大學物理力學4.pdf

1 復習上一次課的內(nèi)容 2 動量定理及守恒定律 動量定理及守恒定律 3 質(zhì)心運動定理 質(zhì)心運動定理 c FMa r r m rm r ii c r r 質(zhì)心質(zhì)心 if t t PPdtF f i rrr 0 F r 常矢量 常矢量 P r 1 力的沖量 力的沖量 f i t t dttFI rr 沖量是力的時間積累量沖量是力的時間積累量 F dt pd r r Fr dt pd r r r r r 由于由于 dt prd rr 用位置矢量叉乘兩邊用位置矢量叉乘兩邊 dt pd r r r 于是于是 Fr dt prd r r rr prL rr r 為為角動量角動量 FrM r r r 為為力矩力矩 M dt Ld r r 則則 稱為稱為角動量定理角動量定理 令令 dt pd rp dt rd r rr r L單位 單位 kg m2 s 或或 J s r p L 一 角動量一 角動量 3 6 3 6 3 6 3 6 質(zhì)點的角動量和角動量定理質(zhì)點的角動量和角動量定理質(zhì)點的角動量和角動量定理質(zhì)點的角動量和角動量定理 FrM r r r 1 力矩力矩 力矩的方向 力矩的方向 r r F r o N M r 用用右手螺旋法則右手螺旋法則確定 即 右手四指從 確定 即 右手四指從r r 方向繞向方向繞向F r 則拇指指的就是則拇指指的就是M r 的方向的方向 力矩的大小力矩的大小 FrM r r r sinFr r r FON 力臂乘以力力臂乘以力 r M r r r F o N 2 角動量角動量 prL rr r r r p r o A B L r 方向用方向用右手螺旋法則右手螺旋法則確定 角動量的大小 確定 角動量的大小 prL rr r sinpr rr pOA 動量臂乘以動量動量臂乘以動量 v r m L 3 質(zhì)點作勻速率圓周運動時 質(zhì)點 對圓心的角動 量的大小 方向均不 變 3 質(zhì)點作勻速率圓周運動時 質(zhì)點 對圓心的角動 量的大小 方向均不 變L L m mvrvr 2 同一質(zhì)點相對于2 同一質(zhì)點相對于不同的點不同的點 角動量可以不同 在說明質(zhì)點的角動量時 必須指明是對哪個點而言的 角動量可以不同 在說明質(zhì)點的角動量時 必須指明是對哪個點而言的 說明說明 1 力矩和角動量都是對于1 力矩和角動量都是對于慣性系中同一固定點慣性系中同一固定點 而言的而言的 O r rv r FrM r r r prL rr r 4 4 rrrr r rmmrLrm rr 角動量的幾何含義 角動量的幾何含義 sinmvrL sinlim 0 r t r m t r tr r ttr r r r M N O dt dS t S t 0 lim 稱為稱為面積速度面積速度 角動量的大小與面積速度成正比角動量的大小與面積速度成正比 t S m t rr m tt 00 lim2 sin 2 1 lim2 r prL rr r P 2 例例6 長為 的輕桿 其兩端分別固定有質(zhì)量為 長為 的輕桿 其兩端分別固定有質(zhì)量為m和和3m的物 體 取與桿垂直的固定軸 的物 體 取與桿垂直的固定軸 重物重物m與過與過O點軸的距離為 繞軸轉(zhuǎn)動的線速度為 求它們對 點軸的距離為 繞軸轉(zhuǎn)動的線速度為 求它們對O點的總角動量 點的總角動量 l 4 3 v O l 4 3 m 3m 解 兩球的角速度相等解 兩球的角速度相等 4 3 44 l vll v 故故3m質(zhì)點線速度為 質(zhì)點線速度為 3 v 總角動量為 總角動量為 vm l mv l L 3 44 3 3 3 44 3v m l mv l lmv 方向 沿轉(zhuǎn)軸方向向上方向 沿轉(zhuǎn)軸方向向上 4 3l v v l 0 M r 常矢量常矢量 L r L 開普勒第二定律 開普勒第二定律 行星對恒星的徑矢的掠面速度不變行星對恒星的徑矢的掠面速度不變 例 行星受力方向與矢徑在一 條直線 中心力 故角動量 守恒 例 行星受力方向與矢徑在一 條直線 中心力 故角動量 守恒 dt Ld M r r vmr vv sinmvr sinr t r m r t rr m sin 2 1 2 r t S m 2 常數(shù)常數(shù) 0 FrOF F r r r r 點過點過 FrM r r r m r L r v r r r r 3 7 3 7 3 7 3 7 角動量守恒定律角動量守恒定律角動量守恒定律角動量守恒定律 1 對固定點對固定點O 質(zhì)點 質(zhì)點m所受合外力矩所受合外力矩 cosTRmgR o M sinTRmgR 則對則對O 點角動量守恒點角動量守恒 大小 方向均不變大小 方向均不變 o L r vmR r r RmvLo mg T o O m l R L L 2 對固定點對固定點O 質(zhì)點質(zhì)點m 所受合外力矩所受合外力矩 o M sinmgl 對對O 點角動量 點角動量 L L 方向隨時間變化方向隨時間變化 合外力矩 角動量均對同一點而言合外力矩 角動量均對同一點而言 TgmRM r r vr 大小大小 Lo mvl vmlLo r rr 0 sinmvl 0 例例7 擺球?qū)?擺球?qū)和和O 點 的角動量是否守恒 不守恒 點 的角動量是否守恒 不守恒 以逆時針為正以逆時針為正 i iiiij j i dL MrFf dt r rrr r i j 相互作用的力矩之和為相互作用的力矩之和為 0 iij ij i rf r r jijiji frfr r r r r i ii i i L dt d FrM rr r r 質(zhì)點系所受的質(zhì)點系所受的合外力矩合外力矩 等于該質(zhì)點系的角動量 對時間的變化率 等于該質(zhì)點系的角動量 對時間的變化率 i j Fi Pi fi j fj i o rj ri ijji frr r rr 0 無外力矩 質(zhì)點系總角動量守恒無外力矩 質(zhì)點系總角動量守恒 ji rr rr 3 8 3 8 3 8 3 8 質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理 例例8 如圖所示 兩個同樣重的小孩 如圖所示 兩個同樣重的小孩 各抓著跨過滑輪繩子的兩端 一個孩子用力往上爬 另一個則抓住繩子不動 若滑輪的質(zhì)量和軸 上的摩擦都可忽略 哪一個小孩先到達滑輪 又 兩個小孩重量不 等時情況如何 各抓著跨過滑輪繩子的兩端 一個孩子用力往上爬 另一個則抓住繩子不動 若滑輪的質(zhì)量和軸 上的摩擦都可忽略 哪一個小孩先到達滑輪 又 兩個小孩重量不 等時情況如何 解 以滑輪軸為參考點 把小孩解 以滑輪軸為參考點 把小孩 滑輪和繩看作一系統(tǒng)滑輪和繩看作一系統(tǒng) 1 r 2 r rmg rr R A B MA MB 系統(tǒng)角動量守恒 合外力矩為零 系統(tǒng)角動量守恒 合外力矩為零 常量 21 mRL LA LB 以 為正以 為正 設兩小孩起初都不動 設兩小孩起初都不動 21 同時到達同時到達 若若m1與與m2不等不等 0 12 gRmmM外 dt dL gRmmM 12外 21 mm 0 dt dL 21 m2先到達先到達 21 mm dt dL 21 m1先到達先到達 體輕的小 孩上升快 體輕的小 孩上升快 2211 mmRL 例例9 教科書 教科書 P108 3 23 解 小物塊相對圓心所受力矩 零 小物塊相對圓心角動量守恒 解 小物塊相對圓心所受力矩 零 小物塊相對圓心角動量守恒 rmvmvr 00 0 0 v r r v L v Cvmr v vv 3 復習上一次課的內(nèi)容 1 質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律 質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律 dL MrF dt r rr r 0 ML rr 恒矢量 prL rr r r p L i ii i i L dt d FrM rr r r 質(zhì)點系所受的質(zhì)點系所受的合外力矩合外力矩 等于該質(zhì)點系的角動量 對時間的變化率 等于該質(zhì)點系的角動量 對時間的變化率 2 質(zhì)點系的角動量定理 質(zhì)點系的角動量定理 4 2 動能定理動能定理 4 3 勢能勢能 4 4 引力勢能引力勢能 4 5 由勢能求保守力由勢能求保守力 4 6 機械能守恒定律機械能守恒定律 4 7 守恒定律的意義守恒定律的意義 4 9 兩體問題兩體問題 4 1 功功 4 8 碰撞碰撞 4 10 流體的穩(wěn)定流動流體的穩(wěn)定流動 4 11 伯努利方程伯努利方程 第第第第4 4章章章章 功和能功和能功和能功和能 1 恒力直線運動的功恒力直線運動的功 F r F 4 1 4 1 4 1 4 1 功功功功 cosrFA rF r r 元位移 元功 元位移 元功 F 2 變力曲線運動的功變力曲線運動的功 A B o rdr tr v dttr v cosFdrdA sdFrdF r r r r rdsd rr i iAB AA A到到B做功做功 i ii rF r r B A ii rdF r r 3 功在直角系下的表達式功在直角系下的表達式 kFjFiFF zyx rrrr dzFdyFdxFdA zyx kdzjdyidxrd rrr r 合力的功等于各 分力沿同一路徑 做功之代數(shù)和 合力的功等于各 分力沿同一路徑 做功之代數(shù)和 rdFA B A AB r r rdFrdFrdF B A N B A B A r r r r r r 21 NABABAB AAA 21 4 說明 說明 1 功是標量 符合代數(shù)運算規(guī)則功是標量 符合代數(shù)運算規(guī)則 rdFFF B A N r rrr 21 dAF dr r r 2 功是功是過程量過程量 是力的空間積累 3 功的幾何意義 是力的空間積累 3 功的幾何意義 dAF x dx 2 1 x x dxxFA 功在數(shù)值上等于示功圖曲線下的面積功在數(shù)值上等于示功圖曲線下的面積 F x x dx 0 示功圖示功圖 F 12 xx 4 因位移是相對量 功的數(shù)值與參照系的選擇相關(guān)4 因位移是相對量 功的數(shù)值與參照系的選擇相關(guān) 5 功率 功率 平均功率平均功率 瞬時功率瞬時功率 力在單位時間內(nèi)所做功力在單位時間內(nèi)所做功 t A N dt dA t A N t lim 0 dt rdF r r r r F 例例1 光滑的水平桌面上有一環(huán)帶 環(huán)帶與小物體的摩擦 系數(shù) 光滑的水平桌面上有一環(huán)帶 環(huán)帶與小物體的摩擦 系數(shù) 在外力作用下小物體 質(zhì)量 在外力作用下小物體 質(zhì)量 m 以速率以速率v做勻速圓 周運動 求轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功 做勻速圓 周運動 求轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功 r 解 小物體對環(huán)帶壓力解 小物體對環(huán)帶壓力 rmvN 2 走一段小位移走一段小位移 ds 所做的功 所做的功 2 v dAmds r 轉(zhuǎn)一周作功轉(zhuǎn)一周作功 2 2 2 v AdAmdsmv r 摩擦力 摩擦力 r v mNf 2 F dt Pd r r rdFrd dt Pdr r r r 注意到 注意到 dP dr drdPdP v dtdt r r rr rr m P Pd r r m P d 2 2 于是 于是 rdF m P d r r 2 2 rdFdA r r 為為元功元功 為為動能動能 dAdEk 2 2 1 22 k P Emv m 對于有限的過程 對于有限的過程 22 11 22 ABkBkABA AEEmvmv 力的空間積累其效果為動能增量 動能增量 是狀態(tài)量 與過程無關(guān) 力的空間積累其效果為動能增量 動能增量 是狀態(tài)量 與過程無關(guān) 動能定理動能定理 合 外力對質(zhì)點所 做的功等于質(zhì) 點動能的增量 合 外力對質(zhì)點所 做的功等于質(zhì) 點動能的增量 4 2 4 2 4 2 4 2 動能定理動能定理動能定理動能定理 4 力的空間累積效應 力的時間累積效應 力的空間累積效應 力的時間累積效應 22 2 1 2 1 AB B A mvmvrdF r r AB B A vmvmdtF rr r 1122 Afrfr rr rr 一對力所做的功 等于其中 一個質(zhì)點所受的力沿該質(zhì)點相 對于另一質(zhì)點所移動的路徑所 做的功 一對力所做的功 等于其中 一個質(zhì)點所受的力沿該質(zhì)點相 對于另一質(zhì)點所移動的路徑所 做的功 221 AdAfdr r r 相對位移相對位移 A1 A2 B1 B2 O r r 1 r r2 r r21 1 f r 2 f r rr 1 rr2 122 rrf rr r 212 rf r r 一 一對力的功一 一對力的功 1 一對內(nèi)力作功之和 一對內(nèi)力作功之和與參照系選擇無關(guān) 與參照系選擇無關(guān) 只 決定于兩質(zhì)點的 只 決定于兩質(zhì)點的相對路徑相對路徑 結(jié)論結(jié)論 2 一對力的功的計算 視一質(zhì)點靜止 取其為坐標原 點 計算另一質(zhì)點在此坐標系運動過程中受力做功 一對力的功的計算 視一質(zhì)點靜止 取其為坐標原 點 計算另一質(zhì)點在此坐標系運動過程中受力做功 4 34 3 4 5 4 5 勢能勢能勢能勢能引力勢能引力勢能引力勢能引力勢能由勢能求保守力由勢能求保守力由勢能求保守力由勢能求保守力 例例2 摩擦力做功 摩擦力做功 地面看摩擦力對物體作功地面看摩擦力對物體作功 sfW 在物體參考系在物體參考系 也是慣性系也是慣性系 物體 沒有移動 物體 沒有移動 摩擦力對物體作功摩擦力對物體作功 W 摩擦力是一對力 成對摩擦力作的功 摩擦力對地面 摩擦力是一對力 成對摩擦力作的功 摩擦力對地面 v f 0 W WfS 一對摩擦力所做的功與參考系的選擇無關(guān)一對摩擦力所做的功與參考系的選擇無關(guān) 運動中放出熱能運動中放出熱能 212121 rdfrdfW r r r r 二 保守力勢能二 保守力勢能 1 重力作功 重力勢能 重力作功 重力勢能 kmgF r b a rdFA r v z a b x y 2 z 1 z k r rdr b a rdkmg r b a rdmg cos r 2 1 z z mgdz 12 zzmg 引入函數(shù) 引入函數(shù) mgzEp 稱為稱為重力勢能重力勢能 作功與路徑無關(guān)作功與路徑無關(guān) 于是重力作功可寫為 于是重力作功可寫為 12 zEzEA pp 即重力勢能增量的負値即重力勢能增量的負値 M 2 萬有引力作功萬有引力勢能 萬有引力作功萬有引力勢能 ttr r tr r b b r a a r rdr 0 2 r r Mm GF r r 0 r r 沿位置矢量 的單位矢量 沿位置矢量 的單位矢量 b a rdr r GMm rr0 2 1 m b a rdFA r v b a r rdr GMm 2 0 cos rr b a r r r dr GMm 2 ab r GMm r GMm 引入函數(shù) 引入函數(shù) 稱為稱為萬有 引力勢能 萬有 引力勢能 于是有 于是有 即萬有引力勢能增量的負値即萬有引力勢能增量的負値 r GMm Ep apbp rErEA 3 彈性力做功 彈性勢能 彈性力做功 彈性勢能 2 1 22 ab x x xxkxdxkA b a x 自然長度 彈簧 自然長度 彈簧 X F 0 彈性力彈性力kxF FdxdA kxdx 引入函數(shù)引入函數(shù) 2 2 1 kxEp 稱為稱為彈性勢能彈性勢能 于是有 于是有 apbp xExEA 即彈性勢能增量的負値即彈性勢能增量的負値 以上幾種力作功的共同特點是 以上幾種力作功的共同特點是 作功與路徑無關(guān)作功與路徑無關(guān) 如果有一力如果有一力F 它對物體所作的功決定于作功的起點和 終點而與作功的路徑無關(guān) 稱此力為 它對物體所作的功決定于作功的起點和 終點而與作功的路徑無關(guān) 稱此力為保守力保守力或或有勢力有勢力 結(jié)論 結(jié)論 保守力做功等于勢能增量的負值保守力做功等于勢能增量的負值 5 在在保守力場保守力場中引入一個只與位置有 關(guān)的函數(shù) 中引入一個只與位置有 關(guān)的函數(shù) A點的函