【清華電路原理課件】第15章 拉普拉斯變換

第 15章 拉普拉斯變換 15.9 卷積定理 15.1 拉普拉斯變換 15.2 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 15.3 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 15.5 復(fù)頻域中的電路定律 、 電路元件與模型 15.6 拉普拉斯變換法分析電路 15.7 網(wǎng)絡(luò)函數(shù) 15.8 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn) 15.4 拉普拉斯反變換 本章重點(diǎn) 本章重點(diǎn) . 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) . 復(fù)頻域中的電路定律 . 運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納 . 拉普拉斯變換法分析電路的動(dòng)態(tài)響應(yīng) . 網(wǎng)絡(luò)函數(shù) . 返回目錄 15.1 拉普拉斯變換 一、拉氏變換（ Laplace transformation）的定義 ttfsF st de)()(0 正變換 de)(j21)( jjssFtf st反變換（ Laplace transformation） （ inverse Laplace transformation） f(t)和 F(s)是一對(duì)拉普拉斯變換 （ Laplace pairs） 對(duì) 。 記號(hào) f(t)表示取拉氏變換。 -1 F(s)表示取拉氏反變換。 f(t) ， t 0,)稱(chēng)為 原函數(shù)（ original function），屬時(shí) 域（ time domain）。原函數(shù) f(t ) 用小寫(xiě)字母表示，如 i(t )， u(t )。 F(s) 稱(chēng)為象函數(shù)（ transform function），屬?gòu)?fù)頻域 （ complex frequency domain） 。象函數(shù) F(s) 用大寫(xiě)字母 表示 ，如 I(s)， U(s)。 js稱(chēng)為復(fù)頻 率 （ complex frequency）。 積分下限從 0 開(kāi)始，稱(chēng)為 0 拉氏變換 。 積分下限從 0+ 開(kāi)始，稱(chēng)為 0+ 拉氏變換 。 當(dāng) f(t)含有沖激函數(shù)項(xiàng)時(shí)， 此項(xiàng) 0 0+ 拉氏變換和 0拉氏變換的區(qū)別： ttfttfttfsFstststde)(de)( de)()(0000 為了把 0- 0+時(shí)沖激函數(shù)的作用考慮到變換中，以下拉氏變 換定義式中積分下限從 0- 開(kāi)始。 二、拉氏變換存在條件 可進(jìn)行拉氏變換。存在，的全部范圍內(nèi)收斂，即在則時(shí)當(dāng))(de)(e)( 0e)(l i m 000tfttftftftttt 不同的 f (t)， 0的值不同，稱(chēng) 0為復(fù)平面 s內(nèi)的收斂橫坐標(biāo)。 0 j 0 收斂坐標(biāo) 收斂軸 收斂區(qū) 電工中常見(jiàn)信號(hào)為指數(shù)階函數(shù)，即 為有限實(shí)數(shù)。是正實(shí)數(shù)，式中 CMtMtf Ct ),0 e)( tMttf tCt dede)( )(00 CMC選進(jìn)行拉氏變換。就可以對(duì)衰減函數(shù)，為，則，選例)(ee)5(5e)( 505tftf ttt 由于單邊拉氏變換的收斂問(wèn)題較為簡(jiǎn)單，在下面的討論 中一般不再寫(xiě)出其收斂范圍。 返回目錄 0e1 sts0)(e1 tasas as 1 0 de0 tst)()(.1 ttf )(e)(.2 ttf at )()(.3 ttf 00d)( tt= 1 s115.2 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 0 ( ) ( ) e dstt t t 0 e e e da t a t s t t j 1 e jts 0 ( ) ( ) e dstt t t 0elimstnttnttf )(.4stnst ed0nststntsstdee00 ttsn stn de01 0 e dn n s tt t t n nts 1nt 1n當(dāng) ，21ts ； n當(dāng) 2，232ts ； 依 次 類(lèi) 推 ， 得1nnnts 1 f1(t) e-t t 0 例 求圖示兩個(gè)函數(shù)的拉氏變換式 ssF1)(1 f2(t) e-t t 0 解 由于定義的拉氏變換積分下限是 0 ，兩個(gè) 函數(shù)的拉氏變換式相同 ( 0)t 當(dāng)取上式的反變換時(shí)，只能表示出 0t 區(qū)間的函數(shù)式 返回目錄 1 e ts 1 15.3 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 一、線性（ linearity）性質(zhì) 1 1 12 j j jss 22s)11(ssA1 1 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( )f t F s f t F s若 12 ( ) ( ) a f t b f t則 )()( 21 sbFsaF As A例 1 ( 1 e ) tA 例 2 s i n t例 3 jj1 ( e e ) 2jtt 二、原函數(shù)的微分（ differentiation） s i n1 022 tss 22 ss1)(1 0 tss ( ) ( )f t F s設(shè) d ( ) ( ) ( 0 )dft s F s ft則 11 ( )0d ( ) ( ) ( 0 )dn nn n k knkft s F s s ft 1d c o s ( s i n ) dttt例 1 ( ) t d ( ) dtt例 2 三、原函數(shù)的積分（ integration） 例 ( ) ( )f t F s設(shè) 01 ( ) d ( )t f F ss 則 t 0 ( ) d t 2 ( ) 1tss 四、時(shí)域平移（ time shift） f(t) (t-t0) t t0 0 t f(t-t0) (t-t0) t0 0 f(t) (t) t 0 f(t) (t) f(t-t0) (t-t0) 平移 f(t) (t-t0) 不是平移 ( ) ( )f t F s設(shè) 000 ( ) ( ) e ( )stf t t t t F s 則 例 1 求圖示函數(shù)的拉氏變換式 )()()( Ttttf sTsssF e11)()()()( Tttttf )()()()()( TtTTtTttttf sTsTsTsssF ee11)( 22例 2 求圖示函數(shù)的拉氏變換式 1 T t f(t) 0 T T f(t) 0 例 3 周期函數(shù)（ periodic function）的拉氏變換。 設(shè) f1(t)為第一個(gè)周期的函數(shù)， )2()2( )()()()()(111TtTtfTtTtfttftf證：eee1)( 321 sTsTsTsF)(e111 sFsT. t f(t) 1 T/2 T 0 11 ( ) ( )f t F s 11 ( ) ( )1e sTf t F s則 21 1 1 ( ) ( ) e ( ) e ( )s T s Tf t F s F s F s )e1()e1(1)( 2TssTssF )e1(12Tss)2()()(1 Ttttf )e1(1)( 21TsssF五、 復(fù)頻域平移（ frequency shift） ( ) ( )f t F s設(shè) e ( ) ( )t f t F s 則 六、初值 (initial-value)定理和終值 (final-value)定理 )(lim)(lim)0(0ssFtffst 初值定理 若 f(t)=F(s)，且 f(t)在 t = 0處無(wú)沖激， 則 22)( ss2)(1s22)( s例 1 例 2 例 3 存在時(shí))(lim tft )(lim)(lim0ssFtfst 終值定理 f(t)及其導(dǎo)數(shù) f (t)可進(jìn)行拉氏變換，且 ，則 e tt e s in t t e c o s t t 例 1 11l i m)( 0 sstst例 2 2215)(sssI3)/212/115(l i m)2215(l i m)0( sssssiss例 3 1)111(l i m)(0 ssstist返回目錄 1 ( ) ts 11( ) 1 e 1-tIsss 15.4 拉普拉斯反變換 一、由象函數(shù)求原函數(shù) （ 2）經(jīng)數(shù)學(xué)處理后查拉普拉斯變換表 )()()()( 21 sFsFsFsF n)()()()( 21 tftftftf n象函數(shù)的一般形式： )( )()()( 11011021 mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm 二、將 F(s)進(jìn)行部分分式展開(kāi)（ partial-fraction expansion） f(t)=L-1F(s) （ 1）利用公式 jj1( ) ( ) e d 02 jstf t F s s t較麻煩 nsssF ，有不等實(shí)根 12 0)(.1 nnssksskssksF2211)(nitsiiktf1e)(1)()( 11 sssFssk 2)()( 22 sssFssk nssnnsFssk )()()( 1ss )( 1ss)( 1ss)( 1ss等式兩邊同乘 (s-s1) =0 )()()(l i m211sFsFsssF iss i )()(21iiFsF)()(21iii sFsFkki也可用 分解定理 求 nitsii isFsFtf1 21 e)()()()()(lim21sFsssFk issi inniissksskssksFsFsF 1121)()()()( iss )( iss)( iss)( iss等式兩邊同乘（ s-si） )( iss應(yīng)用洛比達(dá)法則求極限 0021321sksksk5.2)( 01 SssFk2( ) 2 . 5 5 e 1 . 5 e ( 0 )ttf t t )2)(1(52sssss例 1 )23(5)( 22ssssssF5)1)( 12 SssFk5.1)2)( 23 SssFk例 2 52)(2 ssF用分解定理 2311s - 2 s - 32223( ) ( )( ) e e( ) ( ) 3 e 7 e ( 0 )ttttF s F sftF s F st 6554)(2 ssssF)()(21iii sFsFk32 21 ss21122ss2( ) 2 ( ) 2 e e ( 0 )ttf t t t )2)(1(32sss例 3 23772)(22sssssF m n，用長(zhǎng)除法，得 有共軛復(fù)根)( .2 2 sF12()jjkkFsss k1 , k2也是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)。 )eeee()( )j(j)j(j tt kktf eee )(j)(j tttk2 e c o s ( ) ( 0 )tk t t 1 , 2 js 假設(shè)只有兩個(gè)根 j1 ekk j2 ekk可據(jù)前面介紹的兩種方法求出 k1 , k2。 設(shè) 52)( 2ssssF 2j11 s6.26559.024j22j122 2j11 Sssk6.26559.024j22j122 2j12 Sssk)6.262co s (e5 5 9.02)( ttf t0)6.262co s (e12.1 ttt 例 2j12 s法一： 部分分式展開(kāi)，求系數(shù)。 法二： 522 sss2222 2)1(12)1(1sss1( ) e c o s 2 e s i n 2 ( 0 )2ttf t t t t ( ) 1 . 1 2 e c o s ( 2 2 6 . 6 ) ( 0 )tf t t t 或 表 示 為 22 2)1( ss將 F2(s)改寫(xiě)為 (s )2 + 2 22 2)1(11ss有相等的實(shí)根（重根）)(.3 2 sF21211211)()()()(sskssksssFsF1)()( 212 SSsFssk 1)()(dd 211 SSsFsssk 21121 )()( kssksssF 等式兩邊乘 21 )( ss 1112( ) e e ( 0 )s t s tf t k k t t 221)1()1( SkSk2)1(52)(sssF3)1()1(521222 Ssssk2)52(dd11 Sssk0e3e2)( tttf tt例 1 32322221)2()2()2( sksksk32)2(22)(ssssF例 2 2)2()2(42233223 Sssssk等式兩邊乘 3)2( s23222213 )2()2()2)( kskskssF 122dd21)2()2()22(dd21223322221 ss sssssssk2 2 2 2( ) e 2 e e ( 0 )t t tf t t t t 2)22()2()2(22dd2233222 sS ssssssk22213 )2(2)2)(dd kskssFs32 )2(2)2(2)2(1)(ssssF23222213 )2()2()2)( kskskssF 213222)2)(dd kssFs )()(1110nmmmssasasasFnnnnsskssksskssksF)()()()(111121211 一般多重根情況 1)()( 1 SSnn sFssk 1)()(dd11 SSnn sFsssk 1)()(dd211222 SSnn sFsssk 1)()(dd)!1(11111 SSnnnsFsssnk 返回目錄 一、電路元件的運(yùn)算形式（ operator form） 電阻 R u = R i )()( sGUsI )()( sRIsU 15.5 復(fù)頻域中的電路定律 、 電路元件與模型 + u - i(t) R + U(s) - I(s) R 取拉氏變換 電感 L tiLu LL dd)0()()0()()(LLLLLLiss L IissILsUsisLsUsI LLL)0()()( iL + uL - L + - sL )0( LLiUL(s) IL(s) - + 取拉氏變換 )0(d10 LtLL ituLisL + - UL(s) IL(s ) si L /)0( 電容 C susIsCsU CCC )0()(1)()0(d10 CtCC utiCu)0()()( CCC Cuss CUsI+ uC - iC IC(s) 1/sC uC(0-)/s UC(s) + - - + 1/sC CuC(0-) IC(s) UC(s) - + 取拉氏 變換 tuCi CC ddtiMtiLutiMtiLudddddddd12222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111Miss M IiLsISLSUMiss M IiLsISLSU互感 M 取拉氏 變換 M L 1 L 2 i 1 i 2 + u 1 - + u 2 - + U2(s) - + - I1(s) sL1 sL2 sM + - + + - - U1(s) I2(s) )0(11 iL )0(22 iL )0(1 Mi)0(2 Mi+ - 1211uuRiu)()()()(1211sUsURsIsU受控電源 + - U1(s) + - R I1(s) U1(s) + - U2(s) + u 1 - + u 2 - R i1 u1 + - 二、電路定律的運(yùn)算形式 0 K V L 0 K C Lui 0)( sU 0 )( sI ttiCtiLiRu0d1dd)(1)()()( sIsCss L IRsIsU + u - i R L C 設(shè)電路無(wú)初始儲(chǔ)能 + U(s) - I(s) R sL 1/sC )1)(sCsLRsI sCsLRsZ 1)( )()()( sIsZsU )()()( sUsYsI )(1)(sZsY 運(yùn)算形式的歐姆定律 運(yùn)算阻抗 （ operational impedance） 運(yùn)算導(dǎo)納 （ operational admittance） 三、運(yùn)算電路模型 （ 1）電壓、電流用象函數(shù)形式。 （ 2）元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納。 （ 3）電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。 時(shí)域電路 0)0( 0)0( LC iuR R L C i1 i2 E(t) + - 運(yùn)算電路 R R sL 1/sC I1(s) I2(s) E/s + - uC(0-) = 25V iL(0-) = 5A 時(shí)域電路 t =0 時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān) 例 5 2F 20 10 10 0.5H 50V + - uC + - iL 換路后 運(yùn)算電路 0.5s UC(s) 20 - + + 1/2s 25/s 2.5 5 IL(s) + - - 解 返回目錄 15.6 拉普拉斯變換法分析電路 步驟 （ 1）由換路前電路計(jì)算 uC(0-) , iL(0-) ； （ 2）畫(huà)運(yùn)算電路模型； （ 3）應(yīng)用電路分析方法求出待求變量的象函數(shù)； （ 4）反變換求原函數(shù)。 V100)0( Cu已知：t = 0時(shí)閉合 S，求 iL， uL。 例 1 200V 30 0.1H 10 - uC + 1000F iL + - uL + - S A5)0(1 Li）（ 2）畫(huà)運(yùn)算電路 ssL 1.0sssC1 0 0 0101 0 0 0116V100)0( Cu200/s 30 0.1s 0.5 10 1000/s 100/s I1(s) I2(s) + + + - - - 解 3 回路法）（221 )200()40000700(5)(sssssI5.0200)(10)1.040)( 21 ssIssIssIssI 100)()1 0 0 010()(10 21 )(1 sI)(2 sI200/s 30 0.1s 0.5 10 1000/s 100/s I1(s) I2(s) + + + - - - )(l i m)0()0( 1 ssFii sL 5200400)40000700(5l i222 sssss)(l i m)()( 01 ssFii sL 5200400)40000700(5l i m2220 sssss2222111 )2 0 0(2 0 0)( sKsKsKsI（ 4）反變換求原函數(shù) 221 )200()40000700(5)(sssssI校核初值和終值 01 )( SssFK5200400)40000700(50222Sssss1500)200)( 2 0 0222 SssFK2222111 )2 0 0(2 0 0)( sKsKsKsI0)()200(dd2 0 0221 SsFssK21 )2 0 0(1 5 0 0)2 0 0(05)(ssssI2001( ) ( ) ( 5 1 5 0 0 e ) A ( 0 )tLi t i t t t 5.0)()( 1 sLsIsU L2)200(3 0 0 0 0200150ss2 0 0 2 0 0( ) 1 5 0 e 3 0 0 0 0 e V ( 0 )ttLu t t t 要考慮初值 思考： uL是哪兩端 的電壓？ 200/s 30 0.1s 0.5 10 1000/s 100/s I1(s) I2(s) + + + - - - U