繞速度 ，即萬有引力恰好提供物體公轉所需的向心力，得 RmvRMmG 22 ，解得 skm9.7 gRRGMv。 （ 2） 第二宇宙速度 第二宇宙速度是使物體 脫離地球引力 的最小速度，又稱 脫離速度 。物體恰好脫離地球引力 即 物 體 到 達 無 窮 遠 處 時 速 度 為 零 ， 得 021 2 RMmGmv ， 解 得skm2.1122 gRRGMv 。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 14 頁 （ 3） 第三宇宙速度 第三宇宙速度是使物體 脫離太陽系 的最小速度，又稱 逃逸速度 。物體脫離太陽系的過程分為兩步，第一步脫離地球引力，第二步脫離太陽引力。設脫離地球引力后相對太陽速度為xv ，類似第二宇宙速度的求法，脫離太陽引力需滿足 021 2 日地太陽R mMGmv x ，解得skm2.422 日地太陽RGMv x 。地球繞太陽公轉速度為 skm8.29 ，由伽利略速度變化公式，物體相對地球速度 skm4.12skm)8.292.42( xv 。在地球參考系中由機械能守恒得RMmGmvvm x 22 2121 ，解得 skm7.162 2222 vvRGMvv xx （ 4） 軌道能量與軌道形狀 將行星繞太陽運動的 機械能 記為 E ， E 與三種軌道的對應關系為： 雙曲線軌道拋物線軌道橢圓軌道圓00/0EEE 六、 經(jīng)典方法歸納 1. 微元法 微元法本質上是 從部分 出發(fā) 求解整體 的思維方式。即將復雜問題分解為 無限小 的 “微元體” 或 “元過程” ，在這樣的“微元體”或“元過程”上可使用較簡單的物理規(guī)律，而每一“微元體”或“元過程”上 遵從相同的物理規(guī)律 ，通過一定的數(shù)學或物理方法將“微元體”或“元過程” 疊加合成 為待求解問題的解。 由于 分解的微元無限小 ，因而在“微元體”或“元過程”中 變化的量可以視為常數(shù) ，例如勻加速直線運動中的“元過程”可視為勻速直線運動。 2. 等效法 若某物理過程中 一些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同 ，則前一些因素與后一些因素是 等效的 ，可以 互相代替并不影響最后結果 ，這種方法就是等效法。等效思維的實質是在效果相同的情況下，將 較為復雜的實際問題 變換為 簡單的熟悉問題 。 3. 整體法和隔離法 在研究過程中選取合適的研究對象十分重要，當選取所求力的物體不能作出解答時，應選取與它相互作用的物體為對象 ，即 轉移對 象，或把它 與周圍的物體當做一個整體 來考慮，即考慮隔離法或整體法去進行分析。 4. 幾何法 有些平衡問題中采用正交分解法求解，數(shù)學運算過于復雜，常常帶來不便，如能利用一些幾何知識，則能使運算簡便。常用的數(shù)學知識有 三角形相似 、 正弦定理 等。 5. 虛功原理 假設平衡物體偏離平衡位置移動 無限小位移 ，該過程中物體所受作用力對其做功，虛功清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 15 頁 原理得到的結論是 外力做功代數(shù)和為零 ，即 0i ii sF。 6. 摩擦角 設靜摩擦力因數(shù)為 s ，則摩擦角定義為 s arctan 。 摩擦角 幾何意義 ：最大靜摩擦力 smf 與支持力 N 的合力 mR 與接觸面法線間的夾角。 全反力 ：物體受到的摩擦力 f 與支持力 N 的合力 R 叫 支持面對物體 的全反力。當 R 與法線夾角 時，靜摩擦力不超過最大靜摩擦力。因此在 的范圍內(nèi)斜向下推物體，無論力多大物體都不會滑動，這就是 “自鎖現(xiàn)象” 。 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 16 頁 例題選講 例 1. 炮彈從具有傾角為 的平斜頂?shù)难诒嗡孪蛲獍l(fā)射，炮位與斜頂?shù)捻旤c A 相距為 d，炮彈發(fā)射的初速度為 0v ，求炮彈能發(fā)射的最遠距離。 解： 以炮位為坐標原點，平行和垂直于斜頂分別為 x 和 y 軸，炮彈運動的加速度cosxag sinyag 。在此坐標系中，斜頂?shù)?y 坐標 siny h d 。 若要 炮彈射程最遠，則炮彈軌道要與斜頂相切，應滿足 220 s in ( )s in2 c o svhd g ，即 220 s in ( ) s in 2v g d 若 20 sin 2v gd ，則軌道不可能與斜頂相切，最大射程只需取 4 ，最大射程20max vL g。 若 20 sinv gd ，則軌道要與斜頂相切，應取 10si n 2si n gd v 。 （ i） 若 4 ，即 2020 sin 22vv gd ，此時最大射程只需應取 4 ，最大射程20max vL g。 （ ii） 若 4 ，即 2020 sin 22vv gd ，此時最大射程需使炮彈軌道與斜頂相切，即應取 10sin 2sin gd v ，此時最大射程為 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 17 頁 22 100m a x 0si n 2si n 2 si n 2( si n )gdvvL g g v 簡析： 本題需根據(jù)炮彈軌道特性建立合適的坐標系，使計算化簡。若建立水平豎直坐標系則本題計算繁瑣求解困難。 例 2. 兩個質量分布均勻的球，半徑為 r ，重為 P ，置于兩端開口的圓筒內(nèi)，圓筒半徑為 R （ rRr 2 ） ， 并豎直放在水平面上（如圖 1）。設所有接觸面均光滑，為使圓筒不致于傾倒，圓筒的最小重量 Q 為多少 ？ 如果換成有底的圓筒，情況又如何？ 解： 球 2Q 受力如圖 2，由共點力平衡條件得 22 )22()2(22c o t rRr rRPPN 球 1Q 受到向右的支持力 NN ，兩力構成力偶， 對圓筒 有 22 )22()2( rRrNQR 可得 PR rRQ )(2 若 換成 有底 的筒 ，則不會翻。 簡析 ： 本題受力分析中使用到了力偶的概念。 等大、反向不在一直線上的兩個力 構成力偶 ，力偶矩為力與力偶臂（兩平行力之間的距離）的乘積，因而 力偶矩與轉軸的具體位置無關 。 圖 1 圖 2 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 18 頁 例 3. 如圖半徑為 R 的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi)。小球 A、 B 質量分別為 m、 m（ 為待定系數(shù)）。 A 球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點的 B 球相撞，碰撞后 A、 B 球能達到的最大高度均為，碰撞中無機械能損失。重力加速度為 g。試求： （ 1）待定系數(shù) ； （ 2）第一次碰撞剛結束時小球 A、 B 各自的速度和 B 球對軌道的壓力； 解 ： （ 1）碰撞后兩球能上升的最大高度對應的重力勢能分別等于兩球的總能量，由于碰撞中無能量損失，由機械能守恒定律得 44m g R m g Rm g R ，解得 3。 （ 2）設 A、 B 第一次碰撞后的速度分別為 v1、 v2，取方向水平向右為正，對 A、 B 兩球組成的系統(tǒng)，有 22121122m g R m v m v 122m gR mv mv 解得1 12v gR，方向水平向左；2 12v gR，方向水平向右。 設第一次碰撞剛結束時軌道對 B 球的支持力為 N，方向豎直向上為正，則 22vN m g m R B 球對軌道的壓力 4.5N N mg 方向豎直向下。 簡析： 本題是能量和動量守恒與圓周運動的結合。把握能量守恒和動量守恒即可求解本題。 例 4. 如圖所示， B是質量為 mB、半徑為 R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。 A是質量為 mA的細長直桿，被固定的光滑套管 C約束在豎直方向， A可自由上下運動。碗和桿的質量關系為： mB 2mA。初始時， A桿被握住，使其下端正好與碗的半球面的上邊緣接觸（如圖）。然后從靜止開始釋放 A， A、 B便開始運動。設 A桿的位置用 表示， 為碗面的球心 O至 A桿下端與球面接觸點的連線方向和豎直方向之間的夾角。求 A與 B速度的大小（表示成 的函數(shù)） 解： 14R清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 19 頁 解法一： 由題設條件知，若從地面參考系觀測，則任何時刻， A沿豎直方向運動，設其速度為 vA，B沿水平方向運動，設其速度為 vB。若以 B為參考系，從 B觀測，則 A桿保持在豎直方向，它與碗的接觸點在碗面內(nèi)作半徑為 R的圓周運動，速度的方向與圓周相切，設其速度為 VA。桿相對地面的速度是桿相對碗的速度與碗相對地面的速度的合速度，速度合成的矢量圖如圖中的平行四邊形所示。由圖得 AA vV sin （ 1） BA vV cos （ 2） 因而 cotAB vv （ 3） 又由能量守恒 22 2121c o s BBAAA vmvmgRm （ 4） 由（ 3）（ 4）兩式及 mB 2mA得 2c o s1 c o s2s in gRv A （ 5） 2c o s1 c o s2c o s gRv B （ 6） 解法二： 從地面上看， A始終緊貼 B運動，因而 A與 B在圓弧面的法線方向上沒有相對運動，即 sincos BA vv ，再由能量守恒 22 2121c o s BBAAA vmvmgRm 及 mB 2mA得 2c o s1 c o s2s in gRv A 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 20 頁 2c o s1 c o s2c o s gRv B 簡析： 本題關鍵在于分析 A、 B兩物體的運動狀態(tài)，在確定其運動關系時，可以使用速度合成及伽利略速度變化關系進行分析，也可通過運動效果，即 A、 B不分離來進行分析。最后使用動能定理確定速度。 例 5 如圖所示的系統(tǒng)中滑輪與細繩的質量可忽略不計，細繩不可伸長，且與滑輪間無摩擦，三個物體的質量分別為 m1、 m2、 m3,它們的加速度方向按圖示設定。試求這三個加速度量 a1、 a2和 a3。 解： 系統(tǒng)中各段繩子的張力如圖 ， 三個物體的動力學方程為 ： 1 1 1m g T m a （ 1） 2 2 22T m g T m a （ 2） 3 3 32T m g m a （ 3） 確定三物體的加速度的關聯(lián)關系： 1 先假定 2m 不動，當 1m 下降 1h 時， 3m 將上升 12h 2 再假定 1m 不動，當 2m 下降 2h 時， 3m 將上升 22h 綜合以上兩種情況，則實際上 1m 下降 1h ， 2m 下降 2h 時， 3m 將上升 123 22hhh 于是得到 123 22aaa （ 4） 解方程組得： 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 21 頁 1 2 1 3 2 311 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 1 2 1 3 2 321 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 1 2 1 3 2 331 2 1 3 2 344 m m m m m magm m m m m m 簡析： 本題主要難點在確定復雜滑輪系統(tǒng)的位移關系，定滑輪兩端物體位移直接對應，動滑輪移動距離等于繩子伸縮距離的一半。把握好這一關系則本題可輕易求解。 例 6. 嫦娥 1 號奔月衛(wèi)星與長征 3 號火箭分離后，進入繞地運行的橢圓軌道，近地點離地面高 22.05 10nH km ，遠地點離地面高45.09 30 10fH k m，周期約為 16 小時，稱為 16 小時軌道（如圖中曲線 1 所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來越遠，星載發(fā)動機先在遠地點點火，使衛(wèi)星進入新軌道（如圖中曲線 2 所示），以抬高近地點。后來又連續(xù)三次在抬高以后的近地點點火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠地點，相繼進入 24 小時軌道、 48 小時軌道和地月轉移軌道（分別如圖中曲線 3、 4、 5 所示）。已知衛(wèi)星質量 32.350 10m kg，地球半徑 36.378 10R km，地面重力加速度 29.81 /g m s ，月球半徑 31.738 10r km。 1、試計算 16 小時軌道的半長軸 a 和半短軸 b 的長度，以及橢圓偏心率 e。 2、在 16 小時軌道的遠地點點火時，假設衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點火時間很短，可以認為橢圓軌道長軸方向不變。設推力大小 F=490N，要把近地點抬高到 600km，問點火時間應持續(xù)多長？ 3、試根據(jù)題給數(shù)據(jù)計算衛(wèi)星在 16 小時軌道的實際運行周期。 4、衛(wèi)星最后進入繞月圓形軌道，距月面高度 Hm約為 200km，周期 Tm=127 分鐘，試據(jù)此估算月球質量與地球質量之比值。 解： 1、 橢圓半長軸 a 等于近地點和遠地點之間距離的一半，亦即近地點與遠地點矢徑長度（皆指衛(wèi)星到地心的距離） nr 與 fr 的算術平均值，即有 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 22 頁 n f n f n f1 1 12 2 2a r r H R H R H H R (1) 代入數(shù)據(jù)得 43.1946 10a km (2) 橢圓半短軸 b 等于近地點與遠地點矢徑長度的幾何平均值，即有 nfb rr (3) 代入數(shù)據(jù)得 41.942 10 kmb (4) 橢圓的偏心率 為 a bae22 (5) 代入數(shù)據(jù)即得 0.7941e (6) 2、 當衛(wèi)星在 16 小時軌道上運行時，以 nv 和 fv 分別表示它在近地點和遠地點的速度，根據(jù)能量守恒，衛(wèi)星在近地點和遠地點能量相等，有 22nfnf1122G M m G M mmmrr vv (7) 式中 M 是地球質量， G 是萬有引力常量 。 因衛(wèi)星在近地點和遠地點的速度都與衛(wèi)星到地心的連線垂直，根據(jù) 角動量守恒 ，有 n n f fm r m rvv (8) 注意到 有 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 第 23 頁 gRGM2 (9) 由 (7)、 (8)、 (9)式可得 fnn f n2r g Rr r r v (10