數(shù)字信號處理西安電子(高西全丁美玉)第三版課后習(xí)題答案(全)17章.ppt

1.4習(xí)題與上機題解答1.用單位脈沖序列(n)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。,題1圖,解：x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2給定信號：2n+54n160n40其它(1)畫出x(n)序列的波形，標上各序列值；(2)試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；,(x(n)=,（3）令x1(n)=2x(n2)，試畫出x1(n)波形；（4）令x2(n)=2x(n+2)，試畫出x2(n)波形；（5）令x3(n)=x(2n)，試畫出x3(n)波形。解：(1)x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。(2)x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n)+6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),（3）x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，畫出圖形如題2解圖（二）所示。(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，畫出圖形如題2解圖（三）所示。(5)畫x3(n)時，先畫x(n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180)，然后再右移2位，x3(n)波形如題2解圖（四）所示。,題2解圖（一）,題2解圖（二）,題2解圖（三）,題2解圖（四）,3判斷下面的序列是否是周期的;若是周期的，確定其周期。,(1),(2),解：（1）因為=,所以,這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期t=14。（2）因為=,所以=16,這是無理數(shù)，因此是非周期序列。,4對題1圖給出的x(n)要求：(1)畫出x(n)的波形；(2)計算xe(n)=x(n)+x(n)，并畫出xe(n)波形；(3)計算xo(n)=x(n)x(n)，并畫出xo(n)波形;(4)令x1(n)=xe(n)+xo(n),將x1(n)與x(n)進行比較，你能得到什么結(jié)論？,解：（1）x(n)的波形如題4解圖（一）所示。(2)將x(n)與x(n)的波形對應(yīng)相加，再除以2，得到xe(n)。毫無疑問，這是一個偶對稱序列。xe(n)的波形如題4解圖（二）所示。(3)畫出xo(n)的波形如題4解圖（三）所示。,題4解圖（一）,題4解圖（二）,題4解圖（三）,(4)很容易證明：x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式說明實序列可以分解成偶對稱序列和奇對稱序列。偶對稱序列可以用題中(2)的公式計算，奇對稱序列可以用題中(3)的公式計算。5設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述，x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出，判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。（1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2)（2）y(n)=2x(n)+3（3）y(n)=x(nn0)n0為整常數(shù)（4）y(n)=x(n),（5）y(n)=x2(n)（6）y(n)=x(n2)（7）y(n)=（8）y(n)=x(n)sin(n)解：（1）令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02)y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02)=y(n),故該系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。因為y(n)=tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1)+3ax1(n2)+bx2(n2)tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2)tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以tax1(n)+bx2(n)=atx1(n)+btx2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,（2）令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故該系統(tǒng)是非時變的。由于tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3tax1(n)=2ax1(n)+3tbx2(n)=2bx2(n)+3tax1(n)+bx2(n)atx1(n)+btx2(n)故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,(3)這是一個延時器，延時器是線性非時變系統(tǒng)，下面證明。令輸入為x(nn1)輸出為y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延時器是非時變系統(tǒng)。由于tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=atx1(n)+btx2(n)故延時器是線性系統(tǒng)。,(4)y(n)=x(n)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。由于tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=atx1(n)+btx2(n)因此系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。,（5）y(n)=x2(n)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。由于tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2atx1(n)+btx2(n)=ax21(n)+bx22(n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,（6）y(n)=x(n2)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。由于tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=atx1(n)+btx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,（7）y(n)=x(m)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=0dd)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。由于tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=atx1(n)+btx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,（8）y(n)=x(n)sin(n)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(nn0)sin(n)y(nn0)=x(nn0)sin(nn0)y(n)故系統(tǒng)不是非時變系統(tǒng)。由于tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)sin(n)+bx2(n)sin(n)=atx1(n)+btx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。,6給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，并說明理由。（1）y(n)=x(nk)（2）y(n)=x(n)+x(n+1)（3）y(n)=x(k)（4）y(n)=x(nn0)（5）y(n)=ex(n),解：（1）只要n1，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關(guān)。如果|x(n)|m，則|y(n)|m，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，因為n時間的輸出還和n時間以后（n+1）時間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|m,則|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2m,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（3）如果|x(n)|m，則|y(n)|x(k)|2n0+1|m，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的；假設(shè)n00，系統(tǒng)是非因果的，因為輸出還和x(n)的將來值有關(guān)。,（4）假設(shè)n00，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因為n時刻輸出只和n時刻以后的輸入有關(guān)。如果|x(n)|m,則|y(n)|m，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（5）系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因為系統(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。如果|x(n)|m,則|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|em，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示，要求畫出y(n)輸出的波形。解：解法（一）采用列表法。y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm),題7圖,y(n)=2,1,0.5,2,1,4.5,2,1;n=2,1,0,1,2,3,4,5,解法（二）采用解析法。按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達式分別為x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+(n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*a(nk)=ax(nk)故,y(n)=x(n)*h(n)=x(n)*2(n)+(n1)+(n2)=2x(n)+x(n1)+x(n2)將x(n)的表示式代入上式，得到y(tǒng)(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2)+4.5(n3)+2(n4)+(n5),8.設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況，分別求出輸出y(n)。（1）h(n)=r4(n),x(n)=r5(n)（2）h(n)=2r4(n),x(n)=(n)(n2)（3）h(n)=0.5nu(n),xn=r5(n)解：（1）y(n)=x(n)*h(n)=r4(m)r5(nm)先確定求和域。由r4(m)和r5(nm)確定y（n）對于m的非零區(qū)間如下:0m34mn,根據(jù)非零區(qū)間，將n分成四種情況求解：n7時，y(n)=0,最后結(jié)果為0n7n+10n38n4n7y(n)的波形如題8解圖（一）所示。(2)y(n)=2r4(n)*(n)(n2)=2r4(n)2r4(n2)=2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如題8解圖（二）所示,y(n)=,題8解圖（一）,題8解圖（二）,(3)y(n)=x(n)*h(n)=r5(m)0.5nmu(nm)=0.5nr5(m)0.5mu(nm)y（n）對于m的非零區(qū)間為0m4,mnn0時，y(n)=00n4時，,=(10.5n1)0.5n=20.5n,n5時,最后寫成統(tǒng)一表達式：y(n)=(20.5n)r5(n)+310.5nu(n5),9證明線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律，即證明下面等式成立：（1）x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2）x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3）x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)證明：（1）因為令m=nm,則,(2)利用上面已證明的結(jié)果，得到,交換求和號的次序，得到,10設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=(3/8)0.5nu(n)，系統(tǒng)的輸入x(n)是一些觀測數(shù)據(jù)，設(shè)x(n)=x0,x1,x2,xk,，試利用遞推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。遞推時設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài)。,解：,n=0時，,n0,n=1時，,n=2時，,最后得到,11設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述：,設(shè)系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。,解：令x(n)=(n),則,n=0時，,n=1時，,n=2時，,n=3時，,歸納起來，結(jié)果為,12.設(shè)系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，初始條件y(-1)=0，試分析該系統(tǒng)是否是線性非時變系統(tǒng)。解：分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別為(n)、(n1)、(n)+(n1)時，求它的輸出，再檢查是否滿足線性疊加原理和非時變性。（1）令x(n)=(n),這時系統(tǒng)的輸出用y1(n)表示。,該情況在教材例1.4.1中已求出，系統(tǒng)的輸出為y1(n)=anu(n),(2)令x(n)=(n1)，這時系統(tǒng)的輸出用y2(n)表示。,n=0時，,n=1時，,n=2時，,任意n時，,最后得到,(3)令x(n)=(n)+(n1),系統(tǒng)的輸出用y3(n)表示。,n=0時，,n=1時，,n=2時，,n=3時，,任意n時，,最后得到,由（1）和（2）得到y(tǒng)1(n)=t(n),y2(n)=t(n1)y1(n)=y2(n1)因此可斷言這是一個時不變系統(tǒng)。情況（3）的輸入信號是情況（1）和情況（2）輸入信號的相加信號，因此y3(n)=t(n)+(n1)。觀察y1(n)、y2(n)、y3(n)，得到y(tǒng)3(n)=y1(n)+y2(n)，因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。最后得到結(jié)論：用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n),0a1描寫的系統(tǒng)，當初始條件為零時，是一個線性時不變系統(tǒng)。,13有一連續(xù)信號xa(t)=cos(2ft+j)，式中，f=20hz,j=/2。（1）求出xa(t)的周期；（2）用采樣間隔t=0.02s對xa(t)進行采樣，試寫出采樣信號的表達式；（3）畫出對應(yīng)的時域離散信號（序列）x(n)的波形，并求出x(n)的周期。解：（1）xa(t)的周期為,（2）,（3）x(n)的數(shù)字頻率=0.8，故，因而周期n=5，所以x(n)=cos(0.8n+/2)畫出其波形如題13解圖所示。,題13解圖,14.已知滑動平均濾波器的差分方程為,（1）求出該濾波器的單位脈沖響應(yīng)；（2）如果輸入信號波形如前面例1.3.4的圖1.3.1所示，試求出y(n)并畫出它的波形。解：（1）將題中差分方程中的x(n)用(n)代替，得到該濾波器的單位脈沖響應(yīng)，即,（2）已知輸入信號，用卷積法求輸出。輸出信號y(n)為,表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。計算時，表中x(k)不動，h(k)反轉(zhuǎn)后變成h(k)，h(nk)則隨著n的加大向右滑動，每滑動一次，將h(nk)和x(k)對應(yīng)相乘，再相加和平均，得到相應(yīng)的y(n)?！盎瑒悠骄鼻宄乇砻髁诉@種計算過程。最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。該圖清楚地說明滑動平均濾波器可以消除信號中的快速變化，使波形變化緩慢。,15*.已知系統(tǒng)的差分方程和輸入信號分別為,用遞推法計算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：求解程序ex115.m如下：%程序ex115.m%調(diào)用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2)xn=1，2，3，4，2，1，zeros(1，10)；%x(n)=單位脈沖序列，長度n=31b=1，0，2；a=1，0.5；%差分方程系數(shù),yn=filter(b，a，xn)%調(diào)用filter解差分方程，求系統(tǒng)輸出信號y(n)n=0：length(yn)1；subplot(3，2，1)；stem(n，yn，.)；axis(1，15，2，8)title(系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng))；xlabel(n)；ylabel(y(n)程序運行結(jié)果：,yn=1.00001.50004.25005.87505.06256.46880.76561.6172-0.80860.4043-0.20210.1011-0.05050.0253-0.01260.0063-0.00320.0016-0.00080.0004-0.00020.0001-0.00000.0000-0.00000.0000程序運行結(jié)果的y(n)波形圖如題15*解圖所示。,題15*解圖,16*.已知兩個系統(tǒng)的差分方程分別為（1）y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n)（2）y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2)分別求出所描述的系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)。解：（1）系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為b1=1，a1=1，0.6，0.08（2）系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為b2=2，0，1,a2=1，0.7，0.1,2.5習(xí)題與上機題解答1設(shè)x(ej)和y(ej)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換：(1)x(nn0)(2)x*(n)(3)x(n)(4)x(n)*y(n)(5)x(n)y(n)(6)nx(n)(7)x(2n)(8)x2(n),(9),解：（1）,令n=nn0,即n=n+n0，則,（2）,（3）,令n=n，則,（4）ftx(n)*y(n)=x(ej)y(ej)下面證明上式成立：,令k=nm,則,（5）,或者,（6）因為,對該式兩邊求導(dǎo)，得到,因此,（7）,令n=2n，則,或者,（8）,利用（5）題結(jié)果，令x(n)=y(n),則,（9）,令n=n/2，則,2已知,求x(ej)的傅里葉反變換x(n)。,解：,3.線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)）h(ej)=|h(ej)|ej()，如果單位脈沖響應(yīng)h(n)為實序列，試證明輸入x(n)=acos(0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為,解：假設(shè)輸入信號x(n)=ej0n，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則系統(tǒng)輸出為,上式說明當輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時，輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列，且頻率相同，但幅度和相位取決于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)。利用該性質(zhì)解此題：,上式中|h(ej)|是的偶函數(shù)，相位函數(shù)是的奇函數(shù)，|h(ej)|=|h(e-j)|，()=(),故,4設(shè),將x(n)以4為周期進行周期延拓，形成周期序列，畫出x(n)和的波形，求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。,解：畫出x(n)和的波形如題4解圖所示。,題4解圖,或者,5.設(shè)題5圖所示的序列x(n)的ft用x(ej)表示，不直接求出x(ej)，完成下列運算或工作：,題5圖,(1),(2),(3),(4)確定并畫出傅里葉變換實部rex(ej)的時間序列xa(n)；,(5),(6),解(1),(2),(3),（4）因為傅里葉變換的實部對應(yīng)序列的共軛對稱部分，即,按照上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。,題5解圖,(5),(6)因為,因此,6試求如下序列的傅里葉變換：(1)x1(n)=(n3),(2),(3)x3(n)=anu(n)0a1(4)x4(n)=u(n+3)u(n4)解,(1),(2),(3),(4),或者:,7設(shè)：（1）x(n)是實偶函數(shù)，（2）x(n)是實奇函數(shù)，分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下，其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。解：令,(1)因為x(n)是實偶函數(shù)，對上式兩邊取共軛，得到,因此x(ej)=x*（ej）上式說明x(n)是實序列，x(ej)具有共軛對稱性質(zhì)。,由于x(n)是偶函數(shù)，x(n)sin是奇函數(shù)，那么,因此,該式說明x(ej)是實函數(shù)，且是的偶函數(shù)?？偨Y(jié)以上,x(n)是實偶函數(shù)時，對應(yīng)的傅里葉變換x(ej)是實函數(shù)，是的偶函數(shù)。（2）x(n)是實奇函數(shù)。上面已推出，由于x(n)是實序列，x(ej)具有共軛對稱性質(zhì)，即x(ej)=x*(ej),由于x(n)是奇函數(shù)，上式中x(n)cos是奇函數(shù)，那么,因此,這說明x(ej)是純虛數(shù)，且是的奇函數(shù)。8設(shè)x(n)=r4(n)，試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對稱序列xo(n)，并分別用圖表示。,解：,xe(n)和xo(n)的波形如題8解圖所示。,題8解圖,9已知x(n)=anu(n),0a1，分別求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。解：,因為xe(n)的傅里葉變換對應(yīng)x(ej)的實部，xo(n)的傅里葉變換對應(yīng)x(ej)的虛部乘以j，因此,10若序列h(n)是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式：hr(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里葉變換h(ej)。解：,11若序列h(n)是實因果序列，h(0)=1，其傅里葉變換的虛部為hi(ej)=sin求序列h(n)及其傅里葉變換h(ej)。解：,12設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n),0a1，輸入序列為x(n)=(n)+2(n2)完成下面各題：(1)求出系統(tǒng)輸出序列y(n)；(2)分別求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。解(1),(2),13已知xa(t)=2cos(2f0t)，式中f0=100hz，以采樣頻率fs=400hz對xa(t)進行采樣，得到采樣信號和時域離散信號x(n)，試完成下面各題：（1）寫出的傅里葉變換表示式xa(j)；（2）寫出和x(n)的表達式；（3）分別求出的傅里葉變換和x(n)序列的傅里葉變換。解：,上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)函數(shù)，它的傅里葉變換可以表示成：,（2）,（3）,式中,式中0=0t=0.5rad上式推導(dǎo)過程中，指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在，只有引入奇異函數(shù)函數(shù)才能寫出它的傅里葉變換表示式。14求出以下序列的z變換及收斂域:(1)2nu(n)(2)2nu(n1)(3)2nu(n)(4)(n)(5)(n1)(6)2nu(n)u(n10),解(1),(2),(3),(4)zt(n)=10|z|(5)zt(n1)=z10|z|(6),15求以下序列的z變換及其收斂域，并在z平面上畫出極零點分布圖。(1)x(n)=rn(n)n=4(2)x(n)=arncos(0n+j)u(n)r=0.9,0=0.5rad,j=0.25rad(3),式中，n=4。,解(1),由z41=0，得零點為,由z3(z1)=0，得極點為z1,2=0,1零極點圖和收斂域如題15解圖(a)所示，圖中,z=1處的零極點相互對消。,題15解圖,(2),零點為,極點為,極零點分布圖如題15解圖(b)所示。(3)令y(n)=r4(n),則x(n+1)=y(n)*y(n)zx(z)=y(z)2,x(z)=z1y(z)2,因為,因此,極點為z1=0,z2=1零點為,在z=1處的極零點相互對消，收斂域為0|z|，極零點分布圖如題15解圖(c)所示。,16已知,求出對應(yīng)x(z)的各種可能的序列表達式。解：x(z)有兩個極點：z1=0.5,z2=2，因為收斂域總是以極點為界，因此收斂域有三種情況：|z|0.5，0.5|z|2，2|z|。三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。（1）收斂域|z|0.5：,令,n0時，因為c內(nèi)無極點，x(n)=0;n1時，c內(nèi)有極點0，但z=0是一個n階極點，改為求圓外極點留數(shù)，圓外極點有z1=0.5,z2=2，那么,(2)收斂域0.5|z|2:,n0時，c內(nèi)有極點0.5，,n0時，c內(nèi)有極點0.5、0，但0是一個n階極點，改成求c外極點留數(shù)，c外極點只有一個，即2，x(n)=resf(z),2=22nu(n1)最后得到,（3）收斂域|z|2:,n0時，c內(nèi)有極點0.5、2，,n0時，由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此x(n)=0；或者這樣分析，c內(nèi)有極點0.5、2、0，但0是一個n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外無極點，所以x(n)=0。,最后得到,17已知x(n)=anu(n),0a1。分別求：(1)x(n)的z變換；(2)nx(n)的z變換；(3)anu(n)的z變換。解：(1),(2),(3),18已知,分別求：（1）收斂域0.52對應(yīng)的原序列x(n)。,解：,（1）收斂域0.5|z|2:n0時，c內(nèi)有極點0.5，x(n)=resf(z),0.5=0.5n=2nn0時，c內(nèi)有極點0.5、0，但0是一個n階極點，改求c外極點留數(shù)，c外極點只有2，x(n)=resf(z),2=2n,最后得到x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|2:n0時，c內(nèi)有極點0.5、2，,n0時，c內(nèi)有極點0.5、2、0，但極點0是一個n階極點，改成求c外極點留數(shù)，可是c外沒有極點，因此x(n)=0最后得到x(n)=(0.5n2n)u(n)19用部分分式法求以下x(z)的反變換：,(1),(2),解：(1),(2),20設(shè)確定性序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)用下式表示：,試用x(n)的z變換x(z)和x(n)的傅里葉變換x(ej)分別表示自相關(guān)函數(shù)的z變換rxx(z)和傅里葉變換rxx(ej)。,解：解法一,令m=n+m,則,解法二,因為x(n)是實序列，x(ej)=x*(ej)，因此,21用z變換法解下列差分方程：(1)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(n)=0n1(2)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(1)=1，y(n)=0n1(3)y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2,y(2)=0.5,y(n)=0,當n3時。解：(1)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n)，y(n)=0n1,n0時，,n0時，y(n)=0最后得到y(tǒng)(n)=0.5(0.9)n+1+0.5u(n),(2)y(n)0.9y(n1)=0.05u(n),y(1)=1,y(n)=0n1,n0時，,n0時，y(n)=0最后得到y(tǒng)(n)=0.45(0.9)n+0.5u(n),(3)y(n)0.8y(n1)0.15y(n2)=(n)y(1)=0.2,y(2)=0.5,y(n)=0,當n2時y(z)0.8z1y(z)+y(1)z0.15z2y(z)+y(1)z+y(2)z2=1,n0時，,y(n)=4.3650.3n+6.3750.5nn0時,y(n)=0最后得到y(tǒng)(n)=(4.3650.3n+6.3750.5n)u(n),22設(shè)線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)h(z)為,（1）在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)，即|h(ej)|=常數(shù)；（2）參數(shù)a如何取值，才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定？畫出其極零點分布及收斂域。解：,(1),極點為a,零點為a1。設(shè)a=0.6，極零點分布圖如題22解圖(a)所示。我們知道|h(ej)|等于極點矢量的長度除以零點矢量的長度，按照題22解圖(a)，得到,因為角公用，,，且aobaoc，故,，即,故h(z)是一個全通網(wǎng)絡(luò)?；蛘甙凑沼嘞叶ɡ碜C明:,題22解圖,（2）只有選擇|a|1才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定。設(shè)a=0.6，極零點分布圖及收斂域如題22解圖(b)所示。23設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述：y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)（1）求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)h(z)，并畫出極零點分布圖；（2）限定系統(tǒng)是因果的，寫出h(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)；（3）限定系統(tǒng)是穩(wěn)定性的，寫出h(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。解：（1）y(n)=y(n1)+y(n2)+x(n1)將上式進行z變換，得到y(tǒng)(z)=y(z)z1+y(z)z2+x(z)z1,因此,零點為z=0。令z2z1=0，求出極點：,極零點分布圖如題23解圖所示。,題23解圖,(2)由于限定系統(tǒng)是因果的，收斂域需選包含點在內(nèi)的收斂域，即。求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)可以用兩種方法，一種是令輸入等于單位脈沖序列，通過解差分方程，其零狀態(tài)輸入解便是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；另一種方法是求h(z)的逆z變換。我們采用第二種方法。,式中,，,令,n0時，h(n)=resf(z),z1+resf(z),z2,因為h(n)是因果序列,n0時，h(n)=0，故,(3)由于限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域，即|z2|z|z1|,n0時，c內(nèi)只有極點z2，只需求z2點的留數(shù)，,n0時，c內(nèi)只有兩個極點：z2和z=0，因為z=0是一個n階極點，改成求圓外極點留數(shù)，圓外極點只有一個，即z1,那么,最后得到,24已知線性因果網(wǎng)絡(luò)用下面差分方程描述：y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)（1）求網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)h(z)及單位脈沖響應(yīng)h(n)；（2）寫出網(wǎng)絡(luò)頻率響應(yīng)函數(shù)h(ej)的表達式，并定性畫出其幅頻特性曲線；（3）設(shè)輸入x(n)=ej0n，求輸出y(n)。解：（1）y(n)=0.9y(n1)+x(n)+0.9x(n1)y(z)=0.9y(z)z1+x(z)+0.9x(z)z1,令,n1時，c內(nèi)有極點0.9，,n=0時，c內(nèi)有極點0.9，0，,最后得到h(n)=20.9nu(n1)+(n),（2）,極點為z1=0.9,零點為z2=0.9。極零點圖如題24解圖(a)所示。按照極零點圖定性畫出的幅度特性如題24解圖(b)所示。（3）,題24解圖,25已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為x(n)=anu(n),h(n)=bnu(n)0a1,0b1（1）試用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)；（2）試用zt法求網(wǎng)絡(luò)輸出y(n)。解：（1）用卷積法求y(n)。,n0時，,n0時，y(n)=0最后得到,（2）用zt法求y(n)。,，,令,n0時，c內(nèi)有極點：a、b,因此,因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng),所以n0時，y(n)=0。最后得到,26線性因果系統(tǒng)用下面差分方程描述：y(n)2ry(n1)cos+r2y(n2)=x(n)式中，x(n)=anu(n),0a1,0rmax(r,|a|)，且n0時，y(n)=0，故,c包含三個極點，即a、z1、z2。,27如果x1(n)和x2(n)是兩個不同的因果穩(wěn)定實序列，求證：,式中，x1(ej)和x2(ej)分別表示x1(n)和x2(n)的傅里葉變換。解：ftx1(n)*x2(n)=x1(ej)x2(ej)進行ift，得到,令n=0,則,由于x1(n)和x2(n)是實穩(wěn)定因果序列，因此,(1),(2),(3),由（1）、（2）、（3）式，得到,28若序列h(n)是因果序列，其傅里葉變換的實部如下式：,求序列h(n)及其傅里葉變換h(ej)。,解：,求上式的z的反變換，得到序列h(n)的共軛對稱序列he(n)為,因為h(n)是因果序列，he(n)必定是雙邊序列，收斂域?。篴|z|a1。n1時，c內(nèi)有極點：a，,n=0時，,c內(nèi)有極點：a、0，,因為he(n)=he(n)，所以,29若序列h(n)是因果序列，h(0)=1，其傅里葉變換的虛部為,求序列h(n)及其傅里葉變換h(ej)。,解：,令z=ej,有,jhi(ej)對應(yīng)h(n)的共軛反對稱序列ho(n)，因此jhi(z)的反變換就是ho(n),因為h(n)是因果序列，ho(n)是雙邊序列，收斂域取:a|z|a1。,n1時，c內(nèi)有極點：a,n=0時，c內(nèi)有極點：a、0，,因為hi(n)=h(n),所以,教材第3章習(xí)題與上機題解答1計算以下序列的n點dft，在變換區(qū)間0nn1內(nèi)，序列定義為(1)x(n)=1(2)x(n)=(n)(3)x(n)=(nn0)0n0n(4)x(n)=rm(n)0mn(5)(6),(7)x(n)=ej0nrn(n)(8)x(n)=sin(0n)rn(n)(9)x(n)=cos(0n)rn(n)(10)x(n)=nrn(n)解：,(1),（2）,（3）,(4),(5),0kn1,(6),0kn1,(7),或,（8）解法一直接計算：,解法二由dft的共軛對稱性求解。因為,所以,所以,即,結(jié)果與解法一所得結(jié)果相同。此題驗證了共軛對稱性。(9)解法一直接計算:,解法二由dft共軛對稱性可得同樣結(jié)果。因為,（10）解法一,上式直接計算較難，可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解x(k)。因為x(n)=nrn(n)，所以x(n)x(n1)nrn(n)+n(n)=rn(n)等式兩邊進行dft，得到x(k)x(k)wkn+n=n(k),故,當k=0時，可直接計算得出x(0)為,這樣，x(k)可寫成如下形式：,解法二k=0時，,k0時，,所以，,，即,2已知下列x(k)，求x(n)=idftx(k),(1),(2),其中，m為正整數(shù)，0mn/2,n為變換區(qū)間長度。,解:（1）,n=0,1,n1,(2),n=0,1,n1,3已知長度為n=10的兩個有限長序列：,做圖表示x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)，循環(huán)卷積區(qū)間長度l=10。解:x1(n)、x2(n)和y(n)=x1(n)*x2(n)分別如題3解圖（a）、（b）、（c）所示。,題3解圖,4證明dft的對稱定理，即假設(shè)x(k)=dftx(n)，證明dftx(n)=nx(nk)證：因為,所以,由于,所以dftx(n)=nx(nk)k=0,1,n15如果x(k)=dftx(n)，證明dft的初值定理,證:由idft定義式,可知,6設(shè)x(n)的長度為n，且x(k)=dftx(n)0kn1令h(n)=x(n)nrmn(n)m為自然數(shù)h(k)=dfth(n)mn0kmn1求h(k)與x(k)的關(guān)系式。解:h(k)=dfth(n)0kmn1令n=n+ln,l=0,1,m1,n=0,1,n1,則,因為,所以,7證明:若x(n)為實序列，x(k)=dftx(n)n，則x(k)為共軛對稱序列，即x(k)=x*（nk)；若x(n)實偶對稱，即x(n)=x(nn)，則x(k)也實偶對稱；若x(n)實奇對稱，即x(n)=x(nn)，則x(k)為純虛函數(shù)并奇對稱。,證:(1)由教材(3.2.17)(3.2.20)式知道，如果將x(n)表示為x(n)=xr(n)+jxi(n)則x(k)=dftx(n)=xep(k)+xop(k)其中，xep(k)=dftxr(n)，是x(k)的共軛對稱分量；xop(k)=dftjxi(n),是x(k)的共軛反對稱分量。所以，如果x(n)為實序列，則xop(k)=dftjxi(n)=0，故x(k)=dftx(n)=xep(k)，即x(k)=x*(nk)。,（2）由dft的共軛對稱性可知，如果x(n)=xep(n)+xop(n)且x(k)=rex(k)+jimx(k)則rex(k)=dftxep(n),jimx(k)=dftxop(n)所以，當x(n)=x(nn)時，等價于上式中xop(n)=0,x(n)中只有xep(n)成分，所以x(k)只有實部，即x(k)為實函數(shù)。又由（1）證明結(jié)果知道，實序列的dft必然為共軛對稱函數(shù)，即x(k)=x*(nk)=x(nk)，所以x(k)實偶對稱。,同理，當x(n)=x(nn)時，等價于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故x(k)只有純虛部，且由于x(n)為實序列，即x(k)共軛對稱，x(k)=x*(nk)=x(nk),為純虛奇函數(shù)。8證明頻域循環(huán)移位性質(zhì)：設(shè)x(k)=dftx(n)，y(k)=dfty(n)，如果y(k)=x(k+l)nrn(k)，則,證：,令m=k+l,則,9已知x(n)長度為n，x(k)=dftx(n)，,求y(k)與x(k)的關(guān)系式。解:,10證明離散相關(guān)定理。若x(k)=x1*(k)2(k)則,證：根據(jù)dft的惟一性，只要證明,即可。,令m=l+n，則,所以,當然也可以直接計算x(k)=x1*(k)x2(k)的idft。,0nn1,由于,0nn1,所以,11證明離散帕塞瓦爾定理。若x(k)=dftx(n)，則,證：,12已知f(n)=x(n)+jy(n)，x(n)與y(n)均為長度為n的實序列。設(shè)f(k)=dftf(n)n0kn1,(1),(2)f(k)=1+jn試求x(k)=dftx(n)n，y(k)=dfty(n)n以及x(n)和y(n)。解:由dft的共軛對稱性可知x(n)x(k)=fep(k)jy(n)jy(k)=fop(k),方法一（1）,0nn1,由于,0n,mn1,所以x(n)=an0nn1同理y(n)=bn0nn1（2）f(k)=1+jn,，,方法二令,只要證明a(k)為共軛對稱的，b(k)為共軛反對稱，則就會有a(k)=fep(k)=x(k),b(k)=fop(k)=jy(k)因為,，共軛對稱,，共軛反對稱,所以,由方法一知x(n)=idftx(k)=anrn(n)y(n)=idfty(k)=bnrn(n)13已知序列x(n)=anu(n)，0a1,對x(n)的z變換x(z)在單位圓上等間隔采樣n點，采樣序列為,求有限長序列idftx(k)n。解:我們知道，,是以2為周期的周期函數(shù)，所以,以n為周期，將看作一周期序列的dfs系數(shù)，則,由式知為,將式代入式得到,由于,所以,由題意知,所以根據(jù)有關(guān)x(k)與xn(n)的周期延拓序列的dfs系數(shù)的關(guān)系有,由于0nn1，所以,因此,說明：平時解題時，本題推導(dǎo),的過程可省去，直接引用頻域采樣理論給出的結(jié)論（教材中式（3.3.2）和(3.3.3)）即可。14兩個有限長序列x(n)和y(n)的零值區(qū)間為x(n)=0n0,8ny(n)=0n0,20n對每個序列作20點dft，即x(k)=dftx(n)k=0,1,19y(k)=dfty(n)k=0,1,19試問在哪些點上f(n)與x(n)*y(n)值相等,為什么？,解:如前所述，記fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=idftf(k)=x(n)20y(n)。fl(n)長度為27，f(n)長度為20。由教材中式（3.4.3）知道f(n)與fl(n)的關(guān)系為,只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上，才滿足f(n)=fl(n),所以f(n)=fl(n)=x(n)*y(n)7n19,15已知實序列x(n)的8點dft的前5個值為0.25,0.125-j0.3018,0,0.125-j0.0518,0。（1）求x(k)的其余3點的值；,（2）,求x1(k)=dftx1(n)8；,（3）,，求,。,解：（1）因為x(n)是實序列，由第7題證明結(jié)果有x(k)=x*(nk)，即x(nk)=x*(k),所以，x（k）的其余3點值為x(5),x(6),x(7)=0.125+j0.0518,0,0.125+j0.3018（2）根據(jù)dft的時域循環(huán)移位性質(zhì)，,(3),16x(n)、x1(n)和x2(n)分別如題16圖(a)、(b)和(c)所示，已知x(k)=dftx(n)8。求,和,注:用x(k)表示x1(k)和x2(k)。,解：因為x1(n)=x(n+3)8r8(n),x2(n)=x(n2)8r8(n)，所以根據(jù)dft的時域循環(huán)移位性質(zhì)得到,17設(shè)x(n)是長度為n的因果序列，且,試確定y(k)與x(ej)的關(guān)系式。,解：y(n)是x(n)以m為周期的周期延拓序列的主值序列，根據(jù)頻域采樣理論得到,18用微處理機對實數(shù)序列作譜分析，要求譜分辨率f50hz，信號最高頻率為1khz，試確定以下各參數(shù)：(1)最小記錄時間tpmin；(2)最大取樣間隔tmax；(3)最少采樣點數(shù)nmin；(4)在頻帶寬度不變的情況下，使頻率分辨率提高1倍（即f縮小一半）的n值。,解:（1）已知f=50hz，因而,（2）,（3）,（4）頻帶寬度不變就意味著采樣間隔t不變，應(yīng)該使記錄時間擴大1倍，即為0.04s，實現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（f變?yōu)樵瓉淼?/2）。,19已知調(diào)幅信號的載波頻率fc=1khz，調(diào)制信號頻率fm=100hz，用fft對其進行譜分析，試求：(1)最小記錄時間tpmin;(2)最低采樣頻率fsmin;(3)最少采樣點數(shù)nmin。,解：調(diào)制信號為單一頻率正弦波時，已調(diào)am信號為x(t)=cos(2fct+jc)1+cos(2fmt+jm)所以，已調(diào)am信號x(t)只有3個頻率：fc、fc+fm、fcfm。x(t)的最高頻率fmax=1.1khz，頻率分辨率f100hz（對本題所給單頻am調(diào)制信號應(yīng)滿足100/f=整數(shù)，以便能采樣到這三個頻率成分）。故,(1),(2),(3),（注意，對窄帶已調(diào)信號可以采用亞奈奎斯特采樣速率采樣，壓縮碼率。而在本題的解答中，我們僅按基帶信號的采樣定理來求解。）20在下列說法中選擇正確的結(jié)論。線性調(diào)頻z變換可以用來計算一個有限長序列h(n)在z平面實軸上諸點zk的z變換h(zk)，使,(1)zk=ak,k=0,1,n1,a為實數(shù)，a1;(2)zk=ak,k=0,1,n1,a為實數(shù)，a1;(3)(1)和(2)都不行，即線性調(diào)頻z變換不能計算h(z)在z平面實軸上的取樣值。解：在chirp-z變換中，在z平面上分析的n點為zk=awkk=0,1,n1其中所以當a0=1,0=0,w0=a1,j=0時，zk=ak故說法（1）正確,說法（2）、（3）不正確。,21我們希望利用h(n)長度為n=50的fir濾波器對一段很長的數(shù)據(jù)序列進行濾波處理，要求采用重疊保留法通過dft(即fft)來實現(xiàn)。所謂重疊保留法，就是對輸入序列進行分段(本題設(shè)每段長度為m=100個采樣點)，但相鄰兩段必須重疊v個點，然后計算各段與h(n)的l點(本題取l=128)循環(huán)卷積，得到輸出序列ym(n)，m表示第m段循環(huán)卷積計算輸出。最后，從ym(n)中選取b個樣值，使每段選取的b個樣值連接得到濾波輸出y(n)。,(1)求v；(2)求b；(3)確定取出的b個采樣應(yīng)為ym(n)中的哪些樣點。解:為了便于敘述，規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列ym(n)的序列標號為n=0,1,2,127。先以h(n)與各段輸入的線性卷積ylm(n)分析問題，因為當h(n)的50個樣值點完全與第m段輸入序列xm(n)重疊后，ylm(n)才與真正的濾波輸出y(n)相等，所以，ylm(n)中第0點到第48點（共49個點）不正確，不能作為濾波輸出，第49點到第99點（共51個點）為正確的濾波輸出序列y(n)的第m段，即b=51。,所以，為了去除前面49個不正確點，取出51個正確的點連接,得到不間斷又無多余