用極大似然法進行參數估計.doc

.北京工商大學系統(tǒng)建模與辨識課程上機實驗報告（2016年秋季學期）專業(yè)名稱 ： 控制工程 上機題目 ： 用極大似然法進行參數估計 專業(yè)班級 ： 計研3班 學生姓名 ： 王 瑤 吳 超 學 號 ： 10011316259 10011316260 指導教師 ： 劉翠玲 2017 年 1 月一 實驗目的通過實驗掌握極大似然法在系統(tǒng)參數辨識中的原理和應用。二 實驗原理1 極大似然原理設有離散隨機過程與未知參數有關，假定已知概率分布密度。如果我們得到n個獨立的觀測值，則可得分布密度，,。要求根據這些觀測值來估計未知參數，估計的準則是觀測值的出現概率為最大。為此，定義一個似然函數 （1.1） 上式的右邊是n個概率密度函數的連乘，似然函數L是的函數。如果L達到極大值，的出現概率為最大。因此，極大似然法的實質就是求出使L達到極大值的的估值。為了便于求，對式（1.1）等號兩邊取對數，則把連乘變成連加，即 （1.2）由于對數函數是單調遞增函數，當L取極大值時，lnL也同時取極大值。求式（1.2）對的偏導數，令偏導數為0，可得 （1.3）解上式可得的極大似然估計。 2 系統(tǒng)參數的極大似然估計Newton-Raphson法實際上就是一種遞推算法，可以用于在線辨識。不過它是一種依每L次觀測數據遞推一次的算法，現在我們討論的是每觀測一次數據就遞推計算一次參數估計值得算法。本質上說，它只是一種近似的極大似然法。設系統(tǒng)的差分方程為 （2.1）式中 因為是相關隨機向量，故（2.1）可寫成 （2.2）式中 （2.3） （2.4）是均值為0的高斯分布白噪聲序列。多項式，和中的系數和序列的均方差都是未知參數。設待估參數 （2.5）并設的預測值為 （2.6）式中為預測誤差；，為，的估值。預測誤差可表示為 （2.7）或者 = （2.8）因此預測誤差滿足關系式 （2.9）式中假定預測誤差服從均值為0的高斯分布，并設序列具有相同的方差。因為與，和有關，所以是被估參數的函數。為了書寫方便，把式（2.9）寫成 （2.10） （2.11）或寫成 （2.12）令k=n+1,n+2,n+N,可得的N個方程式，把這N個方程式寫成向量-矩陣形式 （2.13）式中 , , 因為已假定是均值為0的高斯噪聲序列，高斯噪聲序列的概率密度函數為 （2.14）式中y為觀測值，和m為y的方差和均值，那么 （2.15）對于符合高斯噪聲序列的極大似然函數為 （2.16）或 （2.17）對上式（2.17）等號兩邊取對數得 （2.18） 或寫為 （2.19）求對的偏導數，令其等于0，可得 （2.20）則 （2.21）式中 （2.22）越小越好，因為當方差最小時，最小，即殘差最小。因此希望的估值取最小 （2.23）因為式（2.10）可理解為預測模型，而e(k)可看做預測誤差。因此使式（2.22）最小就是使誤差的平方之和最小，即使對概率密度不作任何假設，這樣的準則也是有意義的。因此可按J最小來求的估計值。由于e(k)式參數的線性函數，因此J是這些參數的二次型函數。求使最大的，等價于在式（2.10）的約束條件下求使J為最小。由于J對是非線性的，因而求J的極小值問題并不好解，只能用迭代方法求解。求J極小值的常用迭代算法有拉格朗日乘子法和牛頓-拉卜森法。下面介紹牛頓-拉卜森法。整個迭代計算步驟如下：(1)確定初始的值。對于中的可按模型 （2.24）用最小二乘法來求，而對于中的可先假定一些值。(2)計算預測誤差 （2.25）給出 并計算 （2.26）(3)計算J的梯度 和海賽矩陣 ,有 （2.27）式中 （2.28）即 （2.29）同理可得 （2.30） （2.31）將式（2.29）移項化簡，有 （2.32）因為 （2.33）由求偏導，故 （2.34）將（2.34）代入（2.32），所以 （2.35）所以得 （2.36）同理可得（2.30）和（2.31）為 （2.37） （2.38）根據（2.36）構造公式 （2.39）將其代入（2.36），可得 (2.40）消除可得 （2.41）同理可得（2.37）和（2.38）式 （2.42） （2.43）式（2.29）、式（2.30）和式（2.31）均為差分方程，這些差分方程的初始條件為0，可通過求解這些差分方程，分別求出e(k)關于的全部偏導數，而這些偏導數分別為，和的線性函數。下面求關于的二階偏導數，即 （2.44） 當接近于真值時，e(k)接近于0。在這種情況下，式（2.44）等號右邊第2項接近于0，可近似表示為 （2.45）則利用式（2.45）計算比較簡單。(4)按牛頓-拉卜森計算的新估值，有 （2.46）重復(2)至(4)的計算步驟，經過r次迭代計算之后可得，近一步迭代計算可得 （2.47）如果 （2.48）則可停止計算，否則繼續(xù)迭代計算。式（2.48）表明，當殘差方差的計算誤差小于時就停止計算。這一方法即使在噪聲比較大的情況也能得到較好的估計值。三 實驗內容設SISO系統(tǒng)差分方程為 其中極大似然估計法默認為： 辨識參數向量為 c1 c2式中，為噪聲方差各異的白噪聲或有色噪聲；u(k)和y(k)表示系統(tǒng)的輸入輸出變量。四 實驗流程圖五 代碼實現程序如下：U=1.147 0.201 -0.787 -1.584 -1.052 0.866 1.152 1.573 0.626. 0.433 -0.958 0.810 -0.044 0.947 -1.474 -0.719 -0.086 1.099. 1.450 1.151 0.485 1.633 0.043 1.326 1.706 -0.340 0.890. 0.433 -1.177 -0.390 -0.982 1.435 -0.119 -0.769 -0.899 0.882. -1.008 -0.844 0.628 -0.679 1.541 1.375 -0.984 -0.582 1.609. 0.090 -0.813 -0.428 -0.848 -0.410 0.048 -1.099 -1.108 0.259. -1.627 -0.528 0.203 1.204 1.691 -1.235 -1.228 -1.267 0.309. 0.043 0.043 1.461 1.585 0.552 -0.601 -0.319 0.744 0.829. -1.626 -0.127 -1.578 -0.822 1.469 -0.379 -0.212 0.178 0.493. -0.056 -0.1294 1.228 -1.606 -0.382 -0.229 0.313 -0.161 -0.810. -0.277 0.983 -0.288 0.846 1.325 0.723 0.713 0.643 0.463. 0.786 1.161 0.850 -1.349 -0.596 1.512 0.795 -0.713 0.453. -1.604 0.889 -0.938 0.056 0.829 -0.981 -1.232 1.327 -0.681. 0.114 -1.135 1.284 -1.201 0.758 0.590 -1.007 0.390 0.836. -1.52 -1.053 -0.083 0.619 0.840 -1.258 -0.354 0.629 -0.242. 1.680 -1.236 -0.803 0.537 -1.100 1.417 -1.024 0.671 0.688. -0.123 -0.952 0.232 -0.793 -1.138 1.154 0.206 1.196 1.013. 1.518 -0.553 -0.987 0.167 -1.445 0.630 1.255 0.311 -1.726. 0.975 1.718 1.360 1.667 1.111 1.018 0.078 -1.665 -0.760. 1.184 -0.614 0.994 -0.089 0.947 1.706 -0.395 1.222 -1.351. 0.231 1.425 0.114 -0.689 -0.704 1.070 0.262 1.610 1.489. -1.602 0.020 -0.601 -0.020 -0.601 -0.235 1.245 1.226 -0.204. 0.926 -1.297 %輸入數據Y=0.086 2.210 0.486 -1.812 -3.705 -2.688 1.577 2.883 3.705. 1.642 0.805 -2.088 0.946 -0.039 1.984 -2.545 -1.727 -0.231. 2.440 3.583 2.915 1.443 3.598 0.702 2.638 3.611 -0.168. 1.732 0.666 2.377 -0.554 -2.088 2.698 0.189 -1.633 -2.010. 1.716 -1.641 -1.885 1.061 -0.968 2.911 3.088 -1.629 -1.533. 3.030 0.614 -1.483 -1.029 -1.948 -1.066 -0.113 -2.144 -2.626. 0.134 -3.043 -1.341 0.338 2.702 3.813 -1.924 -2.813 -1.795. 3.002 1.027 1.027 2.755 3.584 1.737 -0.837 -0.617 1.703. 2.045 -2.886 -0.542 -2.991 -1.859 3.045 0.068 -0.375 0.451. 1.036 0.153 -0.474 2.512 -2.681 -0.954 -0.307 0.628 -0.270. -0.277 0.983 -0.288 0.846 1.325 0.723 1.750 1.401 1.340. 0.916 1.396 2.446 2.103 2.432 -1.486 3.031 2.373 -0.763. -0.752 -3.207 1.385 -1.642 -0.118 1.756 -1.613 -1.690 2.136. -1.136 -0.005 -2.210 2.331 -2.204 0.983 1.347 -1.691 0.595. 1.809 -2.204 -2.330 -0.454 1.290 2.080 -1.990 -0.770 1.240. -0.252 3.137 -2.379 1.206 1.221 -1.977 2.471 -1.680 1.148. 1.816 0.055 -1.856 0.269 -1.323 -2.486 1.958 0.823 2.481. 2.209 3.167 -0.762 -2.225 -0.123 -2.786 1.026 2.843 1.071. -3.317 1.514 3.807 3.388 3.683 -1.935 -1.935 0.309 -3.390. -2.124 2.192 -0.855 -1.656 0.016 1.804 3.774 -0.059 2.371. -2.322 -0.032 2.632 0.565 -1.460 -1.839 1.917 0.865 3.180. 3.261 -2.755 -0.536 -1.171 -0.905 -3.303 -0.834 2.490 3.039. 0.134 1.901%輸出數據na=2;nb=1;nc=2;d=1;nn=max(na,nc);L=size(Y,2);xiek=zeros(nc,1); %白噪聲估計初值yfk=zeros(nn,1); %yf(k-i)ufk=zeros(nn,1); %uf(k-i)xiefk=zeros(nc,1); %vf(k-i)thetae_1=zeros(na+nb+1+nc,1); %參數估計初值P=eye(na+nb+1+nc);for k=3:L %構造向量 phi=-Y(k-1);-Y(k-2);U(k-1);U(k-2);xiek; %組建h（k） xie=Y(k)-phi*thetae_1; phif=-yfk(1:na);ufk(d:d+nb);xiefk; %遞推極大似然參數估計算法 K=P*phif/(1+phif*P*phif); thetae(:,k)=thetae_1+K*xie; P=(eye(na+nb+1+nc)-K*phif)*P; yf=Y(k)-thetae(na+nb+2:na+nb+1+nc,k)*yfk(1:nc); %yf(k) uf=U(k)-thetae(na+nb+2:na+nb+1+nc,k)*ufk(1:nc); %uf(k) xief=xie-thetae(na+nb+2:na+nb+1+nc,k)*xiefk(1:nc); %vf(k) %更新數據 thetae_1=thetae(:,k); for i=nc:-1:2 xiek(i)=xiek(i-1); xiefk(i)=xiefk(i-1); end xiek(1)=xie; xiefk(1)=xief; for i=nn:-1:2 yfk(i)=yfk(i-1); ufk(i)=ufk(i-1); end yfk(1)=yf; ufk(1)=uf;endthetae_1figure(1)plot(1:L,thetae(1:na,:);xlabel(k); ylabel(參數估計a);legend(a_1,a_2); axis(0 L -2 2);figure(2)plot(1:L,thetae(na+1:na+nb+1,:);xlabel(k); ylabel(