河南省鄲城縣光明中學八年級數(shù)學下冊 第19章 全等三角形綜合復習指導題（二） 華東師大版.doc

全等三角形綜合指導一、基礎知識回顧1三角形的概念由_的三條線段_相接所組成的圖形叫做三角形，它有_條邊和_個內角，三角形可用符號_表示.2三角形的三條重要線段（1）在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做_. 三角形的三條角平分線一定在三角形的內部，且它們交于_.（2）在三角形中，連結一個頂點和它對邊中點的線段，叫做_. 三角形的三條中線一定在三角形的內部，且它們交于_.（3）從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做_. 在_三角形中，三條高在三角形的內部，因而交點也在三角形的內部；在_三角形中，只有一條高在三角形的內部，另外兩條高恰好是三角形的兩條直角邊，因而交點正好是_；在_三角形中，有一條高在三角形的內部，另外兩條高在三角形的外部，這三條高的延長線相交于_.3三角形的有關性質：（1）三角形的任意兩邊之和_第三邊，任意兩邊之差_第三邊.（2）三角形的內角和為_；直角三角形的兩個銳角_.（3）三角形具有_，即三角形的三邊的長度確定后，其形狀保持不變.4三角形的分類（1）按_分類：（2）按_分類：5全等三角形的性質：全等三角形的_相等，_相等.6三角形全等的判定（1）_對應相等的兩個三角形全等，簡記為“sss”；（2）_和_對應相等的兩個三角形全等，簡記為“asa”；（3）_和_對應相等的兩個三角形全等，簡記為“aas”；（4）_和_對應相等的兩個三角形全等，簡記為“sas”；7直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定除了可以利用sss，asa，aas，sas判定外，它還可以利用“hl”來判定，即_和_對應相等的兩個直角三角形全等. 三角形全等的應用：（1）利用尺規(guī)作圖（2）利用三角形全等測量距離二、主要思想方法1方程思想：就是從分析問題的數(shù)量關系入手，通過設定未知數(shù)，把問題中的已知量與未知量的數(shù)量關系，轉化為方程模型，使問題得到解決.例1 （2008年陜西?。┮粋€三角形三個內角的度數(shù)之比為237，這個三角形是（ ）. a直角三角形 b等腰三角形 c銳角三角形 d鈍角三角形析解：根據(jù)條件，可設三個內角的度數(shù)分別為，于是有.解得15. 所以最大角的度數(shù)為：7=. 故選d.評注：在解有關“邊、角”的計算題時，如果設適當?shù)奈粗獢?shù)，再由已知條件找出相等關系，把問題轉化為方程來解，往往思路清晰，解法簡捷明了.2轉化思想：利用三角形全等是證明線段或角相等的重要方法之一，但有時不能直接應用，這就需要根據(jù)條件通過作輔助線進行轉化構造全等三角形，從而達到解決問題的目的.例2 如圖1，在abc中a=，ab=ac，bd是abc的平分線，從c點向bd作垂線，垂足為e. 試說明bd與ce之間的數(shù)量關系，并說明理由.圖1析解：bd=2ce. 理由如下：延長ce與ba的延長線交于一點m. 在ebm和ebc中，因為mbe=cbe，be=be，bem=bec=，所以ebmebc（asa）. 所以ce=me，即cm=2ce.因為mbe+m=，mca+m=，所以mbe=mca.在abd和acm中，因為bad=cam=，ab=ac，mbe=mca，所以abdacm（asa）.所以bd=cm=2ce.評注：角平分線常常與全等三角形結合在一起證明線段相等，利用角平分線構造全等三角形的方法主要有翻折、截取、延長等.3逆向思維的方法：逆向思維是指由果索因，從原問題的相反方向著手的一種思維，即在說明某個問題時，倒過來從結論中尋找結論成立條件的方法.例3（2008年黃石市） 如圖2，已知點d是abc的邊ab上一點，abfc，df交ac于點e，de=ef. 試說明ae=cf.圖2析解：若要說明ae=cf，只要說明它們所在的兩個三角形全等即可，即. 現(xiàn)已具備aed=cef，尚需要一角或一邊對應相等. 由abfc，可得ade=cfe. 在aed和cef中， 因為ade=cfe，de=ef，aed=cef，所以，所以ae=cf.評注：用這種逆向分析的方法，可以順利地理清許多說理題的解題思路，為說理或證明作好鋪墊.三、易錯點突破1運用三角形三邊關系性質致誤例1 若等腰三角形的一條邊長為6厘米，另一邊長為2厘米，則它的周長為（ ）.a10厘米 b14厘米 c10厘米或14厘米 d無法確定錯解：由于本題未指明所給邊長是等腰三角形的腰還是底，所以需討論：當腰長為6厘米時，底邊長為2厘米，則周長為；當腰長為2厘米時，底邊長為6厘米，則周長為. 故選c.分析：本題錯在沒有注意到三角形成立的條件：“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”，當腰長為2厘米，底邊長為6厘米時，不能構成三角形.正解：本題只能把6厘米作為腰，2厘米作為底，故三角形的周長為14厘米，故選b.2應用判定方法致誤例2 如圖3，已知ab=dc，oa=od，a=d. 問1=2嗎？試說明理由.圖3錯解：1=2. 理由如下：在aob和doc中，因為ab=dc，oa=od，aob=doc.所以aobdoc，所以1=2.分析：不存在“角角角（aaa）”和“邊邊角（ssa）”的判定方法，即對于一般三角形，“有三個角對應相等的兩個三角形不一定全等”和“有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.”正解：在aob和doc中，因為ab=dc，a=d，oa=od.所以aobdoc（sas），所以1=2.3不理解“對應”致誤例3 已知在兩個直角三角形中，有一對銳角相等，又有一組邊相等，那么這兩個三角形是否全等？錯解：這兩個三角形全等. 分析：對“asa”全等判定法中“對應邊相等”沒有理解，錯把邊相等當成對應邊相等.圖4正解：這兩個三角形不一定全等. 如圖4所示，在，cd=ab，顯然與不全等.四、重難點析解1三角形的有關概念例1（2008年鄒城市）能把一個三角形分成面積相等的兩部分的是該三角形的一條（ ）a中線 b角平分線 c高線 d邊的垂直平分線分析：根據(jù)三角形中線的特征及其面積公式可知，等底同高的兩三角形的面積相等.解：只有三角形的一條中線才能把三角形的面積分成相等的兩部分. 故選a.評注：三角形的“三線”在解題中有著廣泛的應用，因此，要正確認識其定義及特征.2三角形的三邊之間的關系例2（2008年十堰市）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（ ）.a1厘米，2 厘米，3厘米 b2厘米，3 厘米，6 厘米c4厘米，6 厘米，8厘米 d5厘米，6 厘米，12厘米分析：判斷三條線段能否構成三角形，只需檢驗兩條較短的線段之和是否大于最長線段即可，若大于則能構成，否則不能構成.解：根據(jù)“三角形的兩邊之和大于第三邊”.然后觀察四個選項，滿足兩邊之和大于第三邊的只有4厘米，6 厘米，8厘米. 故選c.評注：涉及三角形三邊關系的問題時，應注意三角形三邊關系的應用.3三角形的內角和例3（2008年聊城市）如圖5，那么3的度數(shù)是（ ）.a55b65 c75d85123圖5分析：本題可利用平角及鄰補角的定義，把和轉化為三角形的內角.解：由圖5可知：與1相鄰的補角為，與2相鄰的補角為，由三角形的內角和為，可得3=. 故選b.評注：涉及三角形有關的角度計算問題，一般要考慮到三角形內角和的應用.4全等三角形的性質12圖6例4（2008年常州市） 如圖6，已知，.試說明.分析：要說明，只要說明即可. 由已知條件可知，這兩個三角形已經(jīng)具備兩邊對應相等，因此再找這兩邊的夾角相等即可.解：，所以，即. 又，所以（sas），所以.評注：因為全等三角形的對應邊相等，所以要說明分別屬于兩個三角形的線段相等，常常通過說明這兩個三角形全等來解決問題.5利用三角形全等解決實際問題例5 如圖7，a，b，c，d是四個村莊，b，d，c在一條東西走向公路的沿線上，bd=1千米，dc=1千米，村莊ac、ad間也有公路相連，且adbc，ac=3千米，只有村莊ab之間由于間隔了一個小湖，所以無直接相連的公路. 現(xiàn)準備在湖面上造一座斜拉橋，測得ae=1.2千米，bf=0.7千米. 試求所建造的斜拉橋長有多少千米？圖7分析：由于村莊ab之間間隔了一個小湖，無法直接測量，故可利用轉化思想，