彈性力學ppt課件.ppt

6 1基本量及基本方程的矩陣表示 6 2有限單元法的概念 6 3單元的位移模式與解答的收斂性 6 4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 6 5單元的結(jié)點力列陣與勁度列陣 6 6荷載向結(jié)點移置單元的結(jié)點荷載列陣 6 7結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點的平衡方程組 6 8解題的具體步驟單元的劃分 6 9計算成果的整理 6 10計算實例 第六章用有限單元法解平面問題 有限單元法工程應(yīng)用實例1 頭盔撞擊試驗仿真模型與結(jié)果 有限單元法工程應(yīng)用實例2 高強鋼板厚度10mm 材料考慮應(yīng)變率影響和失效 不受任何約束 模擬受初始速度為120m s和180m s鋼球的沖擊過程 穿甲試驗仿真 初速度為120m s 初速度為180m s 有限單元法工程應(yīng)用實例3 動畫顯示的是地基中心點的沉降隨線性荷載的變化過程 云圖顯示莫爾庫侖材料的塑性區(qū)形成和大變形塑性流動過程 群樁復合地基承載力計算結(jié)果 6 1基本量及基本方程的矩陣表示 體力列陣 面力列陣 應(yīng)力列陣 應(yīng)變列陣 位移列陣 物理方程 稱為彈性矩陣 對于平面應(yīng)變問題 只需將彈性矩陣 D 中的E 分別換成即可 平面應(yīng)力問題 則虛功方程可用矩陣表示為 幾何方程 此外 用限單元法還要用到虛功方程 現(xiàn)將虛位移及與該虛位移相應(yīng)的虛應(yīng)變表示為 對連續(xù)變形體 它可以代替平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件 1 對連續(xù)體進行離散化 6 2有限單元法的概念 有限單元法是用由有限多個 有限大小的單元在有限個結(jié)點相互連接的集合體來近似原來的連續(xù)體 當上述單元足夠小從而劃分網(wǎng)格足夠密時 就可以真實地模擬原連續(xù)體 有限單元法分析的基本步驟 2 單元分析 1 選擇適當?shù)奈灰颇Ｊ?用單元結(jié)點位移 為基本未知量 來表示單元內(nèi)任一點的位移 即要建立如下關(guān)系式 對于平面問題 最簡單而常用的單元是三角形單元 在平面應(yīng)力問題中 它們是三角板 在平面應(yīng)變問題中 它們是三棱柱 結(jié)點 鉸接點 d e稱為單元結(jié)點位移列陣 2 應(yīng)用幾何方程 求出單元的應(yīng)變 即 3 應(yīng)用物理方程 求出單元的應(yīng)力 即 其中 S 稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 其中 N 稱為形函數(shù)矩陣 其中 B 稱為應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣 5 將作用在單元上的外荷載按虛功相等的原則 移置到單元各結(jié)點處 成為單元結(jié)點荷載 4 由于單元產(chǎn)生了應(yīng)力 則在單元的邊界及內(nèi)部作用有與之平衡的面力和體力 現(xiàn)將其按虛功相等的原則移置到單元各個頂點處 作為結(jié)構(gòu)其它部分通過結(jié)點對此單元的作用力 稱單元結(jié)點力 再利用虛功方程 得 即為單元結(jié)點力 k 稱為單元勁度矩陣 對各結(jié)點進行平衡分析 列平衡方程并組集 得到整體結(jié)點平衡方程組 其中 K 稱整體勁度矩陣 其中 3 整體分析 6 3單元的位移模式與解答的收斂性 對三結(jié)點三角形單元 假設(shè)位移分量只是坐標的線性函數(shù) 即 由左邊三個方程求解a1 a2 a3 右邊三個方程求解a4 a5 a6 再代回u v中 得 在i j m三個結(jié)點 位移應(yīng)當?shù)扔诮Y(jié)點位移 即 一 位移模式 其中 Ni Nj Nm稱形函數(shù) 其表達式為 為單元ijm的面積 為使面積不致為負 在圖示坐標系中i j m的次序須是逆時針的 而 分別為系數(shù)行列式第一 二 三列各元素的代數(shù)余子式 則單元內(nèi)任一點的位移可用矩陣表示為 為單元結(jié)點位移列陣 為形函數(shù)矩陣 其中 簡寫為 二 形函數(shù)的幾何意義及性質(zhì) 記三角形單元ijm內(nèi)的任一點為P x y 則知形函數(shù)的幾何意義為 由此幾何意義容易看出形函數(shù)具有如下性質(zhì) 為了保證有限單元法解答的收斂性 必須使位移模式能夠正確反映物體的真實位移形態(tài) 具體說來 就是要滿足下列三方面的條件 位移模式必須能反映單元的剛體位移 位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變 位移模式應(yīng)當盡可能反映位移的連續(xù)性 在ij及im兩邊的中點 在三角形ijm的形心 三 解答的收斂性 解答的收斂性是指 當單元的尺寸逐步取小時有限單元法的解答收斂于真實的解答 注意 為必要條件 為充分條件 6 4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 其中 B 稱應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣 可寫成 或簡寫為 將位移u v代入幾何方程 可得用結(jié)點位移表示的單元應(yīng)變 再將單元的應(yīng)變代入物理方程 得到用結(jié)點位移表示的單元應(yīng)力 其中 可簡寫為 稱應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 可寫成分塊形式 注意 由于矩陣 B 的元素都是常量 可見應(yīng)變 e 的元素也是常量 因此三結(jié)點三角形單元也稱為平面問題的常應(yīng)變單元 平面應(yīng)力 注意 在每個單元中 應(yīng)力分量也是常量 由于相鄰單元一般將具有不同的應(yīng)力 因而在它們的公共邊上 應(yīng)力并不連續(xù) 6 5單元的結(jié)點力列陣和勁度矩陣 另一方面 由虛功方程有 由于單元產(chǎn)生了應(yīng)力 則在單元的內(nèi)部及邊界作用有與之平衡的體力和面力 現(xiàn)將其按虛功相等的原則移置到單元各個頂點處 成為單元結(jié)點力 設(shè)單元結(jié)點i j m發(fā)生了虛位移 即 則有 于是由以上兩式 得 t 單元厚度 則 其中 k 稱為單元勁度矩陣 由于虛位移可以是任意的 再令 代入上式 注意到 對三結(jié)點三角形單元ijm k 可寫成分塊形式 平面應(yīng)力 例 圖示等腰直角三角形單元ijm 試寫出單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 S 和勁度矩陣 k 在圖示坐標下 解 下面求單元的勁度矩陣 k 單元勁度矩陣 k 元素的力學意義 同理可求其它分塊 最后得 單元勁度矩陣 k 的特點 注意到只有結(jié)點i上有位移 其它結(jié)點位移均為零 則有 例 上例中若j m處為固定鉸鏈支座 結(jié)點i處作用有水平力P和豎直力P 求單元位移分量u v 解 知 其中 由于 即 于是 所以 而由上例結(jié)果知 解得 6 6荷載向結(jié)點移置單元的結(jié)點荷載列陣 本節(jié)將按虛功相等原則將單元所受實際荷載 集中荷載 體力 面力 向單元結(jié)點移置而成為單元結(jié)點荷載 在一定位移模式下 這樣移置的結(jié)果是唯一的 且原荷載與移置后的結(jié)點荷載在向同一點簡化時 具有相同的主矢量和主矩 一 集中荷載 設(shè)在點M有集中力 為單位厚度上力的大小 則可推得 即 t為厚度 二 分布體力 設(shè)單元受有分布體力 則可將微分體積tdxdy上的體力 即 當作集中荷載 利用以上結(jié)果并積分得到 例 設(shè)單元ijm的密度為r 試求自重的等效結(jié)點荷載 解 由于 則 三 分布面力 設(shè)單元某邊上受有分布面力 則可將微分面積tds上的面力 即 當作集中荷載 利用其結(jié)果并積分得到 例 設(shè)單元在ij邊上受有沿x方向的均布面力q 試求等效結(jié)點荷載 結(jié)論 在采用線性位移模式的情況下 單元荷載向結(jié)點的移置與理論力學的剛體靜力等效原則完全一致 解 由于 則 6 7結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點的平衡方程組 由前面的單元分析知 在有限單元法中 各個單元只受單元結(jié)點力 F e作用且處于平衡狀態(tài) 本節(jié)則進一步說明如何進行結(jié)點平衡分析 對于結(jié)構(gòu)中的任一結(jié)點n 作用于其上的力有兩種 一種是圍繞結(jié)點n的單元對結(jié)點n的作用力 Fn 這種力為單元結(jié)點力的反作用力 另一種是作用于結(jié)點n上的整體結(jié)點荷載 FLn 包括從圍繞結(jié)點n的單元上移置過來的單元結(jié)點荷載 以及本來就作用于結(jié)點n上的集中荷載或支反力 則結(jié)點n的平衡方程為 其中是對圍繞結(jié)點n的單元求和 再代入單元結(jié)點力與單元結(jié)點位移的關(guān)系 并將同一結(jié)點位移的項合并 可得 q為結(jié)點總數(shù) 稱為整體結(jié)點位移列陣 稱為整體結(jié)點荷載列陣 K 為整體勁度矩陣 它是由單元勁度矩陣按結(jié)點的局部編碼 i j m 與整體編碼的對應(yīng)關(guān)系組集而成的 結(jié)構(gòu)整體分析的步驟 1 組集整體勁度矩陣 K 3 引入位移約束條件 4 求解整體結(jié)點平衡方程組 K d FL 得結(jié)點位移 d 5 求各單元的位移 應(yīng)力 將所有結(jié)點的平衡方程按結(jié)點整體編碼組集 得整體結(jié)點平衡方程組 其中 2 組集整體結(jié)點荷載列陣 FL 如圖正方形薄板劃分為兩個單元 厚度為t 密度為r 彈性模量為E 取泊松比m 0 各單元直角邊長為a 結(jié)點的局部編碼與整體編碼的對應(yīng)關(guān)系如下 要求各結(jié)點的位移和各單元的應(yīng)力 下面用實例說明以上求解過程 一 組集整體勁度矩陣 K 整體勁度矩陣 K 以整體編碼排列 而單元勁度矩陣 k e以局部編碼排列 故要把單元勁度矩陣的各子矩陣按對應(yīng)的整體編碼集成 組集整體勁度矩陣 K 的方法為 將 K 的全部元素充零 逐個單元地建立 k e 然后按單元e中局部編碼與整體編碼的對應(yīng)關(guān)系 對所有單元完成上述疊加后 就形成了整體勁度矩陣 K 整體勁度矩陣 K 的特點 對稱 對角線元素 0 奇異 二 組集整體結(jié)點荷載列陣 FL 結(jié)點n上的整體結(jié)點荷載 FLn 包括從圍繞結(jié)點n的單元上移置過來的單元結(jié)點荷載 以及本來就作用于結(jié)點n上的集中荷載或支反力 各單元的結(jié)點荷載列陣為 本來就作用于各結(jié)點上的集中荷載或支反力為 組集關(guān)系為 最后得結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點荷載列陣為 三 引入位移約束條件 結(jié)構(gòu)的位移約束 即已知的結(jié)點位移分量 為 于是 整體結(jié)點位移列陣簡化為 引入位移約束的方法為 1 將與已知的結(jié)點位移分量相應(yīng)的平衡方程去掉 從而去掉了 FL 中的未知支反力 本例中即劃去 K FL 中的第1 2 3 5 6 8行 2 將零結(jié)點位移分量代入其余的平衡方程 從而去掉了 d 中的已知結(jié)點位移分量 本例中即劃去 K 中的第1 2 3 5 6 8列和 d 中的零結(jié)點位移分量 整體結(jié)點荷載列陣簡化為 為何不可立即求解方程組 K d FL 整體勁度矩陣簡化為 最后得 可見引入位移約束條件后 K 仍為對稱矩陣 但卻是非奇異的 四 求解整體結(jié)點平衡方程組 K d FL 得結(jié)點位移 d 解得 五 求各單元應(yīng)力 問題 如何求支座的約束反力 列出結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點平衡方程組 K d FL 引入位移約束