（機械電子工程專業(yè)論文）平面一般輪廓對象多指抓取方案的自動規(guī)劃.pdf

摘要 本文研究平面一般輪廓對象多指抓取方案的自動規(guī)劃方法，適用于具有四個手指的多 指靈巧手。該研究的核心內(nèi)容是：建立多指抓取的數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)多指靈巧手的手指在工 件的抓取邊界上的分布位置的自動規(guī)劃。首先建立數(shù)學(xué)模型，接觸點位置的計算。一個抓 取方案中四個手指接觸點位置之間的函數(shù)關(guān)系是多只手抓取的基本問題，也是實現(xiàn)自動抓 取規(guī)劃的算法基礎(chǔ)。建立了表示形封閉抓取方案中手指接觸點位置的基本函數(shù)和四個手指 接觸點之間的位置函數(shù)關(guān)系，也為各種抓取方案的優(yōu)化方法提供數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)工具。接 著分析瞬心三角形的形態(tài)和抓取邊類型的關(guān)系，研究瞬心三角形形態(tài)一致性的保持方法和 混合抓耿邊的四指抓取規(guī)劃的具體步驟。最后根據(jù)本文建立的多指抓取的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行編 程，在v c + + 6 0 平臺上開發(fā)了平面一般輪廓對象多指抓取方案的自動規(guī)劃的原型系統(tǒng)， 該系統(tǒng)通過對幾個實例的測試，驗證了規(guī)劃方法和建立的數(shù)學(xué)模型。 關(guān)鍵字：多指抓取，平面一般輪廓，形封閉，瞬心三角形，抓取規(guī)劃，抓取區(qū)域，自 動規(guī)劃 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , a na u t o m a t e dp l a n n i n ga p p r o a c hf o rm u l t i f i n g e r e dg r a s pi sp r e s e n t e d ，w h i c h i ss u i t e dt od e x t e r o u sh a n dw i t hf o u rf i n g e r s a n dt h eo b j e c th a so r d i n a r yp l a n a rc o n t o u r t h e m a i nw o r ki nt h i ss t u d yi st oe s t a b l i s hm a t h e m a t i c a lm o d e lo f m u l t i f i n g e r e dg r a s pa n dt or e a l i z e t h a tt h eg r a s pa u t o m a t e dp l a n n i n gi st od e t e r m i n et h ec o n t a c tp o i n tp o s i t i o no ft h ef i n g e r si nt h e g e o m e t r yc o n t o u ro fg r a s p e do b j e c t f i r s t ，e s t a b l i s hm a t h e m a t i c a lm o d e l i ti st h eb a s i cp r o b l e m t h a tt oc a l c u l a t et h ec o n t a c tp o i n tp o s i t i o na n dt od e t e r m i n et h ep o s i t i o nf i m c t i o n sa m o n gf o u r c o n t a c tp o i n to fd e x t e r o u sh a n d i ti sa l s oa na l g o r i t h mt h a tt or e a l i z et h a tt h eg r a s pa u t o m a t e d p l a n n i n g t h ef t m c t i o no fc o n t a c tp o i n tp o s i t i o no ff i n g e r , a n dt h er e t l a t e df u n c t i o na m o n gf o u r f i n g e r sp o s i t i o na r ee s t a b l i s h e d i ti sb a s i cm a t h e m a t i c a le q u a t i o n st oe v a l u a t et h eg r a pp l a nf o r f o u rf i n g e r sd e x t e r o u sh a n d s t h e nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec o n f i g u r a t i o no fi n s t a n c e r o t a t i o nc e n t e rt r i a n g l ea n dt h et y p eo fg r a s p e de d g em u s th ea n a l y z e d ，a n dt h ek e e p i n gm e t h o d s o fc o n s i s t e n c yf o rt h ec o n f i g u r a t i o nc h a n g eo fi n s t a n c er o t a t i o nc e n t e rt r i a n g l ea r ee s t a b l i s h e d t h ea p p r o a c ht og r a s p i n gp l a n n i n gf o ro r d i n a r yc o n t o u ro b j e c tc a nb ee s t a b l i s h e d l a s t l y , t h e p r o g r a mi sw r i t e db a s eo ne s t a b l i s h e dm a t h e m a t i c a lm o d e lo f t h i sp a p e r ap r o t o t y p es y s t e mi s d e v e l o p e dw i t hv i s u a lc + + 6 0 a n ds o m es a m p l e sp r o v et h ep l a n n i n ga p p r o a c ha n de s t a b l i s h e d m a t h e m a t i c a lm o d e l i n v o l v e di nt h i sp a d e l k e yw o r d s ：m u l t i - f i n g e r e dg r a s p ，o r d i n a r yp l a n a rc o n t o u r , f o r mc l o s u r e ，i n s t a n c er o t a t i o n c e n t e rt r i a n g l e ，g r a s p i n gp l a n n i n g ，g r a s p i n gd i s t r i c t ，a u t o m a t i cp l a n i n g i i 學(xué)位論文獨創(chuàng)性聲明： 本人所呈交的學(xué)位論文是我個人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取 得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論 文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。與我一同工作的同事 對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。 如不實，本人負(fù)全部責(zé)任。 論文作者( 簽名) ： 盛；每芻上 學(xué)位論文使用授權(quán)說明 2 0 0 6 年j 月玎日 河海大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)信息研究所、國家圖書館、中國學(xué)術(shù)期刊 ( 光盤版) 電子雜志社有權(quán)保留本人所送交學(xué)位論文的復(fù)印件或電子文 檔，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文。本人電子文檔的內(nèi) 容和紙質(zhì)論文的內(nèi)容相一致。除在保密期內(nèi)的保密論文外，允許論文被 查閱和借閱。論文全部或部分內(nèi)容的公布( 包括刊登) 授權(quán)河海大學(xué)研究 生院辦理。 ，、 論文作者( 簽名) j 毯i ：盟丑墨 2 0 0 6 年3 月到百 第一奇緒論 第一章緒論 1 1 課題背景 深海和太空探索等遠(yuǎn)程作業(yè)、危險環(huán)境下的精確操作、精密產(chǎn)品的自動裝配，這些應(yīng) 用背景均需要具有精細(xì)操縱能力的機械手，靈巧多指機械手應(yīng)運而生。多指手企圖通過從 結(jié)構(gòu)與功能上模仿人手，實現(xiàn)對各種形狀物體的靈巧操作和精確的力控制與運動控制，達(dá) 到解決一些復(fù)雜作業(yè)問題的能力。白上世紀(jì)8 0 年代起，在遍及世界的實驗室中出現(xiàn)了各 種類型的多指靈巧機械手川。二多年來人們關(guān)于這種機械手的設(shè)計、分析、規(guī)劃和控制 相關(guān)的問題認(rèn)識不斷加深，關(guān)于多指抓耳) c 的描述以及操縱過程的刻劃、抓取質(zhì)量分析方法、 控制策略、觸覺傳感等方而的研究，取得了很大的進(jìn)步。實驗表明多指手確實擴展了工業(yè) 機器人的性能，但同時也證明多指手的控制和規(guī)劃十分復(fù)雜岡此能適應(yīng)各種形狀和要求 的抓取規(guī)劃方法成了這類機械手研究的熱點內(nèi)容。 1 2 多指抓取規(guī)劃的相關(guān)概念 1 2 1 抓取模型 機械手抓取個對象，首先關(guān)心的是抓取的穩(wěn)定性，即在抓取過程結(jié)束時，必須保證 在機械手的全部手指到達(dá)被抓取物體上的指定位置之后，被抓取對象與機械手手指之間不 再存在相對運動。研究抓取特性的第一步就是研究抓取模型，而手指指尖的點接觸模型是 最早進(jìn)行研究的，一般認(rèn)為手指指尖與被抓物體的接觸形式主要有無摩擦點接觸模型、有 摩擦點接觸模型、滾動接觸模型和軟指接觸模型四種。 無摩擦點接觸模型將手指和被抓取對象的接觸部位看作是剛性的點對點接觸，即忽略 兩者之間的接觸變形和接觸之后的相對運動。由于不考慮接觸變形，采用這種模型進(jìn)行抓 取分析和綜合過程中也無須涉及接觸力，園此點接觸模型可以看作是點與平面圖以及點與 維集合體的接觸問題。 有摩擦點接觸模型是對無摩擦點接觸模型的一種改進(jìn)，將物體之間的摩擦當(dāng)作一種庫 侖摩擦，即摩擦系數(shù)是一個常數(shù)。利用這種模型就可以通過接觸點向被抓取物體施加兩個 方向可變的作用力，由于手指與被抓取物體之日j 的相對運動趨勢的不確定性，使得這兩個 接觸力的合力方向是變化的，從而使得抓取方法更加靈活、能夠?qū)崿F(xiàn)的抓取功能更加復(fù)雜。 在多指手操作物體時，各手指和物體的接觸點一般不是固定不變的，手指指尖和物體 問可以存在滾動和滑動，由于采用滾動接觸既可以減少磨損，又可以減小手指的運動范圍 并簡化手指的控制，因此研究滾動接觸情況下多指操作的手指運動生成問題很有意義。 最接近實際的接觸模型是軟指接觸模型，即認(rèn)為被抓取對象表面是剛性的，而手指則 認(rèn)為具有一定的柔性變形，結(jié)果手指與被抓取對象之間具有一定的接觸面積、并且存在一 定的摩擦力。因此使得手指不僅可以通過接觸區(qū)施加法向接觸力，而且可以施加接觸力矩。 定的摩擦力。因此使得手指不僅可以通過接觸區(qū)施加法向接觸力，而且可以施加接觸力矩， 平面一般輪廊對象多指抓取方案的自動規(guī)劃 1 2 2 機器抓取與擬人抓取 最早對多指手的研究是從假肢開始的，以模仿人手作為研究目標(biāo)。隨著應(yīng)用領(lǐng)域的擴 大，多指手的研究迅速從醫(yī)學(xué)領(lǐng)域擴展到其它領(lǐng)域。 現(xiàn)有的文獻(xiàn)中關(guān)于多指抓取規(guī)劃的方法可分為兩大類，本文分別稱之為擬人抓取和機 械抓取。擬人抓取通過研究人手抓取動作，根據(jù)抓取對象的形狀和抓取的目的對抓取動作 進(jìn)行分類【2 】，建立起相應(yīng)的抓取知識規(guī)則，使得多指機械手能夠完全模擬人手抓取動作。 而機械抓取則是通過研究機械手指與被抓物體的幾何、物理以及機械特性，以抓取封閉性 為主要評價依據(jù)，以穩(wěn)定性為主要實現(xiàn)目標(biāo)，研究手指在被抓取物體表面上的接觸位置。 之所以需要研究機械抓取是因為多指機械手它所完成的功能不僅僅是實現(xiàn)和模擬人手的 抓取，而需要完成人手所不能勝任的工作。因此機械抓取應(yīng)該是多指手抓取的主要研究內(nèi) 容。然而這兩種抓取方法并不是互相排斥，而是相輔相成的關(guān)系。它們處理問題的不同層 次和不同的方面：機械方法更適合低層任務(wù)，而擬人抓取方法更適合高層任務(wù)。 1 2 3 抓取的封閉性概念 形封閉是判斷手指與物體表面接觸點位置合理性的一種方法。如果一個抓取方案是形 封閉的，則作用在被抓取物體上的任何外部干擾力都可以被與物體接觸的機械手手指承 受，從而保持物體平衡。形封閉是僅僅與抓取對象的幾何和抓取點的位置相關(guān)的幾何特性， 形封閉條件不研究手指作用力的大小和接觸力如何分配，也不考慮手指的運動學(xué)情況。因 此形封閉處理靜態(tài)和剛性的對象，其結(jié)果是保守的。 形封閉理論是由德國機構(gòu)學(xué)家r e u l e a u x 在1 8 7 5 年提出的，該理論的早期應(yīng)用是判斷 無摩擦情況下固定物體的接觸點數(shù)量，r e u l e a u x 根據(jù)對機構(gòu)運動特性的分析，證明了對平 面對象在不考慮接觸點摩擦的情況下，只要4 個接觸點的適當(dāng)布置就可以將平面對象完全 固定。1 8 9 7 年s o m e f f 證明對三維物體的情況下至少需要7 個接觸點才能保證滿足形封閉 條件。l a k s h m i n a r a y a n a 、s a l i s b u r y 等 3 】f 4 】將其引入機器入的抓取分析領(lǐng)域，并由此形成抓取 的封閉性理論。l a k s h m i n a r a y a n a 關(guān)于固定空間對象的接觸點數(shù)量給出新的證明，m i s h r a ! 副 證明了滿足形封閉條件下的抓取任意非回轉(zhuǎn)物體的接觸點數(shù)量的上界為剛體自由度數(shù)的 兩倍。m a r k e n s c o f f l 6 j 重新證明了對于常見表面輪廓形狀的物體只要7 個無摩擦接觸點就可 以構(gòu)成形封閉了。同時人們也注意到，并非所有的幾何形狀都能實現(xiàn)形封閉抓取，s e l i g & r o o n e y 7 】利用群論方法給出了不能滿足形封閉抓取的表面的分類的新的證明。m i r t i e h 和 c a n n y 給出了基于配置工件的形封閉定義方法【鍆，被抓取物體的位置用配置空間的點來表 示，手指看作是配置空間的障礙物。如果物體被配星空間的障礙物完全包圍，則為形封閉。 由于形封閉必須要采用較多的手指才能達(dá)到，這就造成靈巧多指手的操縱與控制相當(dāng) 復(fù)雜。為此人們采用結(jié)構(gòu)上比較簡單或者手指數(shù)量比較少的靈巧多指手。但手指數(shù)量少就 不可能做到形封閉抓取，為了評價這種探取裝置的抓取質(zhì)量，l a k s h m i n a m y a n a 提出了部分 形封閉概念，類似的概念還有熊有倫提出的相對形封閉【9 1 ，t r i n k l e 提出的增強的力封閉 第一章緒論 ( s t r o n g e rf o r c ec l o s u r e ) 等。部分形封閉抓取對被抓取物體的一個已知的方向或方向范 圍的自由度不作限制。 形封閉和部分形封閉定義都將接觸點作為光滑、 體在接觸點處的相對形狀。事實上接觸點處的曲率 情況對物體的抓取是有影響的，r i m o n “】將不考慮 曲率的形封閉理論稱為一階理論。r i m o n 通過考察 三指手抓取一個三角形的接觸情況，證明一階理論 存在缺陷。關(guān)于一階形封閉理論可以同圖1 1 加以 說明，三個手指的接觸點內(nèi)法線通過三角形的形 心，一階理論認(rèn)為此時三角形還可以繞形心瞬時轉(zhuǎn) 動，也即三個手指沒有達(dá)到形封閉。但是在手指和 三角形均為剛性的假設(shè)下，三角形相對與三個手指 凸接觸來處理的，沒有考慮手指與物 圖1 1 二階形封閉 是不能做任何運動的。問題就是一階理論將接觸點處兩物體的相對運動當(dāng)作是一個無窮小 量的概念而實體上應(yīng)該是一個局部小量，而且一階理論沒有考慮手指與工件的接觸點處的 曲率關(guān)系。這一缺陷促使r i m o n 研究手指和工件在接觸點處的曲率對抓取的效應(yīng)，提出了 固定工件的活動度理論，并根據(jù)該理論提出了相應(yīng)的一階形封閉和二階形封閉概念。r i m o n 的二階形封閉理論，考慮接觸點處的曲率情況。解釋了利用一階形封閉理論來刻畫多指手 抓取不充分的原因，提出了將一階和二階結(jié)合起來完全刻畫抓取方案的封閉性和穩(wěn)定性的 方法。二階形封閉理論還說明，可以用更少的手指來實現(xiàn)形閉抓取。即使一階的情況下沒 有實現(xiàn)形封閉，二階效應(yīng)下也能保證抓取的封閉性。這一結(jié)果對多指抓取規(guī)劃方法有指導(dǎo) 意義。r i m o n 認(rèn)為對二維多邊形光滑對象，采用3 個手指就可以固定了，進(jìn)一步如果考慮 接觸點處的邊界曲率，則采用兩個手指就能抓取2 維對象。k e ng o l d b e r g 進(jìn)一步拓寬了該 思想，利用兩指實現(xiàn)帶凹邊的工件形封閉抓取【l 6 1 。 力封閉術(shù)語最早見于n g u y e n 的碩士論文【l2 】。一個滿足力封閉抓取條件的接觸點配置 形式能夠通過手指施加適當(dāng)?shù)慕佑|力產(chǎn)生任意方向和大小的抵抗力和抵抗力矩，從而保持 被抓取物體的平衡。出于對于少指數(shù)的抓取情況，抓取的封閉性除了依靠手指的正壓力之 外，還要依靠接觸處的切向摩擦力。從字面上理解，力封閉似乎允許使用拉力，然而通常 情況下手指只能產(chǎn)生壓力，因此力封閉與形封閉不是子集與全集的關(guān)系，而是特定條件下 的等價關(guān)系。r i m o n 根據(jù)新近開發(fā)的活動度理論，對形封閉的各種定義進(jìn)行了統(tǒng)一和明確 【1 3 】。給出了無摩擦抓取的1 階和2 階形封閉的精確定義，引進(jìn)了二階力封閉的新概念，解 釋了形封閉與力封閉的等價條件。 許多文獻(xiàn)都把是否考慮摩擦作為力封閉與形封閉的主要區(qū)別，b i c c h i l l 4 1 認(rèn)為，與形封 閉以幾何特性為基礎(chǔ)相對應(yīng)，力封閉應(yīng)該考慮接觸手指如何施加接觸力，強調(diào)抓取的主動 性，即通過適當(dāng)分配手指接觸力來達(dá)到封閉性。 平面一般輪廓對象多指抓取方窠的自動規(guī)劃 1 3 幾何分析保證形封閉的多指抓取規(guī)劃方法 采用幾何推理是抓取規(guī)劃最早的研究方法，通常假設(shè)被抓取對象是簡單的剛性幾何 體。n g u y e n 針對二維多邊形對象無摩擦四指抓取問題，提出一個快速和簡單的算法，直接 從工件的邊界來構(gòu)造形封閉的抓取方案【j ”。n g u y e n 的方法是有趣的，因為算法不是生成 一個唯一的抓取方案，即4 個接觸點位置，而是根據(jù)給定4 條邊找出這些邊上能滿足形封 閉抓取的邊的獨立區(qū)段，即在這些區(qū)段上任一點作為手指接觸點均可以構(gòu)成形封閉抓取。 n g u y e n 從研究二指帶摩擦抓取著手，指出兩指接觸點連線位于接觸力摩擦錐所形成的四邊 形之內(nèi)，就可以抵消作用在二維平面內(nèi)任意方向的干擾力，即滿足力封閉條件，見圖1 2 。 圖1 2 二指抓取的 作用力四邊形 圖1 4 無摩擦四指抓取 作用力四邊形 根據(jù)這一原理，n g u y e n 提出了確定兩條抓取邊上保證力封閉抓取的獨立區(qū)段的圖解算法。 n g u y e n 的算法如圖1 3 所示，兩條虛線相交，交角就是摩擦角，將交點看作是摩擦錐的頂 點，則這兩條虛線形成一個兩側(cè)錐，如果頂點i 位于抓取邊e l 和e 2 的角等份線上移動， 則兩條抓取邊e l 和e 2 被兩側(cè)錐所切出的區(qū)段s l 和s 2 最長并且相等，如果兩個手指位置 在s 1 和s 2 之內(nèi)，就可以抵消作用在二維平面內(nèi)任意方向的干擾力，因此s l 和s 2 就是n g u y e n 所求的獨立區(qū)段。n g u y e n 發(fā)現(xiàn)對于四指無摩擦抓取多邊形對象問題，這四個手指在保征形 封閉的情況下的位置所形成的接觸力作用線四邊形與二指抓取的摩擦錐所形成的四邊形 的結(jié)構(gòu)完全一致，如圖1 4 所示。利用兩側(cè)錐就可以確定被抓取多邊形四條邊上能保證形 封閉抓區(qū)的獨立區(qū)段。n g u y e n 的方法的原理是很簡單的，但是其計算工作量是很大的，因 為需要通過幾何搜索的方法找出最優(yōu)的兩側(cè)錐頂點位置，達(dá)到每一條邊上的獨立接觸區(qū)段 最大。n g u y e n 進(jìn)一步將這一方法推廣到三維多面體對象的抓取接觸點位置確定場合。但是 n g u y e n 的方法有兩點問題：第一，該方法只能找到所有可抓取區(qū)間的一個子集，而且他的 文章中并沒有說明該子集與全集之間的尺度關(guān)系。第二，該方法只適用于多面體與多邊形 抓取對象，不能擴展到復(fù)雜表面抓取對象的獨立區(qū)段求解。 在機械加工中，工件的定位元件與夾緊元件位置確定同樣要遵循形封閉條件。b r o s t 和g o l d b e r g t l q 在組合夾具的定位元件和夾緊元件位置自動確定的方法中，針對三個定位銷 的位置已知的情況下，提出了一個確定工件多邊形上能作為夾緊點范圍的全體集合的方 法。首先，b r o s t 和g o l d b e r g 提出一個單位力球的概念，力球的中心在原點，三個坐標(biāo)軸 分別為f x 、f y 和d p 。其中f x 、f y 分別為接觸點處單位法線的x 和y 方向分量af 為接觸 4 像 節(jié)；守昔蕊 p l 一翟 第一章緒論 點法線相對于原點的方向矩，t 除以p 目的在于保證與f x 和f y 的量綱一致。對于給定的 三個定位銷接觸點位置，均可以通過f x 、f y 和咖映射得到單位力球表面上一個唯一的點， 如圖1 5 所示。圖1 6 中，三個點構(gòu)成一個球面三角形，而這個三角形實際上就是三個接 觸力的方向線的凸組合。將這個三角形沿力球的中心向球面進(jìn)行投影，得到一個像三角形。 顯然，該像三角形確定了三個定位銷所能抵消的夾緊力在球面上的映射點的范圍。最后， 將可作為夾緊點位置的多邊形邊界向力球表面作投影，顯然接觸點直線邊界上移動時，由 于法線的f x 、f y 分量不變，而只有力矩分量發(fā)生改變，因此直線邊界映射到力球表面上 的像是一段經(jīng)線。如果該像經(jīng)線與像三角形的交存在，則多邊形的當(dāng)前邊上存在可行的夾 緊點。根據(jù)像經(jīng)線落在像三角形內(nèi)的部分就可確定多邊形上可行夾緊點范圍。b r o s t 和 g o l d b e r g 的方法沒有復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算，映射關(guān)系的幾何意義十分清晰，而且計算方法無需 復(fù)雜的搜索迭代。然而他們的方法必須要事先已知全面三個接觸點的位置，而且他們提出 的確定前三個接觸點位置的方法對多指抓取規(guī)劃也沒有借鑒意義。 圖1 5 力作用線在力球上的映射 圖1 6 建立定位銷的反作用力集 s t a p p e n 等針對無摩擦抓取多邊形零件的保證形封閉的抓取規(guī)劃，提出了一個計算四個 手指全部接觸點位置的方法【i ”。他們的方法將抓取規(guī)劃分兩個步驟，首先計算確定存在形 封閉抓取的四條邊，即存在形封閉抓取的四條邊界所定義的四元組，根據(jù)多邊形邊界通過 建立有效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和幾何搜索的方法計算出所有四元組的集合。然后求出四元組中四條 邊上能保證形封閉的手指接觸點范圍。s t a p p e n 的文章主要介紹了利用幾何方法確定四元組 集合的方法，這是過去的文獻(xiàn)中幾乎沒有涉及到的。雖然他們的算法相當(dāng)?shù)膹?fù)雜和繁瑣， 但利用他們的方法確實是可以找出全部四元組的。對于從四元組中找出形封閉抓取的手指 接觸點范圍，s t a p p e n 試圖在這四條邊上找出一個形封閉與非形封閉抓取的邊界，該文中稱 之為臨界抓取方案。但事實上這個臨界抓取方案是不存在的，因為四條邊上的手指接觸點 位置是相互關(guān)聯(lián)的，即一個手指的位置的改變對其余手指能滿足形封閉抓取的接觸點位置 范圍是會產(chǎn)生影響，否則還是n g u y e n 的獨立的抓取區(qū)段的概念。s t a p p e n 自己也承認(rèn)他們 的方法的效率十分依賴于多邊形這一簡單的應(yīng)用場合，對其它輪廓形狀的零件的抓取算法 平面一般輪廓對象多指抓敏方案的自動規(guī)劃 的效率還沒有辦法估計，從直覺上看該方法擴展到3 維多面體的抓取規(guī)劃也困難。 m i s l m a 多面體抓取對象，提出一個構(gòu)造無摩擦的點接觸抓取規(guī)劃方法。這個方法首先 對抓取對象n 個面指定n 個手指，然后描述了如何減少到滿足s t e i n i t z 理論的最少接觸點數(shù)。 該方法的計算時間與抓取邊或面的數(shù)量成多項式關(guān)系而非指數(shù)關(guān)系。但是該方法存在一些 問題，1 ) 有的場合不適用，如不能給定太多的可抓取邊和面。2 ) 該方法對抓取的接觸力 沒有限制，但有的情況下接觸力太大是不行的。3 ) 對被抓取對象的不確定性問題的處理 不夠穩(wěn)健。 m a r k e n s c o f f & p a p a d i m i t r i o n 2 4 1 利用最大內(nèi)切圓的概念來進(jìn)行抓取分析與規(guī)劃，所謂內(nèi) 切圓是指凸多邊形的最大內(nèi)接圓，將手指接觸點布置在位于內(nèi)切圓與工件邊界的接觸點上 或者附近。根據(jù)內(nèi)切圓與多邊形的相切情況，基于規(guī)則的方法來對這些接觸點進(jìn)行規(guī)范化。 這一方法的優(yōu)點是可以擴展的工件邊界為曲線的情況，但是該方法通用性也沒有很顯著的 提高，因為該方法要求的抓取對象是凸多邊形。 1 4 多指抓取規(guī)劃存在問題 抓取規(guī)劃是多指手靈巧操縱的核心和關(guān)鍵內(nèi)容。人們針對多指抓取的相關(guān)因素開展了 多年的研究。然而，多指機械手依然沒有走出實驗室，靈巧操縱的科學(xué)與技術(shù)依然在它的 幼兒期，多指抓取規(guī)劃方法的不成熟是其中的主要原因之一。由于多指抓取是一個十分復(fù) 雜的研究領(lǐng)域，涉及接觸類型、摩擦特性、抓取的順應(yīng)性、穩(wěn)定性、抓取目的特性建模、 抓取質(zhì)量建模等各個方面，而且這些因素互相交織在一起，全面解決這些問題還需要研究 者作不懈的努力。以下幾個方面是必須首先解決的。 首先需要對現(xiàn)有的多指抓取規(guī)劃方法進(jìn)行綜合。目前的多指抓取規(guī)劃方法雖然還不成 熟，例如存在算法復(fù)雜且功能簡單、要求定義良好、環(huán)境理想等缺陷。但是經(jīng)過二十幾年 的努力，人們從擬人抓取、機器學(xué)習(xí)到幾何分析等抓取規(guī)劃的各個層次都提出了相應(yīng)的方 法。因此應(yīng)該研究這些方法，從而建立一個統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)，將這些解決不同層次問題的 方法有機結(jié)合，通過高層的方法來達(dá)到算法的實時性，使用底層的方法來保證算法的準(zhǔn)確 性，形成一個綜合的抓取規(guī)劃方法。使得該方法能夠?qū)崿F(xiàn)一類特定對象的抓取，達(dá)到實用 要求。 研究抓取屬性的建模方法。抓取質(zhì)量與抓取目的有關(guān)，不同的抓取目的所關(guān)心的抓取 屬性不同、不同的抓取屬性的衡量方法不一樣，這些屬性包括穩(wěn)定性、可操作性( 力和力 矩的可施加性) 、靈巧性、精度等。由于抓取規(guī)劃最終體現(xiàn)在手指接觸點在物體表面上的 位置。因此必須研究抓取屬性的建模方法，建立各種抓取屬性與抓取接觸點位置以及被抓 取物體接觸點幾何形狀之間的關(guān)系。 保證形封閉的接觸點位置確定是多指抓取的基本問題，也是各種抓取質(zhì)量優(yōu)化方法的 基礎(chǔ)。目前人們對抓取質(zhì)量的確定和評價方法的研究比較充分，但目前的抓取規(guī)劃方法在 通用性和效率等方面都還存在問題，因此必須深入研究多指抓取所蘊含的數(shù)學(xué)問題，研究 6 笫一章緒論 保證形封閉條件下各個手指接觸點位置相對于被抓取物體的布置規(guī)律，建立保證形封閉抓 取的手指接觸點位置的形式化關(guān)系，找出滿足形封閉條件的全部接觸點位置。 1 5 本文的研究目標(biāo)和內(nèi)容 1 5 1 本文研究的目標(biāo) 結(jié)合國內(nèi)外抓取規(guī)劃方法的現(xiàn)狀和不足，以及吳玉光提出的多指抓取規(guī)劃的方法1 2 8 1 ， 確定本文的研究目標(biāo)是：建立抓取規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，即建立各抓取邊可行抓取區(qū)域的函數(shù)： 根據(jù)數(shù)學(xué)模型，用計算機編程最終實現(xiàn)對平面一般輪廓對象多指抓取方案的自動規(guī)劃。 1 5 2 本文研究的內(nèi)容 多指抓取規(guī)劃存在的核心問題是點接觸模型中接觸點位置確定方法以及接觸點位置 關(guān)系建模方法問題，本文針對這一核心問題，研究平面般輪廓對象保證形封閉的多指抓 取問題，即研究具有四個手指的多指手手指相對于平面般輪廓形狀的抓取對象的可行抓 取區(qū)域自動確定方法。本文所指的平面一般輪廓對象定義為由直線邊和圓弧邊構(gòu)成。論文 的主要內(nèi)容包括： 1 ) 介紹多指抓取規(guī)劃的理論和方法 所謂抓取規(guī)劃就是要確定給定的抓取邊界上是否存在滿足形封閉要求的手指接觸點 位置；對于存在形封閉要求的抓取邊界，確定具體的手指接觸位置范圍；抓取的理論根據(jù) 是保持形封閉四個定理和兩個推論。 2 ) 建立各抓取邊可行抓取區(qū)域的數(shù)學(xué)模型 建立各抓取規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型是本文的重點。用數(shù)學(xué)的方法建立起各抓取邊可行抓取區(qū) 域的函數(shù)便于計算機編程，以便實現(xiàn)對平面一般輪廓對象的自動規(guī)劃。a 根據(jù)根據(jù)全部極 限位置瞬心三角形確定第四條邊上的抓取區(qū)域的函數(shù)；b 根據(jù)給定第四條抓取邊上可行抓 取區(qū)域中的一個抓取點位置，確定第二條邊上的抓取區(qū)域的函數(shù)，即第二條邊上的抓取區(qū) 域是第四個手指的位置和四條抓取邊的函數(shù)；c 根據(jù)第四條邊和第二條邊上可行抓取區(qū)域 中的當(dāng)前抓取點位置，確定第一條邊上( 或第三條邊上) 的抓取區(qū)域的函數(shù)，即第一條邊 ( 或第三條邊) 上的抓取區(qū)域是第四個手指、第二個手指的位置和四條抓取邊的函數(shù)：d 根據(jù) 第四條邊、第二條邊和第一條邊( 或第三條邊) 上可行抓取區(qū)域中的當(dāng)前抓取點位置，確 定第三條邊上( 或第一條邊上) 的抓取區(qū)域函數(shù)，即第三條邊( 或第一條邊) 上的抓取區(qū)域 是第四個手指、第二個手指、第一條邊( 或第三條邊) 的位置和四條抓取邊的函數(shù)。 3 ) 開發(fā)設(shè)計了平面一般輪廓對象多指抓取方案的自動規(guī)劃的原型系統(tǒng) 為了驗證本文建立各抓取邊可行抓取區(qū)域的函數(shù)關(guān)系和設(shè)計思想，在v i s u a lc 十十6 0 平臺上開發(fā)了一個原型系統(tǒng)。系統(tǒng)的輸入為平面一般輪廓( 由直線和圓弧邊組成) ，通過 一步步規(guī)劃輸出各個抓取邊的可行抓取區(qū)域和所能形成形封閉的瞬心三角形。 平面一般輪廓對象多指抓取方案的自動規(guī)劃 1 6 本文的組織結(jié)構(gòu) 為了實現(xiàn)平面一般輪廓對象多指抓取方案的自動規(guī)劃，根據(jù)本課題的研究目標(biāo)和內(nèi) 容，將論文分為如下幾個部分： 1 ) 多指抓取的概論。包括多指抓取的概念，幾何分析保證形封閉的多指抓取規(guī)劃方 法，多指抓取規(guī)劃存在闖題，并介紹了本文的研究目標(biāo)和內(nèi)容。 2 ) 多指抓取規(guī)劃的方法。包括多指抓取的一些基本理論知識、概念、定理和抓取的 規(guī)劃方法。 3 ) 多邊形抓取規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型。本章著重建立各抓取邊可行抓取區(qū)域的函數(shù)，分析 各抓取邊的函數(shù)關(guān)系。建立多邊形抓取規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，為計算機編程提供方便。 4 ) 一般輪廓對象的抓取規(guī)劃。本章主要內(nèi)容是對抓取邊中包含平行直線邊、圓弧邊 的組合進(jìn)行處理，以保證瞬心三角形的形態(tài)不發(fā)生改變。 5 ) 原型系統(tǒng)的介紹。介紹了系統(tǒng)的軟件開發(fā)平臺、程序設(shè)計流程，以及具有代表性 的實例。 6 ) 總結(jié)與展望。本章的最后對課題的主要成果進(jìn)行了總結(jié)，提出了論文中的不足， 并指出了后續(xù)工作的研究重點。 8 第二幸多指抓取的艦劃規(guī)劃方法 第二章多指抓取的規(guī)劃方法 2 1 引言 本文只考慮平面一般輪廓抓取問題，即存在以下假設(shè)：工件的所有抓取點位于同一個 平面上：工件的抓取表面是垂直于抓取平面的圓柱面或平面；手指和被抓取的物體為剛體 點接觸，并且不考慮接觸處的摩擦力，即接觸處摩擦系數(shù)為零。根據(jù)p a 上假設(shè)，平面一般 輪廓抓取問題可以簡化為點與平面圖的接觸問題，平面圖由直線和圓弧組成。 在以上假設(shè)的基礎(chǔ)上，吳玉光【2 q 在博士后研究工作報告中提出多指抓取保證形封閉的 規(guī)劃方法。該方法也就是本文的前期工作和基礎(chǔ)。 2 2 瞬心三角形 瞬心三角形1 2 7 j 是多指手的其中三個手指對工件的接觸力的方向線的交點形成的一個 三角形。如圖2 1 所示。圖中三個小圓表示三個手指，封閉多邊形區(qū)域表示被抓取物體的 多邊形。由于通過手指接觸對物體施加的基礎(chǔ)力的單向性，手指對工件的接觸力方向線就 是工件在接觸點處的內(nèi)法線。對于任意兩個手指與多邊形接觸的情況，多邊形相對于手指 的運動方向為接觸點的切線方向，根據(jù)理論力學(xué)知識，兩條內(nèi)法線的交點是平面對象作平 面運動的瞬時轉(zhuǎn)動中心，即瞬心。三個手指的接觸情況存在三條內(nèi)法線，三條內(nèi)法線兩兩 相交共有三個交點，瞬心三角形概念由此而得。 瞬心三角形具有下列性質(zhì)： a c a a ) 三條邊均同向的瞬心三角形 b ) n 條- n 向邊的瞬心三角形 圖2 1 瞬心三角形 瞬心三角形的各邊具有方向性，邊的正向與該邊所在的手指接觸力方i 匈相同。 瞬心三角形的同向邊和異向邊。如果瞬心三角形的兩條邊對三角形內(nèi)部任意一點 的矩的方向相同，則稱這兩條邊為同向邊。如果瞬心三角形的第三條邊對三角形 內(nèi)部任意一點的矩的方向與前兩條邊對同一點的矩的方向相反，則第三條邊是異 向邊。 瞬心三角形的兩種形態(tài)。即兩條同向邊的瞬心三角形和三條同向邊的瞬心三角形。 對于兩條同向邊的瞬心三角形，異向邊的方向范圍一定在兩條同向邊的正向所夾 9 平面一般輪廓對象多指抓取方案的自動規(guī)劃 的扇形范圍內(nèi)。 瞬心三角形的兩個特例：如果存在兩條接觸力方向線平行的情況，則兩條同向平 行方向線或者兩條反向平行方向線的交點在無窮遠(yuǎn)處，形成具有平行邊的瞬心三 角形。相對與第三條邊，兩條平行方向線的交點位置都有兩種解釋，如圖2 2 所 示；不同解釋時瞬心三角形的同向邊與異向邊會發(fā)生變化。 a ) 兩條同向平行 b ) 尊條同向平行邊c ) 兩條反向置行邊交 d ) 兩條反向平行邊交 邊交點的第一種解 交點的第二種解釋點第一種解釋 點第二種解釋 圖2 2 瞬心三角形的特例 2 3 定理的介紹 定理1 ：對于兩條同向邊的瞬心三角形，保證形封閉的第四個手指的接觸力的方向線 位置必須與瞬心三角形的兩條同向邊相交，接觸力的方向必須在兩條同向邊的負(fù)方向所圍 成的扇形之內(nèi)。 定理2 ：對于三條同向邊的瞬心三角形，保證形封閉的第四個手指的接觸力的方向線 位置不能與瞬心三角形的任何邊相交；接觸力的正向關(guān)于瞬心三角形內(nèi)部一點的矩的方向 必須與瞬心三角形任何邊關(guān)于同一點的矩的方向相反。 a ) 兩條同向邊，第四個手指的接觸b ) 三條同向邊，第四個手指的接c ) 三條同向邊，第四個手指的 另的可行方向和位置缸力的可行方向和位鼉 接觸力的可行方向和位置 圖2 3 利用瞬心三角形確定第四接觸點可行位置 圖2 _ 3 說明了以上兩個定理的內(nèi)容，圖2 3 a 為具有兩條同向邊的瞬心三角形為a - b - c 兩條同向邊分別為a b 和b c 。根據(jù)定理l ，滿足形封閉的第四個接觸力的作用線必須與瞬心 三角形的兩條同向邊b c 和a b 相交，并且根據(jù)定理l 的方向要求，在接觸力的受力方向上， 作用線必須先與b c 相交，然后再與a b 相交。在圖2 3 b 和圖2 3 c 所示為兩種三條邊均同向 的瞬心三角形。圖中的大箭頭圖示地表示了第四個接觸力的可行位置和方向。 定理3 ：如果三條接觸邊全是由直線組成，則由三條邊的內(nèi)法線所構(gòu)成的瞬心三角形 的形態(tài)與內(nèi)法線在各自接觸邊上的位置無關(guān)。 幾? 。一u n 丫 。 u 第= 章多指抓取的規(guī)劃規(guī)劃方法 定理3 說明對于直線邊界瞬心三角形的形態(tài)不會隨著內(nèi)法線位置的改變而發(fā)生變化。 因為在三條邊全是直線接觸邊的情況下，接觸點在邊界上的移動只改變接觸力方向線的位 置，而不改變其方向，瞬心三角形的三條邊之間的方向關(guān)系并不會隨著三條邊的位置該改 變麗發(fā)生變化，內(nèi)法線的位置改變只對瞬心三角形的大小產(chǎn)生影響。只要工件的三條邊的 位置給定，三條邊的內(nèi)法線就唯一確定了所組成的瞬心三角形的形態(tài)，如圖2 4 所示。雖 然對于存在兩條平行內(nèi)法線的瞬心三角形可以有兩種解釋，即該瞬心三角形既可以看作是 兩條同向邊的瞬心三角形又可以看作是三條邊均同向的瞬心三角形，但是不同類型的瞬心 三角形的位置在空間上是互補的，也就是說兩種瞬心三角形不會互相重疊，因此無論采用 哪一種解釋來進(jìn)行形封閉性判斷，其結(jié)論都是一樣的，見圖2 4 c 與圖2 4 d 所示， 定理4 ：如果手指接觸邊存在圓弧邊的情況，圓弧邊上接觸點處的內(nèi)法線在接觸點移 動過程中如果存在兩條內(nèi)法線發(fā)生重疊或方向平行，則以重疊位置為臨界，所組成的瞬心 三角形的形態(tài)發(fā)生變化，即瞬心三角形的形態(tài)可能會從兩條同向邊轉(zhuǎn)換為三條同向邊或者 相反。 r a ， o 。 a 1 瞬心三角形形態(tài)不發(fā)生變 b ) 瞬心三角形形態(tài)發(fā)生變 c ) 三條同向邊d ) 兩條同向邊 圖2 4 瞬心三角形形態(tài)與手指接觸邊類形之間的關(guān)系 兩條圓弧邊中，如果隨著手指接觸點移動，兩條圓弧邊上的接觸點處內(nèi)法線存在反向 平行或者重疊的情況，則就會使得所形成的瞬心三角形的形態(tài)發(fā)生變化。如圖2 ，4 b 所示， 當(dāng)手指在一條圓弧邊上的接觸點位置從r 且移到r a 時，接觸點的內(nèi)法線從1 1 轉(zhuǎn)到了n ，由 于內(nèi)法線的方向發(fā)生了很大的變化，從而使得原來的三條邊均同向的瞬心三角形a - b c 變 成了兩條同向邊的瞬心三角形a 一c - b 。 根據(jù)定理l 和定理2 得出兩個推論，具體描述如下： 推論1 ：對于滿足形封閉抓取條件的四個接觸點，當(dāng)選擇不同的三個接觸點時，瞬心 三角形存在兩種形態(tài)的相互轉(zhuǎn)化，即具有兩條同向邊的瞬心三角形變?yōu)槿龡l邊均同向的瞬 心三角形。或者相反。 推論1 說明在四個接觸點中無論如何任取三個接觸點來構(gòu)成一個瞬心三角形，據(jù)此來 判斷四個接觸點的形封閉的結(jié)果都是一樣的。推論1 的正確性不難證明，因為定理l 和定 理2 并沒有對選擇接觸點做任何限制，因此該方法具有普遍意義。 推論2 ：對于滿足形封閉抓取條件的四個接觸點，當(dāng)選擇不同的三個接觸點時，瞬心 三角形存在兩種形態(tài)，即具有兩條同向邊的瞬心三角形和三條邊均同向的瞬心三角形。 平面一般輪廓對象多指抓取方案的自動規(guī)劃 事實上，將第四個接觸點的接觸力方向線與前三個接觸點的接觸力方向線中兩者夾角 最大的一條方向線對調(diào)，重新構(gòu)造的瞬心三角形的形態(tài)就會發(fā)生變化，即從兩條同向邊的 瞬心三角形變化為三條邊均同向的瞬心三角形，或者相反。 2 4 邊界四元組與邊界三元組 滿足形封閉條件的四指抓取需要的抓取邊界可以是四條邊界也可以是三條邊界。采用 四條邊界抓取時，每一個手指分別與其中的一條邊界接觸。當(dāng)采用三條邊抓取時，則要求 其中有兩個手指接觸在同條邊界上。將組成一個抓取方案的四條抓取邊和三條抓取邊分 別成為邊界四元組和邊界三元組。 對于具有n 條邊界的多邊形對象，邊界四元組的數(shù)量是c ：，邊界三元組的數(shù)量是口， 由于對于邊界三元組，由于其中的每一條邊都有可能與兩個手指接觸，因此每一個邊界三 元組都有可能存在三個抓取方案。所以具有n 條邊界的多邊形，可能的抓取方案數(shù)最多可 達(dá)到q + 3 q 。 2 5 抓取邊的命名 2 5 1 邊界四元組 以e l ，e 2 ，e 3 和e 4 分別對四條抓取邊進(jìn)行 命名。對于能夠形成具有兩條同相邊的瞬心三角 形的邊界四元組，四條邊相對于瞬心三角形的關(guān) 系可以唯一確定。因此，其內(nèi)法線用于組成瞬心 三角形的前三條抓取邊的命名方法為：瞬心三角 e 3 形的異向邊所在的多邊形抓取邊界為e 2 ，第4 條 抓取邊為e 4 。e l 和e 3 根據(jù)兩條抓取邊的內(nèi)法線 的交點相對于所組成的瞬心三角形兩條同向邊 的位置來規(guī)定，如交點是瞬心三角形同向邊的起 點，則與該同向邊重合的內(nèi)法線所在的抓取邊為 e 3 ，另一條邊為e l 。圖2 5 中，內(nèi)法線n 2 ( n 2 ) 圖2 5 邊界四元組的命名 與另外兩條抓取邊的內(nèi)法線所構(gòu)成的瞬心三角形中是異向邊，故1 1 2 所在的抓取邊為e 2 。 對于任意一個瞬心三角形，例如p 3 p 2 q 3 ，兩條同向邊的交點q 3 相對于同向邊q 3 一p 3 是 起點，故q 3 p 3 所在的抓取邊為e 3 ，另一條同向邊為e 1 。因此，采用以上方法可以唯一 地對邊界四元組的四條抓取邊進(jìn)行命名。 2 5 2 邊界三元組 笙= 蘭至塑塑墼塑塑型塑型查墮 以e l ，e 3 和f a 分別對三條抓取邊進(jìn)行命名如圖 2 6 ，由于構(gòu)造瞬心三角形只有兩條抓取邊，規(guī)定具有兩 個手指接觸的抓取邊位于水平位置，并命名為e j ，為了 與邊界四元組的情況相對應(yīng)，將組成瞬心三角形的第二二 條邊命名為e 3 ，對應(yīng)與第四個手指接觸的第三條抓取邊 為e 4 。規(guī)定兩個手指的接觸力方向線在下方無窮遠(yuǎn)處 ( “終點”位置) 相交，則兩條平行方向線在所構(gòu)成瞬 心三角形中，所起的作用是不一樣的，其中的一條邊為 同向邊另一條邊為異向邊，這兩條邊都無限長。根據(jù) 這一特點，可以將瞬心三角形的三條邊分別稱之為異向 邊、有限同向邊、無限同向邊，這樣組成瞬心三角形的 三條邊就可以唯一確定了。 2 6 多邊形對象的抓取規(guī)劃方法 e l 向邊 同向邊 b 4 圖2 6 邊界三元組的命名 所謂抓取規(guī)劃就是要確定給定的抓取邊界上是否存在滿足形封閉要求的手指接觸點 位置，對于存在形封閉要求的抓取邊界，確定具體的手指接觸位置范圍。 根據(jù)定理1 或定理2 ，無論采用哪一種形式的瞬心三角形都可以用于判別抓取的形封 閉性，因此本文僅討論利用兩條同向邊的瞬心三角形來判別形封閉的方法。對于直線抓取 邊界，瞬心三角形的形態(tài)不隨內(nèi)法線位置而發(fā)生變化，并且假定四條邊中不能存在有兩條 以上的邊互相平行。對于帶有圓弧抓取邊界，瞬心三角形的形態(tài)可能隨內(nèi)法線位置而發(fā)生 變化，我們必須對其進(jìn)行處理，使瞬心三角形的形態(tài)不隨內(nèi)法線位置而發(fā)生變化，就可以 根據(jù)多邊形的方法進(jìn)行規(guī)劃，后面章節(jié)將給出處理方法。下面以多邊形為例介紹規(guī)劃方法。 2 6 1 邊界四元組的抓取規(guī)劃方法 邊界四元組中四條邊上的可行抓取區(qū)域范圍是互相依存的，即一條邊上的可行抓取區(qū) 域范圍除了與抓取邊的類型、相互位置、尺寸登記和信息相關(guān)以外，還與其它邊上的手指 接觸點的位置有關(guān)，在一條邊上的抓取點位置會影響其它抓取邊上的可行抓取區(qū)域。對于 全部由直線邊組成的邊界四元組，抓取區(qū)域的確定方法有以下幾個步驟組成： 2 6 1 1 確定第四條邊上滿足形封閉抓取條件的手指接觸點區(qū)域 第四條邊的可行抓取區(qū)域確定方法如下： 將所有極限位置瞬心三角形的兩條同向邊向在第四條抓取邊投影，全部同向邊投影的 交之和，就是第四條邊上能保證形封閉抓取的可行區(qū)問。 2 6 1 2 確定異向邊上的接觸點可行區(qū)間 構(gòu)成瞬心三角形的三條內(nèi)法線所在邊為e 1 、e 2 和e 3 ，其中e 2 為瞬心三角形的異向 邊所在的抓取邊，e 1 和e 3 為兩條同向邊所在的抓取邊。對于第四個手指在e 4 上可行抓 取位置上的任意一點，該點處手指接觸力的方向線( 即e 4 的內(nèi)法線) 為n 4 ，過e l 和e 3 的兩端點分別作各自的內(nèi)法線，則共有4 條內(nèi)法線。這4 條內(nèi)法線存在四個交點，每一個 平面一般輪廓對象多指抓取方案的自動規(guī)劃 交點處的兩條內(nèi)法線都可以與n 4 構(gòu)成一個三條邊均同向的瞬心三角形。對于每一個這樣 的瞬心三角形，要使得n 2 與n 1 、n 3 和n 4 的當(dāng)前位置下一起構(gòu)成形封閉的抓取方案，根 據(jù)定理2 ，n 2 與n 1 和n 3 的交點必須分別位于n 4 的兩側(cè)。因此，n 2 在滿足這一條件下， 距離n 4 的最近位置開始，到e 2 上的1 1 2 距離n 4 最遠(yuǎn)點位置為止，該區(qū)域為e 2 上的可行 抓取區(qū)間。如果e l 、e 3 的四條內(nèi)法線的四個交點分列在n 4 的兩邊，則e 2 上的可行抓取 區(qū)間由兩部分組成，否則e 2 上的可行區(qū)間只有一個部分。具體計算可行位置的方法如下： 1 ) 根據(jù)n 4 右側(cè)的瞬心三角形確定e 2 上的可行抓取區(qū)間( d 2 e 的確定) 確定e 1 和e 3 的