外文翻譯--碟形彈簧的力 中文版

碟形彈簧的力 由 Minoru HAMADA 和 Yasuyuki SEGUCHI 編寫 本文的研究內(nèi)容 是關(guān)于碟形彈簧的行 為的微分方程進(jìn)行數(shù)值求解，研究利用勢能駐值原理的近似解的精度。 由 H. B.凱勒和 E. L.提出的通過修改迭代程序 的解決方案獲得的。賴斯的迭代過程獲得的近似解本質(zhì)上是 和 Wempner 的近似解 一樣的 ， 但通過減少一個幾何參數(shù) ， 發(fā)現(xiàn) 在設(shè)計公式的基礎(chǔ)上 給出的 更緊湊 的近似解實(shí) 在 踐中是有效的，并且進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，并與理論結(jié)果進(jìn)行了比較。 1、 介紹 本文討論的問題 是 碟形彈簧的軸向載荷下的強(qiáng)度， 如圖 1 所示 。 根據(jù)碟 形彈簧的幾何 因素 在許多方面 ， 負(fù)載偏轉(zhuǎn)特性的分析有所不同；例如，我們發(fā)現(xiàn)的一些 有趣案例 ， 恒載 撓度情況下， 負(fù)彈簧常數(shù) 。 這些特征 的分析 ，然而需要類似的不穩(wěn)定對扁球殼基于有限變形理論，展現(xiàn)“ oilcanning”現(xiàn)象的問題復(fù)雜的解決。因此，我們可以找到一些近似解（ 1）（ 2） ；由J.O. A1men 和 Alaszlo in 1936（ 1）聯(lián)辦得到的近似的解決方案，通常用于盤簧的設(shè)計?，F(xiàn)在它是檢查這些近似解的精度非常重要的方法。 圖 1 碟形彈簧 軸向圖 在這份報告中，我們將介紹用于解決應(yīng)用 E.Reissner 的一般旋 轉(zhuǎn)殼理論（ 3）以淺錐殼獲得的非線性常微分方程的數(shù)值方法。 這個數(shù)值的過程是由 H. B.凱勒沙丘和 E. L.賴斯 （ 4 ）在迭代過程的改進(jìn) 的 ，因?yàn)樵谶@一過程中， 是 由勢能駐值原理的近似解作為迭代增加其有效性的初步估計。 這里所用的基本方程，并通過應(yīng)變能量法的近似解僅包括兩個幾何參數(shù)和使計算的結(jié)果可以被安排在較簡單的形式，因此，盤簧的設(shè)計，可以更容易地進(jìn)行，而在以前的結(jié)果，包括 Wempner 的解決方案 2三緣度量參數(shù)，也就是彈簧的高度，半徑比和彈簧厚度已被使用。 通過迭代多項(xiàng)式，引誘數(shù)值計算被執(zhí)行為各種幾何配置 碟形彈簧并將其結(jié)果與該解決方案由應(yīng)變能量的方法相比。由此，可以確認(rèn)的近似解是根據(jù)本解決方案的設(shè)計公式給出的有足夠精確的實(shí)際用途。 從實(shí)驗(yàn)的角度來看，雖然由 J. O. Almen 和 A.拉斯洛 1 的詳細(xì)結(jié)果是有效的，那么在這個調(diào)查的數(shù)值 解相比 ，其他類型的碟形彈簧的生產(chǎn)和實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn) fllirm 效度的數(shù)值程序和應(yīng)變能量法得到的結(jié)果。 2、 基本方程 革命由 E. Reissner 變分，即假設(shè)小應(yīng)變，無剪切變形而得殼撓度理論，都寫在以下幾種形式： 其中 而且 和是年輕的 rnodulus 和泊松比。其它符號的 定義按照圖 2 是由以下關(guān)系式定義的元素的旋轉(zhuǎn)角度： 圓錐殼方程由上述關(guān)系得到的（見圖 1）。通過設(shè)置 D = ds，其等效于 = 1 和 和此外通過使用以下近似 和限制 非線性項(xiàng)的二階的旋轉(zhuǎn)角度 ，微分方程（ 1）和（ 2）降低到以下形式 ： 碟形彈簧 的載荷是軸向力 P，沒有統(tǒng)一的正常壓力的存在條件， 因此，從方程（ 4） ； 代方程。（ 9）和（ 10）代入式（ 7）和（ 8），我們有下面的關(guān)系式： 使用的無量綱變量 f， g 和 x，這是定義的關(guān)系 方程（ 11）和（ 12）則成為 其中 和 Q 是 由以下表達(dá)式和 參數(shù)定義： 差分方程（ 14）和（ 15）是適用于根據(jù)軸對稱軸向力 P 的任何圓錐殼，但是當(dāng)錐殼薄，淺，盤簧，這些方程可以簡化得多，而忽略了與 tan從假設(shè) H 和分別為小，并使用表達(dá)式 方程（ 14）和（ 15）最終成為如下所示： 符號在方程（ 17）是幾何參數(shù)，這是關(guān)系到初始子午線角和厚度 h，并且方便簡化計算和其結(jié)果的表現(xiàn)形式的程序，而符號 Q 為負(fù)載參數(shù)。 記住盤彈簧的支撐力條件下使用時，我們考慮以下邊界條件： 案例 A：隨意移動這兩個邊緣。 案例 B：內(nèi)邊自由移動和外緣不動產(chǎn)。 （無徑向位移） 方案 C：外緣不動產(chǎn)和內(nèi)緣自由移動。 除了上述 邊界條件 ，被認(rèn)為是邊緣不動的情況下，但在這種情況下，碟形彈簧太硬。在上述方程，我們使用的符號 = b a。 如果方程的解由（ 18）和（ 19）得到，垂直偏轉(zhuǎn)和盤簧的應(yīng)力可以通過下面的關(guān)系來計算： 垂直 撓度 w： 徑向 應(yīng)力的合力 Nr： 周向 應(yīng)力的合力 No: 徑向彎矩的每單位 長度 Mr: 周圍的 每單位長度的彎曲力矩 M: 基本方程（ 18）和（ 19）預(yù)計是一樣準(zhǔn)確， von Karman 方程為板的大撓度的問題，并考慮到 von Karman 方程是足夠精確 的在實(shí)踐中，使用公式得到的結(jié)果。 方程（ 18）和（ 19）預(yù)計也是準(zhǔn)確的。 3、近似解的應(yīng)變能法 獲得解決方案滿足上述關(guān)系，我們首先要解決的問題的碟形彈簧近似用應(yīng)變能的方法，用它作為迭代的初始估計由于更好的近似作為初始估計，更快的迭代收斂到解。 該數(shù)值的過程也被稱為 Keller-Reiss 方法的改進(jìn)，因?yàn)樵谖覀兊姆椒ㄖ械呢?fù)載參數(shù)的任意值的解決方案可以直接獲得，而在 Keller-Reiss 方法不能做。 假設(shè)該碟形彈簧仍圓錐形的外力施加后，我們設(shè)置 替代這個假設(shè)相容方程（ 19） 和整合； g 的近似解，得到如下： 而 和 C1 C2 是積分常數(shù) 。 現(xiàn)在 使用以下 符號： V：總的潛在能量 U：應(yīng)變能 Q：由外力勢能 而忽略了剪切應(yīng)力的影響 ， 獲得以下關(guān)系： 其中 內(nèi)力和彎矩； Nr， No， Mr 和 Mo 可考慮方程未知的 fa 表示。（ 24）至（ 29）。代入式（ 30），我們終于到達(dá)總勢能的表達(dá)式，即， 積分常數(shù) C1， C2 是由邊界條件如下 ： 方案 A 方案 B 方案 C 未知， fa 是由勢能駐值原理 dV / dfa = 0。 然后由應(yīng)變能法最后的結(jié)果是 其中， M 是從下列關(guān)系計算出的常數(shù)： 方案 A 方案 B 方案 C 這應(yīng)該由邊界條件決定。 方程 （ 29）和（ 35）的應(yīng)變能量法的碟形彈簧近似解。 應(yīng)當(dāng)指出的是， G. A. wempner 的解決方案也由應(yīng)變能量法得到但它包括三個幾何參數(shù)，而本文的近似的解決方案包括兩個幾何參數(shù)的簡化表達(dá)式結(jié)果有用。 然而，是容易看到的 是 ， 無論是哪個都是基本相同的 。 4、 數(shù)值 解的 迭代過程 如果未知。 方程 （ 35）確定的半徑比 為 一定值，幾何參數(shù) k 和負(fù)載參數(shù) Q，與以下幾步 迭代 過程進(jìn)行 ， fa 作為初步估計： （ 1） m = 1， m 是正整數(shù)作為迭代次數(shù)。 （ 2） 解 （ 3） 解 （ 4） 計算 fm （ 5） 使 m+1 m 然后跳到（ 2）。 在 上面的過程 ， 就是所謂的松弛參數(shù) 此過程中，如前所述，是 Keller-Reiss 的方法，其中所述迭代，必須從一個小的負(fù)載參數(shù)（對于該解決方案由線性理論和由非線性理論并不那么不同）進(jìn)行，以一個大的負(fù)荷參數(shù)，而上述迭代過程可以給負(fù)載參數(shù)的任意值的解決方案中。 松弛參數(shù)。 是用來加速收斂的解決方案或防止發(fā)散。在一般情況下，提高了算法的收斂性能降低的參數(shù)值， 收斂觀察不能被很好的參數(shù)的值的改善。 表 1 比較的撓度和應(yīng)力為 n =50， 100 和 200（ V=0.3） 方程 （ 39）和（ 40）與給定的邊界條件，可以很容易地用有限差分法求解，為他們的右手邊是在迭代法是一種線性化和每一步的認(rèn)識，應(yīng)用有限差分近似，他們成為線性代數(shù)方程組或三對角方程系統(tǒng)的解決方案，可以容易被消除的方法只有兩次是必需的。 用于此目的的有限差分近似如下： 除了 邊界內(nèi)的網(wǎng)格點(diǎn)， 對于這兩種界限 其中 N：網(wǎng)格數(shù) （ a） 撓度和應(yīng)力 分布曲線 （ b） 撓度和應(yīng)力分布曲線 （ C） 周向彎曲大負(fù)載參數(shù)應(yīng)力分布的例子 圖 3 5、數(shù)值計算 進(jìn)行了數(shù)值計算，對于 n=100 和的情況下，因?yàn)樗亲钪匾摹?一般來說，用 有限差分法求解的精度取決于其網(wǎng)格數(shù) N。表 1 給出了兩個例子，他經(jīng)常計算 n=50， 100， 200顯示，對于 n=100 是足夠精確的實(shí)際用途的計算 。 式中 的松弛參數(shù)的最佳值（ 41）所應(yīng)選擇的試驗(yàn)。當(dāng)它是計算的收斂是不好的條件下觀察到 ， 值立刻進(jìn)行修改。改善這種不良狀況和減少計算時間，注意到一個較小的 值一般應(yīng)足以不收斂條件。因此，計算程序是這樣寫的能夠改變的 值手動操作時非常方便。 在迭代過程收斂的數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)，我們把 該解決方案解的精度，可以任意選擇的值來確定。在這里，我們把 =0.00005 數(shù)值計算是大阪大學(xué) NEAC-2206 數(shù)字化計算機(jī)上執(zhí)行的。 6、數(shù)值結(jié)果 6.1 偏轉(zhuǎn)和應(yīng)力 分布曲線 圖 3 顯示了幾個與無量綱形式的 w/hCOS 和應(yīng)力分布與后綴 r 和 形式的平均徑向和環(huán)向薄膜應(yīng)力變形分布的例子，分別 表示 br 和 b 平均徑向及周向彎曲應(yīng)力 -ES。如圖所示，徑向應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于膜應(yīng)力和彎曲應(yīng)力，因此只有周向應(yīng)力的周向應(yīng)力引起的討論。和彎曲應(yīng)力，沒有例外，內(nèi)邊緣處最大，且抗壓的上表面和下表面上的拉伸。另一方面，膜應(yīng)力的內(nèi)部邊緣的壓縮和拉伸的外邊緣處的撓度較小的地區(qū)除了的情況下， K 為零。對變形較 大的區(qū)域，它們的拉伸的內(nèi)緣和壓縮的外邊緣和一個瞬變點(diǎn)發(fā)生變形的中間值，膜應(yīng)力分布呈現(xiàn)奇異性 圖 3（ a） 。同時對負(fù)荷參數(shù)的彎曲應(yīng)力分布略有奇異 圖大值（ C） 。不管怎樣，總應(yīng)力是薄膜應(yīng)力和彎曲應(yīng)力和最大的上表面或下表面的內(nèi)側(cè)邊。因此，圖 5 顯示了在 6.3 內(nèi)邊緣僅占總應(yīng)力。圖 3 中，由應(yīng)變能量法的近似的解決方案相比得到 數(shù)值解。 圖 4 6.2 荷載 -撓度曲線 碟形彈簧的載荷 -撓度曲線的參數(shù)值和 P=0.25， 0.5 和 0.75，如圖 4 所示在負(fù)載是無量綱形式表達(dá)，在形式 最大撓度。 在每一種情況下，比較了由應(yīng)變能量 法的近似解。一般來說，如圖 4 所示，近似解與 P的較小的值的數(shù)值解，但不為不穩(wěn)定區(qū)域是如此的精確。無論如何，能源解決方案的可能幾乎被稱為碟形彈簧近似。 6.3 應(yīng)力 -撓度曲線 無量綱總應(yīng)力 在上、下表面與偏轉(zhuǎn)內(nèi)緣是顯示在圖 5。 圖 5 中 ，在上表面的曲 線相交的下表面，這意味著最大應(yīng)力出現(xiàn)在上表面為較小的偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)增加曲線，它跳到下表面。 圖 5 中的虛線（ B）是誰的錯誤被發(fā)現(xiàn)在瞬態(tài)點(diǎn)增加能源解決方案。但是，碟形彈簧，通常用于在最大應(yīng)力出現(xiàn)在上表面區(qū)域，因此能源解決方案的應(yīng)力 -撓度曲線可能是良好的近似實(shí)際的目的。相反，記住，由應(yīng)變能法的應(yīng)力分布，結(jié)果并不總是好的合適的值。 6.4 比較一 Almen 一 Laszlo 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 通過 J.O.Almen 和 A.Laszlo 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果被認(rèn)為雖然是出色的。詳細(xì)的設(shè)備和方法在他們的論文中未示出。因此，我們嘗試一些比較這些結(jié)果與我們 的計算結(jié)果如圖 6。從這些數(shù)字，數(shù)值結(jié)果被發(fā)現(xiàn)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，而能源解決方案：也有很好的近似，除了不穩(wěn)定的區(qū)域，此外，應(yīng)該指出的是，他們是 Almen-Laszlo 解決方案的改進(jìn)。 圖 5 7、實(shí)驗(yàn) 重申 了數(shù)值解的有效性和能源解決方案，實(shí)驗(yàn)獨(dú)立進(jìn)行 Almen 和 Laszlo。 圖 6 具體內(nèi)容如下： 1）標(biāo)本 標(biāo)本制成的 SK 鋼在日本工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)。因此， Youngs rnodulus E 和泊松比 ，可以采取如下： E = 21000 公斤 /平方毫米， V = 0.3 它們的幾何配置表 2。 試樣 尺寸表 2（毫米） 2）加載 appratures 測量系統(tǒng) 標(biāo)本，如圖 7 所示，是舉行了兩次加載附件和由奧爾森型測試儀加載之間。最大撓度測量的差動變壓器式位移計量，和負(fù)載細(xì)胞和 X-Y 記錄儀是用于在同一時間獲得連續(xù)的 載荷 -撓度曲線。固定邊界條件，二硫化鉬潤滑脂涂抹的試樣的接觸部分和加載附件被認(rèn)為是有效的。 圖 7 （ 3）實(shí)驗(yàn)結(jié)果 圖 8 圖 9 圖 10 圖 8 圖顯示的各種試件的荷載 -撓度曲線。在這些數(shù)據(jù)中觀察到，加載與卸載曲線不重合的曲線。 這是由于試樣和加載附件，可以通過在接觸部分采用 MoSz-grease 有防止之間的摩擦力。但應(yīng)該指出的是，這是必然的 -一些試樣的表的初始幾何缺陷。除了摩擦效應(yīng)，荷載撓度曲線也是這個初始缺陷十分敏感，尤其是彈簧高度的初始缺陷。實(shí)際上，大多數(shù)的荷載 -撓度曲線實(shí)驗(yàn)表明對于小負(fù)載值的參數(shù)如圖所示的奇異性， 圖 11。在這種情況下，測量高度 C 應(yīng)糾正 圖 11 如下： 圖 11 這種修正的計算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的比較是非常重要的。所有的圖 8 圖 10 是以這樣的方式糾正。 在數(shù)字；實(shí)驗(yàn)結(jié)果與能源解決方案相比，它是觀察到的結(jié)果顯示出良 好的協(xié)議。因此，它被發(fā)現(xiàn)的能源解決方案可用于碟形彈簧的設(shè)計為更好的近似比阿爾 -拉斯洛公式。 8、 對 碟形彈簧的 設(shè)計計算公式 由應(yīng)變能量法的近似解減少到以下考慮實(shí)用方便的形式： 對于負(fù)載一偏轉(zhuǎn)特性， 這些應(yīng)力， 其中 W: 最大撓度 P：軸向力 u：在內(nèi)部邊緣的上表面的總應(yīng)力 L：在內(nèi)部邊緣的下表面的總應(yīng)力 E：楊氏模量 ：泊松比 ， N, , :常數(shù) 而且 圖 12 顯示的值的常數(shù)， ， N, , 取決于半徑比 ， 這圖也顯示 方程 （ 36） M 的值。 9、摘要 碟形彈簧 的微分方程的數(shù)值方法， 基于 Re