2勾股定理直角三角形三邊的關系精品教案.doc

第十四章 勾股定理14.1.1 直角三角形三邊的關系（1）教學目標：1.探索并掌握勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 2會應用勾股定理解決實際問題教學重點：探索勾股定理的證明過程教學難點：運用勾股定理解決實際問題教學過程：一。探索勾股定理試一試測量你的兩塊直角三角尺的三邊的長度，并將各邊的長度填入下表：三角尺直角邊a直角邊b斜邊c關系12根據已經得到的數(shù)據，請猜想三邊的長度a、 b、 c之間的關系由圖14.1.1得出等腰直角三角形的三邊關系圖14.1.1是正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中用陰影畫出的三個正方形，很顯然，兩個小正方形P、 Q的面積之和等于大正方形R的面積即AC，圖14.1.1這說明，在等腰直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方那么在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方呢?試一試觀察圖14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面積 平方厘米；正方形Q的面積 平方厘米；（每一小方格表示1平方厘米）圖14.1.2正方形R的面積 平方厘米我們發(fā)現(xiàn)，正方形P、 Q、 R的面積之間的關系是 由此，我們得出直角三角形的三邊的長度之間存在關系 由圖14.1.2得出一般直角三角形的三邊關系.若C=90,則勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方ABC中，C=90, 則(a、b 表示兩直角邊，c表示斜邊)變式：2介紹勾股定理的歷史背景。二例題分析：例1.RtABC中，AB=c,BC=a,AC=b,B=90（1） 已知a=8,b=10,求c. (c=6)（2） 已知a=5,c=12,求b (b=13)注意：“B為直角”這個條件。三、引申提高：例2如圖14.1.4，將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，長為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離（精確到0.01米） 解 如圖14.1.4，在Rt中， .米，.米， 根據勾股定理可得 .（米） 答： 梯子上端A到墻的底邊的垂直距離 約為4.96米四鞏固練習： 1書本P51.1.2五課時小結：1. 勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方2. 已知直角三角形兩邊的長或知道兩邊關系和第三邊的長，可以利用勾股定理求出三角形未知邊長，并可運用面積關系式求斜邊上的高。六課堂作業(yè)：P55 2.3 14.1.1 直角三角形三邊的關系（2）教學目標：1.用拼圖的方法說明勾股定理的結論正確。2會應用勾股定理解決實際問題教學重點：利用勾股定理解決實際問題教學難點：構造直角三角形求解。教學過程：一 復習引入：1. 勾股定理的內容是什么？2.一直角三角形中有兩條邊的長為1和2，求第三邊。二 體驗勾股定理的幾種探求方法：試一試剪四個與圖14.1.5完全相同的直角三角形，然后將它們拼成如圖14.1.6所示的圖形大正方形的面積可以表示為 ，又可以表示為 對比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結論 圖14.1.5 圖14.1.6用上面得到的完全相同的四個直角三角形，還可以拼成如圖14.1.7所示的圖形，與上面的方法類似，也能說明勾股定理是正確的由下面幾種拼圖方法，試一試，能否得出的結論。（1） （2） （3） （4） （5）探究點拔：1.將這四個全等的直角三角形拼成圖（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面積等于各部分面積的和可以得出。2.將兩個直角三角形拼成圖（4）中的梯形，由梯形面積等于三個直角三角形面積的和可以得到。3.通過剪接的方法構成如圖（5）的正方形，可以證得。三應用：例1. 如圖,為了求出湖兩岸的AB兩點之間的距離，一個觀測者在點C設樁，使ABC恰好為Rt，通過測量，得到AC長160米，BC長128米，問從A點穿過湖到點B有多遠？解：RtABC中，AC=100，BC=128，根據勾股定理得: (米)答：從A點穿過湖到點B有96米。說明：運用勾股定理的前提是三角形必須是直角三角形。若已知條件中沒有直角三角形時，應構造直角三角形后方可運用勾股定理。例2 .在一棵樹的10米高處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘。如果兩只猴子經過的距離相等，問這棵樹有多高？解：設.RtABC中， 四引申提高：例3有一個棱長為1米且封閉的正方形盒子（如圖），一只螞蟻從頂點A向頂點B爬行，問這只螞蟻爬行的最短路程為多少米？分析：最短路程為展開圖中的米五 小結：1.說明勾股定理成立時要有一定的拼圖能力。2.構造直角三角形，將實際問題轉化為數(shù)學問題，運用勾股定理建立方程求解。六課堂作業(yè)：書P53 1.2 14.1.2直角三角形的判定教學目標：1.掌握直角三角形的判別條件。 2.熟記一些勾股數(shù)。能對直角三角形的判別條件進行一些綜合應用。教學重點 ：直角三角形的判別條件及其應用；它可用邊的關系來判斷一個三角形是否是直角三角形。教學難點 ：直角三角形的判別條件判斷一個三角形是否是直角三角形及綜合應用直角三角形的知識解題。教學過程：一 .復習引入：1、 復習直角三角形的性質：角的性質、邊的性質。2、 我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關系來判定它是否為直角三角形呢？二、 講述新課：1、 古代埃及人作直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：他們用13個等距的結把一根繩子分成等長的12段，一個工匠同時握住繩子的第1個結和第13個結，兩個助手分別握住第4個結和第8個結，拉緊繩子，就會得到一個直角三角形。其直角在第4個結處。他們真的能夠得到直角三角形嗎？2、做一做下面的三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a，b，c：5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。（1）這三組數(shù)都滿足 嗎？（2）分別以這三組樹為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？3、從做一做中，你能猜想到什么結論？勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關系，那么這個三角形是直角三角形.例1 設三角形三邊長分別為下列各組數(shù)，試判斷各三角形是否是直角三角形：（1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9解 因為 25，所以根據前面的判定方法可知，以（1）、（2）兩組數(shù)為邊長的三角形是直角三角形，而以組（3）的數(shù)為邊長的三角形不是直角三角形4、勾股數(shù)：能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（或勾股弦數(shù)）。請你與你的同伴合作，看看可以找出多少組勾股數(shù)。練習：在一根長為180個單位的繩子上，分別標出A，B，C，D四個點，它們將繩子分為長為60個單位、45個單位和75個單位的三段線段。自己握住繩子的兩個端點（A點和D點），兩名同伴分別握住B點和C點，一起將繩子拉直，會得到一根什么形狀？為什么？記住常用的勾股數(shù)能成為直角三角形三邊的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)，32+42=52 3、4、5是一組勾股數(shù)同理 6、8、10是一組勾股數(shù)，5、12、13也是一組勾股數(shù)；此外，還可用下面的方法產生無數(shù)組勾股數(shù)：由例2a=n2-1b=2nc=n2+1n=2a=3b=4c=5n=3a=8b=6c=10n=4a=15b=8c=17三、 隨堂練習：1、P54練習1.2題四、 小結：（1） 只要有兩邊的平方和等到于第三邊的平方，這樣的三角形是直角三角形，簡記為：a2+b2=c2C=900（2） 應用勾股定理的逆定理時，先計算較小兩邊的平方和再把它和最大邊的平方比較；（3） 常用的勾股數(shù)有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等。（4） 判定一個直角三角形，我們除了可根據定義去證明它有一個直角外，還可以采用今天的勾股定理的逆定理，即去證明三角形兩條較短邊的平方和等于較長邊的平方，這是代數(shù)方法在幾何中的應用；（5） 在定理中出現(xiàn)的a、b、c并不是固定的，要理解其實質；五、布置作業(yè)：P55 5.6勾股定理的應用（一）一、教學目標1、會用勾股定理解決簡單的實際問題。2、樹立數(shù)形結合的思想。二、重點、難點1、重點：勾股定理的應用。2、難點：實際問題向數(shù)學問題的轉化。3、難點的突破方法：數(shù)形結合，從實際問題中抽象出幾何圖形，讓學生畫好圖后標圖；在實際問題向數(shù)學問題的轉化過程中，注意勾股定理的使用條件，教師要向學生交代清楚，解釋明白；優(yōu)化訓練，在不條件、不同環(huán)境中反復運用定理，使學生達到熟練使用，靈活運用的程度；讓學生深入探討，積極參與到課堂中，發(fā)揮學生的積極性和主動性。勾股定理能解決直角三角形的許多問題，因此在現(xiàn)實生活和數(shù)學中有著廣泛的應用三.舉例例1如圖14.2.1，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程圖14.2.1分析 螞蟻實際上是在圓柱的半個側面內爬行，如果將這半個側面展開（如圖14.2.2），得到矩形 D，根據“兩點之間，線段最短”，所求的最短路程就是側面展開圖矩形對角線AC之長（精確到.cm）圖14.2.2解 如圖14.2.2，在Rt中，底面周長的一半cm， AC229（cm）（勾股定理）答： 最短路程約為cm例2一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖14.2.3的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?圖14.2.3分析由于廠門寬度足夠，所以卡車能否通過，只要看當卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH如圖.所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD， 與地面交于H解 在RtOCD中，由勾股定理得.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門四.隨堂練習：1、P54練習1.2題五、作業(yè)1課本P1415 1.4 1、2、3。勾股定理的應用（二）一、教學目標1、會用勾股定理解決較綜合的問題。2、樹立數(shù)形結合的思想。二、重點、難點1、重點：勾股定理的綜合應用。2、 難點：勾股定理的綜合應用。教學過程：一.舉例例3如圖14.2.5，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，請在給定網格中按下列要求畫出圖形：（1） 從點A出發(fā)畫一條線段，使它的另一個端點在格點（即小正方形的頂點）上，且長度為22；（2） 畫出所有的以（1）中的為邊的等腰三角形， 使另一個頂點在格點上，且另兩邊的長度都是無理數(shù)分析只需利用勾股定理看哪一個矩形的對角線滿足要求 圖14.2.5 圖14.2.6解（1） 圖14.2.6中長度為22（2） 圖14.2.6中、 D就是所要畫的等腰三角形例4如圖14.2.7，已知CDm， ADm， ADC， BCm， m求圖中陰影部分的面積圖14.2.7解 在RtADC中，AC（勾股定理）， ACm ， ACB為直角三角形（如果三角形的三邊長a、 b、 c有關系： abc，那么這個三角形是直角三角形）， S陰影部分ACBACD1/21/2（m）二、隨堂練習三作業(yè)回顧與思考教學目標1知識目標：掌握直角三角形的邊、角之間分別存在著的關系，熟練地運用直角三角形的勾股定理和其他性質解決實際問題。2能力目標：正確使用勾股定理的逆定理，準確地判斷三角形的形狀。3德育目標：熟悉勾股定理的歷史，進一步了解我國古代數(shù)學的偉大成就，激發(fā)學生的愛國熱情，培養(yǎng)探索知識的良好習慣。教學重點：掌握勾股定理及其逆定理。教學難點：準確應用勾股定理及其逆定理。教具準備：投影儀，膠片，彩色水筆，三角板等教學方法：啟發(fā)式教育教學過程 一、回顧與思考 1直角三角形的邊存在著什么關系？ 2直角三角形的角存在著什么關系？ 3直角三角形還有哪些性質？4如何判斷一個三角形是直角三角形？ 5你知道勾股定理的歷史嗎？三、 講例BDCAO問題：如圖，一個3m長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？（留幾分鐘的時間給學生思考）分析：1、求梯子的底端B距墻角O多少米？ 2、如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m至C，請同學們猜一猜：（1）底端也將滑動0.5米嗎？（2）能否求出OD的長？解：根據勾股定理，在RtOAB中，AB=3m，OA=2.5m，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。BOAOB1.658m；在RtOCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-OC2= 32-22=5。OD2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.6580.58m如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.58m。 例2 議一議P19 拼圖與勾股定理 觀察圖 2 驗證：c2a2b2證明：大正方形面積可表示為c2，也可以表示為ab4（ba）2 所以c2ab4（ba）2 2abb22aba2 a2b2 故c2a2十b2例3. 一個零件的形狀如圖，按規(guī)定這個零件中A與BDC都應為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD4，AB3，DB5，DC12，BC13，這個零件符合要求嗎？ 分析：要檢驗這個零件是否符合要求，只要判斷ABC和DBC是否為直角三角形，這樣勾股定理的逆定理即可派上用場了。DBA34512C13 解：在ABC中，AB2AD2324291625BD2 所以ABC為直角三角形，A90 在DBC中，BD2DC25212225144169132BC2 所以DBC是直角三角形，CDB90 因此這個零件符合要求。四