勾股定理與方程.ppt

勾股定理的方程思想 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方 勾股定理 勾股定理的常見表達式和變形式 在直角三角中 如果已知兩邊的長 利用勾股定理就可以求第三邊的長 那么如果已知一條邊長及另兩邊的數(shù)量關系 能否求各邊長呢 感受新知1 二 例題 問題1 如何在實際問題中 利用勾股定理解決問題呢 例1 有一個水池 水面是一個邊長為l0尺的正方形 在水池正中央有一根蘆葦 它高出水面l尺 如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點 它的頂端恰好到達池邊的水面 水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少 例1 有一個水池 水面是一個邊長為l0尺的正方形 在水池正中央有一根蘆葦 它高出水面l尺 如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點 它的頂端恰好到達池邊的水面 水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少 設計意圖 1 能利用勾股定理解決簡單的實際問題 2 通過用代數(shù)式 方程等表述數(shù)量關系的過程 體會模型的思想 建立符號意識 3 初步學會在具體的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題 并綜合運用數(shù)學知識和方法等解決簡單的實際問題 增強應用意識 提高實踐能力 4 本題是我國古代數(shù)學著作 九章算術 中的問題 展現(xiàn)我國古人在勾股定理應用研究方面的成果 解決與勾股定理有關的實際問題時 先要抽象出幾何圖形 從中找出直角三角形 再設未知數(shù) 找出各邊的數(shù)量關系 最后根據(jù)勾股定理求解 小結 AB的中垂線DE交BC于點D AD BD BC 3 BD CD AD CD 3 如圖 在Rt ABC中 C 90 AC 1 BC 3 AB的中垂線DE交BC于點D 連結AD 則AD的長為 x 3 x 感受新知2 在直角三角形中 已知兩邊的數(shù)量關系 設其中一邊為x 利用勾股定理列方程 解方程 求各邊長 基本過程 如圖 有一張直角三角形紙片 兩直角邊AC 6cm BC 8cm 現(xiàn)將直角邊沿直線AD折疊 使點C落在斜邊AB上的點E 求CD的長 6 6 例1 解 在Rt ABC中AC 6cm BC 8cm AB 10cm 設CD DE xcm 則BD 8 x cm 由折疊可知AE AC 6cm CD DE C AED 90 解得x 3 CD DE 3cm BE 10 6 4cm BED 90 在Rt BDE中由勾股定理可得 8 x 2 x2 42 例1 問題2 如果一道題目中有多個直角三角形 我們?nèi)绾芜x擇在哪個直角三角形中利用勾股定理求解呢 例2 已知矩形ABCD沿直線BD折疊 使點C落在同一平面內(nèi)C 處 BC 與AD交于點E AD 8 AB 4 求DE的長 例2 已知矩形ABCD沿直線BD折疊 使點C落在同一平面內(nèi)C 處 BC 與AD交于點E AD 8 AB 4 求DE的長 方法一 方法二 例2 已知矩形ABCD沿直線BD折疊 使點C落在同一平面內(nèi)C 處 BC 與AD交于點E AD 8 AB 4 求DE的長 1 如果一道題目中有多個直角三角形 要選擇能夠用一個未知數(shù)表示出三條邊的直角三角形 邊也可為常數(shù) 在這個三角形中利用勾股定理求解 2 解決折疊問題的關鍵 在動 靜的轉(zhuǎn)化中找出不變量 小結 例2 已知矩形ABCD沿直線BD折疊 使點C落在同一平面內(nèi)C 處 BC 與AD交于點E AD 8 AB 4 求DE的長 注意 1 基本圖形 平行 角平分線 等腰三角形 知二推一 2 折疊問題 折疊圖形前后兩個圖形全等 最好在圖中標出相等的線段和角 練習 思考1 1 如圖 鐵路上A B兩點相距25km C D為兩村莊 DA AB于A CB AB于B 已知DA 15km CB 10km 現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E 使得C D兩村到E站的距離相等 則E站應建在離A站多少km處 解 設AE xkm 則BE 25 x km根據(jù)勾股定理 得AD2 AE2 DE2BC2 BE2 CE2又DE CE AD2 AE2 BC2 BE2即 152 x2 102 25 x 2 x 10答 E站應建在離A站10km處 x 25 x 思考1 在一棵樹BD的5m高A處有兩只小猴子 其中一只猴子爬到樹頂D后跳到離樹10m的地面C處 另外一只猴子爬下樹后恰好也走到地面C處 如果兩個猴子經(jīng)過的距離相等 問這棵樹有多高 A B C D 思考2 A B C D 解 如圖 D為樹頂 AB 5m BC 10m 設AD長為xm 則樹高為 x 5 m AD DC AB BC DC 10 5 x 15 x 在Rt ABC中 根據(jù)勾股定理得 解得x 2 5 答 樹高為7 5米 x 5 2 5 5 7 5 102 5 x 2 15 x 2 思考2 例3 已知 如圖 ABC中 AB 16 AC 14 BC 6 求 ABC的面積 問題3 如果題目中既沒有直角三角形 也沒有直角 怎么利用勾股定理求解 設計意圖 經(jīng)歷對幾何圖形的觀察 分析 初步掌握利用分割圖形構造直角三角形的方法 了解特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想 例3 已知 如圖 ABC中 AB 16 AC 14 BC 6 求 ABC的面積 方法一 例3 已知 如圖 ABC中 AB 16 AC 14 BC 6 求 ABC的面積 方法二 例3 已知 如圖 ABC中 AB 16 AC 14 BC 6 求 ABC的面積 小結 1 題目中既沒有直角三角形 也沒有直角 可考慮利用作垂線段 分割圖形的方法 構造直角三角形 2 斜化直 即 斜三角形化為直角三角形求解 例3 已知 如圖 ABC中 AB 16 AC 14 BC 6 求 ABC的面積 注意 1 本題可選擇列方程或方程組求解 當列方程組求解時 要注意開平方時 是兩種情況 要舍去負值 當列方程求解CD時 最好寫 可以省去后面的討論 2 本題也可以過A或B作對邊的高 問題4 如果題目中沒有直角三角形 但存在直角 怎么利用勾股定理求解 設計意圖 問題4 如果題目中沒有直角三角形 但存在直角 怎么利用勾股定理求解 1 經(jīng)歷對幾何圖形的觀察 分析 初步掌握利用 補 圖形構造直角三角形的方法 了解特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想 2 題目中設置的已知量并不是整數(shù) 意在增強學生的計算能力 小結 題目中沒有直角三角形 但存在直角 可以考慮 補 出直角三角形求解 實際上 本題利用 割 也有多種做法 小結 題目中沒有直角三角形 但存在直角 可以考慮 補 出直角三角形求解 實際上 本題利用 割 也有多種做法 注意 1 本題的解法很多 但是解法上卻有的簡單 有的復雜 要選擇好方法 2 注意不要跳步 不能直接用結論 含有30 的直角三角形的三邊的比為 如 要求CE 需先求DE 再由勾股定理求CE 問題5 如果將勾股定理中 直角三角形 改為 斜三角形 的關系會是怎樣呢 思考題 在 ABC中 BC a AC b AB c 若 C 90 如圖 根據(jù)勾股定理 則 若 ABC不是直角三角形 如圖 和圖 請你類比勾股定理 試猜想的關系 并證明你的結論 思考題 在 ABC中 BC a AC b AB c 若 C 90 如圖 根據(jù)勾股定理 則 若 ABC不是直角三角形 如圖 和圖 請你類比勾股定理 試猜想的關系 并證明你的結論 設計意圖 1 從證明方法角度看 通過利用 割 補 圖形構造直角三角形的方法 得出類似勾股定理的結論 它是本節(jié)課所學知識的綜合應用 2 從結論上看 三角形的邊長由具體的數(shù)變成了字母 結論具有普遍性 它也是本章第18 1小節(jié)勾股定理的推廣 體現(xiàn)了特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想 思考題 在 ABC中 BC a AC b AB c 若 C 90 如圖 根據(jù)勾股定理 則 若 ABC不是直角三角形 如圖 和圖 請你類比勾股定理 試猜想的關系 并證明你的結論 小結 若 ABC是銳角三角形 則有