清北學堂講義 高中物理競賽解題方法 14近似法

- 1 - 高中奧林匹克物理競賽解題方法   十四、近似法  方法簡介   近似法是在觀察物理現(xiàn)象、進行物理實驗、建立物理模型、推導物理規(guī)律和求解物理問題時，為了分析認識所研究問題的本質(zhì)屬性，往往突出實際問題的主要方面，忽略某些次要因素，進行近似處理 .在求解物理問題時，采用近似處理的手段簡化求解過程的方法叫近似法 .近似法是研究物理問題的基本思想方法之一，具有廣泛的應用 .善于對實際問題進行合理的近似處理，是從事創(chuàng)造性研究的重要能力之一 .縱觀近幾年的物理競賽試題和高考試題，越來越多地注重這種能力的考查 . 賽題精講   例 1：一只 狐貍以不變的速度 1 沿著直線 AB 逃跑，一只獵犬  以不變的速率 2 追擊，其運動方向始終對準狐貍 .某時刻狐貍在 F 處，  獵犬在 D 處， FD AB，且 FD=L，如圖 14 1 所示，求獵犬的加速  度的大小 .  解析 ：獵犬的運動方向始終對準狐貍且速度大小不變，  故獵犬做勻速率曲線運動，根據(jù)向心加速度 rra ,22 為獵  犬所在處的曲率半徑，因為 r 不斷變化，故獵犬的加速度  的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬 在 D 處的加  速度大小，由于 2 大小不變，如果求出 D 點的曲率半徑，  此時獵犬的加速度大小也就求得了 .  獵犬做勻速率曲線運動，其加速度的大小和方向都在不斷改變 .在所求時刻開始的一段很短的時間 t 內(nèi)，獵犬運動的軌跡可近似看做是一段圓弧，設其半徑為 R，則加速度   a R22   其方向與速度方向垂直，如圖 14 1 甲所示 .在 t 時間內(nèi)，設狐貍與獵犬分別  到達DF 與 ，獵犬的速度方向轉過的角度為 2 t /R  而狐貍跑過的距離是： 1 t L       因而 2 t /R 1 t /L， R=L 2 / 1  圖 14 1 圖 14 2 甲  清北學堂-高中學業(yè)規(guī)劃專家 清北學堂   - 2 -  所以獵犬的加速度大小為 a R22 = 1 2 /L  例 2  如圖 14 2 所示，岸高為 h ，人用繩經(jīng)滑輪拉船靠岸，若當繩與水平方向為 時，收繩速率為 ，則該位置船的速率為多大？         解析   要求船在該位置的速率即為瞬時速率，需從該時刻起取一小段時間求它的平均速率，當這一小段時間趨于零時，該平均速率就為所求速率 .  設船在 角位置經(jīng) t 時間向左行駛 x 距離， 滑輪右側的繩長縮短 L ，如圖 14 2甲所示，當繩與水平方向的角度變化很小時， ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有  L = cosx   兩邊同除以 t 得： costxtL ，即收繩速率 cos船   因此船的速率為 cos船  例 3   如圖 14 3 所示，半徑為 R，質(zhì)量為 m 的圓形繩圈，  以角速率 繞中心軸 O 在光滑水平面上勻速轉動時，繩中的張  力為多大？   解析    取繩上一小段來研究，當此段弧長對應的圓心角 很小時，有近似關系式.sin   若取繩圈上很短的一小段繩 AB= L 為研究對象，設這段繩所對應的圓心角為 ，這段繩兩端所受的張力分別為 AT 和 BT （方向見圖 14 3 甲），因為繩圈勻速轉動，無切向加速度，所以 AT 和 BT 的大小相等，均等于 T. AT 和 BT 在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻速圓周運動的向心力，設這段繩子的質(zhì)量為 m ，根據(jù)牛頓第二定律有： RmT 22sin2 ；   因為 L 段很短，它所對應的圓心角 很小所以22sin  將此近似關系和 22 mRmRm   代入上式得繩中的張力為 2 2RmT  圖 14 2 圖 14 2 甲  圖 14 3 圖 14 3 甲  清北學堂-高中學業(yè)規(guī)劃專家 清北學堂   - 3 -  例 4  在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細管軌道  ABC，光滑小球從頂點 A 處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到  端點 C 處所需時間，恰好等于小球從頂點 A 處自靜止出發(fā)自  由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點 C 處所需的時間 .這里假設鉛垂軌  道 AB 與水平軌道 BC 的交接處 B 有極小的圓弧，可確保小  球無碰撞的拐彎，且拐彎時間可忽略不計 .  在此直角三角形范圍內(nèi)可構建一系列如圖 14 4 中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓?。ㄗ饔猛希?，軌道均從 A 點出發(fā)到 C 點終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從 A 點滑行到 C 點所經(jīng)時間的上限與下限之比值 .  解析   直角三角形 AB、 BC、 CA 三邊的長分別記為   1l 、 2l 、 3l ，如圖 14 4 甲所示，小球從 A 到 B 的時間  記為 1T ，再從 B 到 C 的時間為 2T ，而從 A 直接沿斜邊到 C 所經(jīng)歷的時間記為 3T ，由題意知 321 TTT ，可得 1l ： 2l ： 3l =3： 4： 5，   由此能得 1T 與 2T 的關系 .  因為211211 21 TgTlgTl  所以2121 2TTll   因為 1l ： 2l =3： 4，所以  12 32TT  小球在圖 14 4 乙中每 一虛線所示的軌道中，經(jīng)各垂直線段所需時間之和為 11 Tt ，經(jīng)各水平段所需時間之和記為 2t ，則從 A 到 C 所經(jīng)時間總和為 21 tTt ，最短的 2t 對應 t 的下限 mint ，最長的 2t 對應 t 的上限 .maxt   小球在各水平段內(nèi)的運動分別為勻速運動，同一水平段路程放在低處運動速度大，所需時間短，因此，所有水平段均處在最低位置（即與 BC 重合）時 2t 最短，其值即為 2T ，故mint = .35 121 TTT    2t 的上限顯然對應各水平段處在各自可達到的最高位置，實現(xiàn)它的方案是垂直段每下降  清北學堂-高中學業(yè)規(guī)劃專家 清北學堂   - 4 - 小量 1l ，便接一段水平小量 2l ，這兩個小量之間恒有 cot12 ll ，角 即為 ACB，水平段到達斜邊邊界后，再下降一小量并接一相應的水平量，如此繼續(xù)下去，構成如圖所示的微齒形軌道，由于 1l 、 2l 均為小量，小球在其中的運動可處理為勻速率運動，分別所經(jīng)的時間小量 )(1it 與 )(2it 之間有如下關聯(lián)：   c ot)( )( 1212 llit it  于是作為 )(2it 之和的 2t 上限與作為 )(1it 之和的 1T 之比也為 .cot 故 2t 的上限必為1T cot ，即得： .37c o t 111m a x TTTt  這樣 :maxt mint =7:5  例 5  在光滑的水平面上有兩個質(zhì)量可忽略的相同彈簧，  它們的一對端點共同連接著一個光滑的小物體，另外一對端  點 A、 B 固定在水平面上，并恰使兩彈簧均處于自由長度狀  態(tài)且在同一直線上，如圖 14 5 所示 .如果小物體在此平面上  沿著垂直于 A、 B 連線的方向稍稍偏離初始位置，試分析判  斷它是否將做簡諧運動 ？   解析   因為一個物體是否做簡諧運動就是要看它所受的回復力是否是一個線性力，即回復力的大小與位移大小成正經(jīng)，方向相反 .因此分析判斷該題中的小物體是否做簡諧運動，關鍵是求出所受的回復力的表達式（即此題中所受合外力的表達式） .  以 AB 中點為原點，過中點且垂直于 AB 的直線為 x 軸，如圖 14 5 甲所示，取 x 軸正方向為正方向，小物體所受回復力為： sin)(2 0llkFx       其中 k 為彈簧的勁度系數(shù)， 0l 為彈簧的自由長度， l 為彈簧伸長后的長度， 為彈簧伸長后與 AB 直線的夾角 .由幾何知識可得   lxsin                         220 xll                     將、代入式得：   20320221220 0 )211(12)(12 lkxxlxkxxl lkF x  由此可見，小物體受的合外力是一個非線性回復力，因此小物體將不做簡諧運動 .同時本  清北學堂-高中學業(yè)規(guī)劃專家 清北學堂   - 5 - 題表明，平衡位置附近的小振動未必都是簡諧運動 .  例 6  三根長度均為 m2 ，質(zhì)量均勻的直桿，構成一正三角形框架 ABC， C 點懸掛在一光滑水平轉軸上，整個框架可繞轉軸轉動 .桿 AB 是一導軌，一電動玩具松鼠可在導軌上運動，如圖 14 6 所示，現(xiàn)觀察到松鼠正在導軌上運動，而框架卻靜止不動，試論證松鼠的運動是一種什么樣的運動 .  解析   松鼠在 AB 軌道運動，當框架不動時，松鼠受到軌道  給它的水平力 F作用，框架也受到松鼠給它的水平力 F 作用，  設在某一時刻，松鼠離桿 AB 的中點 O 的距離為 x ，如圖  14 6 所示，松鼠在豎直方向對導軌的作用力等于松鼠受到的  重力 mg ， m 為松鼠的質(zhì)量 .以 C 點為軸，要使框架平衡，必須滿足  條件 FLFLm g x 2360si n ，松鼠對 AB 桿的水平力為  )3/(2 LmgxF ，式中 L 為桿的長度 .所以對松鼠而言，在其運動過程中，沿豎直方向受到的合力為 零，在水平方向受到桿 AB 的作用力為 F，由牛頓第三定律可知 F =F，即kxLmgxF )3/(2   其中Lmk 32  即松鼠在水平方向受到的作用力 F作用下的運動應是以 O 點為平衡位置的簡諧運動，其振動的周期為 .64.22/322 sgLkmT  當松鼠運動到桿 AB 的兩端時，它應反向運動，按簡諧運動規(guī)律，速度必須為零，所以松鼠做簡諧運動的振幅小于或等于 L/2=1m.  由以上論證可知，當框架保持靜止時，松鼠在導軌 AB 上的運動是以 AB 的中點 O 為平衡位置，振幅不大于 1m、周期為 2.64s 的簡諧運動 .  例 7  在一個橫截面面積為 S 的密閉容器中，有一個質(zhì)量  為 m 的活塞把容器中的氣體分成兩部分 .活塞可在容器中無摩  擦地滑動，活塞兩邊氣體的溫度相同，壓強都是 p ，體積分別  是 V1 和 V2，如圖 14 7 所示 .現(xiàn)用某種方法使活塞稍微偏離平  衡位置，然后放開，活塞將在兩邊氣體壓力的作用下來回運動 . 容器保持靜止，整個系統(tǒng)可看做是恒溫的 .    （ 1）求活塞運動的周期，將結果用 p 、 V1、 V2、 m 和 S 表示；     （ 2）求氣體溫度 0t 時的周期 與氣體溫度 =30時的周期 之比值 .  解析   （ 1）活塞處于平衡時的位置 O 為坐標原點 .0x 當活塞運動到右邊距 O 點 x 處時，左邊氣體的體積由 V1 變?yōu)?V1+Sx ，右邊氣體的體積由 V2 變?yōu)?V2 Sx ，設此時兩邊氣  清北學堂-高中學業(yè)規(guī)劃專家 清北學堂   - 6 - 體的壓強分別為 1p 和 2p ，因系統(tǒng)的溫度恒定不變，根據(jù)玻意耳定律有：   222111 )()( pVSxVppVSxVp   而以上兩式解出：)1(2,)1(22221111VSxVpVpVSxVpVp                 按題意，活塞只稍許離開平衡位置，故上式可近似為： ),1(11 xVSpp  )1( 22 xVSpp ，于是活塞受的合力為 .)11()( 21221 xVVpSSpp 所以活塞的運動方程是 xVV VVpSxVVpSma 21 212212 )11(  其中 a 是加速度，由此說明活塞做簡諧運動，周期為)(2 212 21 VVpS VmV （ 2）設溫度為 t 時，周期為 ，溫度為 t 時，周期為 .由于 TpTp ，得出  TTTTVVpSVmVVVSpVmV )(2)(22122121221 所以TT，將數(shù)值代入得 95.0:  例 8  如圖 14 8 所示，在邊長為 a 的正三角形三個  頂點 A、 B、 C 處分別固定電量為 Q 的正點電荷，在其中  三條中線的交點 O 上放置一個質(zhì)量為 m，電量為 q 的帶正  電質(zhì)點， O 點顯然為帶電質(zhì)點的平衡位置，設該質(zhì)點沿某  一中線稍稍偏離平衡位置，試證明它將做簡諧運動，并求  其振動周期 . 解析   要想證明帶電質(zhì)點是否做簡諧運動，則需證明  該帶電質(zhì)點沿某一中線稍稍偏離平衡位置時，所受的回復  力是否與它的位移大小成正比，方向相反 .因此該題的關鍵  是求出它所受回復力的表達式，在此題也就是合外力的表  達式 .   清北學堂-高中學業(yè)規(guī)劃專家 清北學堂   - 7 - 以 O 為坐標原點，以 AOD 中線為坐標 x 軸，如圖  14 8 甲所示，設帶電質(zhì)點在該軸上偏移 x ， A 處 Q 對  其作用力為 1F ， B、 C 處兩個 Q 對其作用的合力為 2F ，取 x 軸方向為正方向 . 有2221 )1()( rxrk Q qxrk Q qF  因為 aOCOBOAr 33   rxrx 21)1( 2 當 很小時可忽略高次項所以 )361(3 21 axaQqkF  232222222)()2)(2)()2()()2(2xhaxhk Q qxhaxhxhak Q qF 2322 )24)(2 hxhaxhk Q q   （略去 2x 項）  232 )333)(2 axaxhk Q q  23232 )31()3)(2 xaaxhk Q q  )3231(36 3 xaa xhk Q q  )2 33(36 3 xhxahaQqk   （略去 2x 項）  )2 331(36 3 hxxahaQqk  清北學堂-高中學業(yè)規(guī)劃專家 清北學堂   - 8 - )2 31(3 3 xaaQqk  因此帶電質(zhì)點所受合力為 qxaQkxaaxqaQkFFF x 3221 2 39)2 336(3 由此可知，合外力 xF 與 x 大小成正比，方向相反 . 即該帶電質(zhì)點將做簡諧運動，其振動周期為k Q qamakmT 32322 例 9  欲測電阻 R 的阻值，現(xiàn)有幾個標準電阻、一個電池  和一個未經(jīng)標定的電流計，連成如圖 14 9 所示的電路 .第一次與  電流計并聯(lián)的電阻 r 為 50.00 ，電流計的示度為 3.9 格；第二  次 r 為 100.00 ，電流計的示度為 5.2 格；第三次 r 為 10.00 ，  同時將待測電阻 R 換成一個 20.00k 的標準電阻，結果電流計的  示度為 7.8 格 .已知電流計的示度與所通過的電流成正比，求電阻  R 的阻值 . 解析   在測試中，除待求量 R 外，電源電動勢 E，電源內(nèi)阻 r ，電流計內(nèi)阻 gR 以及電流計每偏轉一格的電流 0I ，均屬未知 .本題數(shù)據(jù) 不足，且電流計讀數(shù)只有兩位有效數(shù)字，故本題需要用近似方法求解 . 設電源電動勢為 E，電流計內(nèi)阻為 gR ，電流計每偏轉一格的電流為 0I ，用歐姆定律對三次測量的結果列式如下：  09.3150505050 IRRRrRRREggggg 02.511 0 01 0 01 0 01 0 0 IRRRrRRREggggg 08.7110102000010 10IRRRrRREggggg 從第三次測量數(shù)據(jù)可知，當用 20k 電阻取代 R，而且 r 阻值減小時電流計偏轉 格數(shù)明顯增大，可推知 R 的阻值明顯大于 20k ，因此電源內(nèi)阻完全可以忽略不計，與 R 相比，電圖 14 9 清北學堂-高中學業(yè)規(guī)劃專家 清北學堂   - 9 - 流計內(nèi)阻 gR 與 r 的并聯(lián)值對干路電流的影響同樣也可以忽略不計，故以上三式可近似為：  09.350 50 IRRE g    02.5100100 IRRE g    08.710 1020000 IRE g                              待測電阻 R=120k  解、三式，可得 gR =50   例 10  如圖 14 10 所示，兩個帶正電的點電荷  A、 B 帶電量均為 Q，固定放在 x 軸上的兩處，離原  點都等于 r .若在原點 O 放另一正點電荷 P，其帶電量  為 q ，質(zhì)量為 m，限制 P 在哪些方向上運動時，它在  原點 O 才是穩(wěn)定的？   解析   設 y 軸與 x 軸的夾角為 ，正電點電荷 P 在原點沿 y 軸方向有微小的位移 s 時，A、 B 兩處的點電荷對 P 的庫侖力分別為 AF 、 BF ，方向如圖 14 10 所示， P 所受的庫侖力在 y 軸上的分量為 co sco s BAy FFF                           根據(jù)庫侖定律和余弦定理得 c o s222 rssr k q QF A        c o s222 rssr k q QF B                               c o s2c o sc o s 22 rssr sr                         c o s2c o sc o s 22 rssr sr                         將、式代入得：          23222322 )c o s2( )c o s()c o s2( )c o s( rssr srk q Qrssr srk q QF y 圖 14 10 清北學堂-高中學業(yè)規(guī)劃專家 清北學堂   - 10 -  因為 s 很小，忽略 2s 得：          )c o s21(c o s)c o s21(c o s23233 rs srrs srrk q QF y  又因為 1cos2, rsrs   所以利用近似計算 xx 231)1( 23 得           )c o s31)(c o s()c o s31)(c o s(3 rssrrssrrk q QF y  忽略 2s 得 )1c o s3( 23 rk q QsF y  當（ 0)1cos3 2 時 yF 具有恢復線性形式，所以在 31cos2 范圍內(nèi)， P 可圍繞原點做微小振動，所以 P 在原點處是穩(wěn)定的 .  例 11  某水池的實際深度為 h ，垂直于水面往下看，  水池底的視深為多少？（設水的折射率為 n ）   解析   如圖 14 11 所示，設 S 為水池底的點光源，  在由 S 點發(fā)出的光線中選取一條垂直于面 MN 的光線，  由 O 點 垂直射出，由于觀察者在 S 正方，所以另一條光  線與光線 SO 成極小的角度從點 S 射向水面點 A，由點 A 遠離法線折射到空氣中，因入射角極小，故折射角也很小，  進入人眼的兩條折射光線的反向延長線交于點 S，該點  即為我們看到水池底光源 S 的像，像點 S到水面的距離 h ，即為視深 .  由幾何關系有 ,/ta n,/ta n hAOihABr 所以 hir /tan/tan ，因為 r 、 i 均很小，則有 iirr si nta n,si nta n ，所以 hhir /sin/sin  又因 irn sinsin  所以視深 nhh /      針對訓練  1活塞把密閉氣缸分成左、右兩個氣室，每室各與 U 形管壓強     計的一臂相連，壓強計的兩臂截面處處相同 .U 形管內(nèi)盛有密度   清北學堂-高中學業(yè)規(guī)劃專家 清北學堂   - 11 -    為 5.7 102kg/m3 的液體 .開始時左、右兩氣室的體積都為     V0=1.210 2m3，氣壓都為 0.40 103Pa，且液體的液面處     在同一高度，如圖 14 12 所示 .現(xiàn)緩緩向左推動活塞，直到液體在     U 形管中的高度差 h=40cm.求此時左、右氣室的體積 V1、 V2.假     定兩氣室的溫度保持不變 .計算時可以不計 U 形管和連接管道中     氣體的體積 .取 g=10m/s2. 2一汽缸的初始體積為 V0，其中盛有 2mol 的空氣和少量的水（水的體積可忽略），其平衡     時氣體的總壓強是 3.0 大氣壓 .經(jīng)過等溫膨脹使其體積加倍，在膨脹過程結束時，其中的     水剛好全部消失，此時的總壓強為 2.0 大氣壓 .若讓其繼續(xù)作等溫膨脹，使其體積再次加     倍，試計算此時：     （ 1）汽缸中氣體的溫度；     （ 2）汽缸中水蒸氣的摩爾數(shù)；     （ 3）汽缸中氣體的總壓強 . （假定空氣和水蒸氣均可當做理想氣體處理）  3 1964 年制成了世界上第一盞用海浪發(fā)電的航標燈，它的氣     室示意圖如圖 14 13 所示 .利用海浪上下起伏力量，空氣     能被吸進來，壓縮后再推入工作室，推動渦輪機帶動發(fā)電     機發(fā)電 .當海水下降時，閥門 S1 關閉， S2 打開，設每次吸     入壓強 為 1.0106Pa、溫度為 7的空氣 0.233m3（空氣可     視為理想氣體），當海上升時， S2 關閉，海水推動活塞     絕熱壓縮空氣，空氣壓強達到 32 105Pa 時，閥門 S1 才     打開 .S1 打開后，活塞繼續(xù)推動空氣，直到氣體全部推入工     作室為止，同時工作室的空氣推動渦輪機工作 .設打開 S1 后，活塞附近的壓強近似保持不     變，活塞的質(zhì)量及活塞筒壁間的摩擦忽略不計 .問海水每次上升時所做的功是多少？已知     空氣從壓強為 1 、體積為 V1 的狀態(tài)絕熱的改變到壓強為 2 、體積為 V2 的狀態(tài)過程中，     近似遵循關系式 1 / 2 =（ V2/V1） 5/3， 1mol 理想氣體溫度升高 1K 時，內(nèi)能改變?yōu)?    3R/2.R=8.31J/(molK) 4如圖 14 14 所示，在 Ox 軸的坐標原點 O 處，     有一固定的電量為 )0( QQ 的點電荷，在 Lx      處，有一固定的、電量為 Q2 的點電荷，今有一     正試探電荷 q 放在 x 軸上 0x 的位置，并設斥力     為正，引力為負 .    （ 1）當 q 的位置限制在 Ox 軸上變化時，求 q 的受力平衡的位置，并討論平衡的穩(wěn)定性；     （ 2）試定性地畫出試探電荷 q 所受的合力 F 與 q 在 Ox 軸上的位置 x 的關系圖線 . 5如圖 14 15 所示，一人站在水面平靜的湖岸邊，觀察到離岸邊有一段距離的水下的一條     魚，此人看到魚的位置與魚在水下的真實位置相比較，應處于什么方位 .  圖 14 13 圖 14 14 清北學堂-高中學業(yè)規(guī)劃專家 清北學堂   - 12 -         6如圖 14 16 所示，天空中有一小鳥 B，距水面高 mh 31 ，其正下方距水面深 mh 42 處     的水中有一條小魚 A.已知水的折射率為 4/3，則小鳥看水中的魚距離自己是多遠？小魚看   &