大學(xué)物理力學(xué)4.pdf

1 復(fù)習(xí)上一次課的內(nèi)容 2 動(dòng)量定理及守恒定律 動(dòng)量定理及守恒定律 3 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 c FMa r r m rm r ii c r r 質(zhì)心質(zhì)心 if t t PPdtF f i rrr 0 F r 常矢量 常矢量 P r 1 力的沖量 力的沖量 f i t t dttFI rr 沖量是力的時(shí)間積累量沖量是力的時(shí)間積累量 F dt pd r r Fr dt pd r r r r r 由于由于 dt prd rr 用位置矢量叉乘兩邊用位置矢量叉乘兩邊 dt pd r r r 于是于是 Fr dt prd r r rr prL rr r 為為角動(dòng)量角動(dòng)量 FrM r r r 為為力矩力矩 M dt Ld r r 則則 稱為稱為角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 令令 dt pd rp dt rd r rr r L單位 單位 kg m2 s 或或 J s r p L 一 角動(dòng)量一 角動(dòng)量 3 6 3 6 3 6 3 6 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理 FrM r r r 1 力矩力矩 力矩的方向 力矩的方向 r r F r o N M r 用用右手螺旋法則右手螺旋法則確定 即 右手四指從 確定 即 右手四指從r r 方向繞向方向繞向F r 則拇指指的就是則拇指指的就是M r 的方向的方向 力矩的大小力矩的大小 FrM r r r sinFr r r FON 力臂乘以力力臂乘以力 r M r r r F o N 2 角動(dòng)量角動(dòng)量 prL rr r r r p r o A B L r 方向用方向用右手螺旋法則右手螺旋法則確定 角動(dòng)量的大小 確定 角動(dòng)量的大小 prL rr r sinpr rr pOA 動(dòng)量臂乘以動(dòng)量動(dòng)量臂乘以動(dòng)量 v r m L 3 質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí) 質(zhì)點(diǎn) 對(duì)圓心的角動(dòng) 量的大小 方向均不 變 3 質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí) 質(zhì)點(diǎn) 對(duì)圓心的角動(dòng) 量的大小 方向均不 變L L m mvrvr 2 同一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于2 同一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于不同的點(diǎn)不同的點(diǎn) 角動(dòng)量可以不同 在說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí) 必須指明是對(duì)哪個(gè)點(diǎn)而言的 角動(dòng)量可以不同 在說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí) 必須指明是對(duì)哪個(gè)點(diǎn)而言的 說(shuō)明說(shuō)明 1 力矩和角動(dòng)量都是對(duì)于1 力矩和角動(dòng)量都是對(duì)于慣性系中同一固定點(diǎn)慣性系中同一固定點(diǎn) 而言的而言的 O r rv r FrM r r r prL rr r 4 4 rrrr r rmmrLrm rr 角動(dòng)量的幾何含義 角動(dòng)量的幾何含義 sinmvrL sinlim 0 r t r m t r tr r ttr r r r M N O dt dS t S t 0 lim 稱為稱為面積速度面積速度 角動(dòng)量的大小與面積速度成正比角動(dòng)量的大小與面積速度成正比 t S m t rr m tt 00 lim2 sin 2 1 lim2 r prL rr r P 2 例例6 長(zhǎng)為 的輕桿 其兩端分別固定有質(zhì)量為 長(zhǎng)為 的輕桿 其兩端分別固定有質(zhì)量為m和和3m的物 體 取與桿垂直的固定軸 的物 體 取與桿垂直的固定軸 重物重物m與過(guò)與過(guò)O點(diǎn)軸的距離為 繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度為 求它們對(duì) 點(diǎn)軸的距離為 繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度為 求它們對(duì)O點(diǎn)的總角動(dòng)量 點(diǎn)的總角動(dòng)量 l 4 3 v O l 4 3 m 3m 解 兩球的角速度相等解 兩球的角速度相等 4 3 44 l vll v 故故3m質(zhì)點(diǎn)線速度為 質(zhì)點(diǎn)線速度為 3 v 總角動(dòng)量為 總角動(dòng)量為 vm l mv l L 3 44 3 3 3 44 3v m l mv l lmv 方向 沿轉(zhuǎn)軸方向向上方向 沿轉(zhuǎn)軸方向向上 4 3l v v l 0 M r 常矢量常矢量 L r L 開(kāi)普勒第二定律 開(kāi)普勒第二定律 行星對(duì)恒星的徑矢的掠面速度不變行星對(duì)恒星的徑矢的掠面速度不變 例 行星受力方向與矢徑在一 條直線 中心力 故角動(dòng)量 守恒 例 行星受力方向與矢徑在一 條直線 中心力 故角動(dòng)量 守恒 dt Ld M r r vmr vv sinmvr sinr t r m r t rr m sin 2 1 2 r t S m 2 常數(shù)常數(shù) 0 FrOF F r r r r 點(diǎn)過(guò)點(diǎn)過(guò) FrM r r r m r L r v r r r r 3 7 3 7 3 7 3 7 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 1 對(duì)固定點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O 質(zhì)點(diǎn) 質(zhì)點(diǎn)m所受合外力矩所受合外力矩 cosTRmgR o M sinTRmgR 則對(duì)則對(duì)O 點(diǎn)角動(dòng)量守恒點(diǎn)角動(dòng)量守恒 大小 方向均不變大小 方向均不變 o L r vmR r r RmvLo mg T o O m l R L L 2 對(duì)固定點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m 所受合外力矩所受合外力矩 o M sinmgl 對(duì)對(duì)O 點(diǎn)角動(dòng)量 點(diǎn)角動(dòng)量 L L 方向隨時(shí)間變化方向隨時(shí)間變化 合外力矩 角動(dòng)量均對(duì)同一點(diǎn)而言合外力矩 角動(dòng)量均對(duì)同一點(diǎn)而言 TgmRM r r vr 大小大小 Lo mvl vmlLo r rr 0 sinmvl 0 例例7 擺球?qū)?擺球?qū)和和O 點(diǎn) 的角動(dòng)量是否守恒 不守恒 點(diǎn) 的角動(dòng)量是否守恒 不守恒 以逆時(shí)針為正以逆時(shí)針為正 i iiiij j i dL MrFf dt r rrr r i j 相互作用的力矩之和為相互作用的力矩之和為 0 iij ij i rf r r jijiji frfr r r r r i ii i i L dt d FrM rr r r 質(zhì)點(diǎn)系所受的質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩合外力矩 等于該質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量 對(duì)時(shí)間的變化率 等于該質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量 對(duì)時(shí)間的變化率 i j Fi Pi fi j fj i o rj ri ijji frr r rr 0 無(wú)外力矩 質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量守恒無(wú)外力矩 質(zhì)點(diǎn)系總角動(dòng)量守恒 ji rr rr 3 8 3 8 3 8 3 8 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理 例例8 如圖所示 兩個(gè)同樣重的小孩 如圖所示 兩個(gè)同樣重的小孩 各抓著跨過(guò)滑輪繩子的兩端 一個(gè)孩子用力往上爬 另一個(gè)則抓住繩子不動(dòng) 若滑輪的質(zhì)量和軸 上的摩擦都可忽略 哪一個(gè)小孩先到達(dá)滑輪 又 兩個(gè)小孩重量不 等時(shí)情況如何 各抓著跨過(guò)滑輪繩子的兩端 一個(gè)孩子用力往上爬 另一個(gè)則抓住繩子不動(dòng) 若滑輪的質(zhì)量和軸 上的摩擦都可忽略 哪一個(gè)小孩先到達(dá)滑輪 又 兩個(gè)小孩重量不 等時(shí)情況如何 解 以滑輪軸為參考點(diǎn) 把小孩解 以滑輪軸為參考點(diǎn) 把小孩 滑輪和繩看作一系統(tǒng)滑輪和繩看作一系統(tǒng) 1 r 2 r rmg rr R A B MA MB 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒 合外力矩為零 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒 合外力矩為零 常量 21 mRL LA LB 以 為正以 為正 設(shè)兩小孩起初都不動(dòng) 設(shè)兩小孩起初都不動(dòng) 21 同時(shí)到達(dá)同時(shí)到達(dá) 若若m1與與m2不等不等 0 12 gRmmM外 dt dL gRmmM 12外 21 mm 0 dt dL 21 m2先到達(dá)先到達(dá) 21 mm dt dL 21 m1先到達(dá)先到達(dá) 體輕的小 孩上升快 體輕的小 孩上升快 2211 mmRL 例例9 教科書 教科書 P108 3 23 解 小物塊相對(duì)圓心所受力矩 零 小物塊相對(duì)圓心角動(dòng)量守恒 解 小物塊相對(duì)圓心所受力矩 零 小物塊相對(duì)圓心角動(dòng)量守恒 rmvmvr 00 0 0 v r r v L v Cvmr v vv 3 復(fù)習(xí)上一次課的內(nèi)容 1 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律 dL MrF dt r rr r 0 ML rr 恒矢量 prL rr r r p L i ii i i L dt d FrM rr r r 質(zhì)點(diǎn)系所受的質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩合外力矩 等于該質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量 對(duì)時(shí)間的變化率 等于該質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量 對(duì)時(shí)間的變化率 2 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理 4 2 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 4 3 勢(shì)能勢(shì)能 4 4 引力勢(shì)能引力勢(shì)能 4 5 由勢(shì)能求保守力由勢(shì)能求保守力 4 6 機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律 4 7 守恒定律的意義守恒定律的意義 4 9 兩體問(wèn)題兩體問(wèn)題 4 1 功功 4 8 碰撞碰撞 4 10 流體的穩(wěn)定流動(dòng)流體的穩(wěn)定流動(dòng) 4 11 伯努利方程伯努利方程 第第第第4 4章章章章 功和能功和能功和能功和能 1 恒力直線運(yùn)動(dòng)的功恒力直線運(yùn)動(dòng)的功 F r F 4 1 4 1 4 1 4 1 功功功功 cosrFA rF r r 元位移 元功 元位移 元功 F 2 變力曲線運(yùn)動(dòng)的功變力曲線運(yùn)動(dòng)的功 A B o rdr tr v dttr v cosFdrdA sdFrdF r r r r rdsd rr i iAB AA A到到B做功做功 i ii rF r r B A ii rdF r r 3 功在直角系下的表達(dá)式功在直角系下的表達(dá)式 kFjFiFF zyx rrrr dzFdyFdxFdA zyx kdzjdyidxrd rrr r 合力的功等于各 分力沿同一路徑 做功之代數(shù)和 合力的功等于各 分力沿同一路徑 做功之代數(shù)和 rdFA B A AB r r rdFrdFrdF B A N B A B A r r r r r r 21 NABABAB AAA 21 4 說(shuō)明 說(shuō)明 1 功是標(biāo)量 符合代數(shù)運(yùn)算規(guī)則功是標(biāo)量 符合代數(shù)運(yùn)算規(guī)則 rdFFF B A N r rrr 21 dAF dr r r 2 功是功是過(guò)程量過(guò)程量 是力的空間積累 3 功的幾何意義 是力的空間積累 3 功的幾何意義 dAF x dx 2 1 x x dxxFA 功在數(shù)值上等于示功圖曲線下的面積功在數(shù)值上等于示功圖曲線下的面積 F x x dx 0 示功圖示功圖 F 12 xx 4 因位移是相對(duì)量 功的數(shù)值與參照系的選擇相關(guān)4 因位移是相對(duì)量 功的數(shù)值與參照系的選擇相關(guān) 5 功率 功率 平均功率平均功率 瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率 力在單位時(shí)間內(nèi)所做功力在單位時(shí)間內(nèi)所做功 t A N dt dA t A N t lim 0 dt rdF r r r r F 例例1 光滑的水平桌面上有一環(huán)帶 環(huán)帶與小物體的摩擦 系數(shù) 光滑的水平桌面上有一環(huán)帶 環(huán)帶與小物體的摩擦 系數(shù) 在外力作用下小物體 質(zhì)量 在外力作用下小物體 質(zhì)量 m 以速率以速率v做勻速圓 周運(yùn)動(dòng) 求轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功 做勻速圓 周運(yùn)動(dòng) 求轉(zhuǎn)一周摩擦力做的功 r 解 小物體對(duì)環(huán)帶壓力解 小物體對(duì)環(huán)帶壓力 rmvN 2 走一段小位移走一段小位移 ds 所做的功 所做的功 2 v dAmds r 轉(zhuǎn)一周作功轉(zhuǎn)一周作功 2 2 2 v AdAmdsmv r 摩擦力 摩擦力 r v mNf 2 F dt Pd r r rdFrd dt Pdr r r r 注意到 注意到 dP dr drdPdP v dtdt r r rr rr m P Pd r r m P d 2 2 于是 于是 rdF m P d r r 2 2 rdFdA r r 為為元功元功 為為動(dòng)能動(dòng)能 dAdEk 2 2 1 22 k P Emv m 對(duì)于有限的過(guò)程 對(duì)于有限的過(guò)程 22 11 22 ABkBkABA AEEmvmv 力的空間積累其效果為動(dòng)能增量 動(dòng)能增量 是狀態(tài)量 與過(guò)程無(wú)關(guān) 力的空間積累其效果為動(dòng)能增量 動(dòng)能增量 是狀態(tài)量 與過(guò)程無(wú)關(guān) 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 合 外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所 做的功等于質(zhì) 點(diǎn)動(dòng)能的增量 合 外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所 做的功等于質(zhì) 點(diǎn)動(dòng)能的增量 4 2 4 2 4 2 4 2 動(dòng)能定理動(dòng)能定理動(dòng)能定理動(dòng)能定理 4 力的空間累積效應(yīng) 力的時(shí)間累積效應(yīng) 力的空間累積效應(yīng) 力的時(shí)間累積效應(yīng) 22 2 1 2 1 AB B A mvmvrdF r r AB B A vmvmdtF rr r 1122 Afrfr rr rr 一對(duì)力所做的功 等于其中 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力沿該質(zhì)點(diǎn)相 對(duì)于另一質(zhì)點(diǎn)所移動(dòng)的路徑所 做的功 一對(duì)力所做的功 等于其中 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力沿該質(zhì)點(diǎn)相 對(duì)于另一質(zhì)點(diǎn)所移動(dòng)的路徑所 做的功 221 AdAfdr r r 相對(duì)位移相對(duì)位移 A1 A2 B1 B2 O r r 1 r r2 r r21 1 f r 2 f r rr 1 rr2 122 rrf rr r 212 rf r r 一 一對(duì)力的功一 一對(duì)力的功 1 一對(duì)內(nèi)力作功之和 一對(duì)內(nèi)力作功之和與參照系選擇無(wú)關(guān) 與參照系選擇無(wú)關(guān) 只 決定于兩質(zhì)點(diǎn)的 只 決定于兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)路徑相對(duì)路徑 結(jié)論結(jié)論 2 一對(duì)力的功的計(jì)算 視一質(zhì)點(diǎn)靜止 取其為坐標(biāo)原 點(diǎn) 計(jì)算另一質(zhì)點(diǎn)在此坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受力做功 一對(duì)力的功的計(jì)算 視一質(zhì)點(diǎn)靜止 取其為坐標(biāo)原 點(diǎn) 計(jì)算另一質(zhì)點(diǎn)在此坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受力做功 4 34 3 4 5 4 5 勢(shì)能勢(shì)能勢(shì)能勢(shì)能引力勢(shì)能引力勢(shì)能引力勢(shì)能引力勢(shì)能由勢(shì)能求保守力由勢(shì)能求保守力由勢(shì)能求保守力由勢(shì)能求保守力 例例2 摩擦力做功 摩擦力做功 地面看摩擦力對(duì)物體作功地面看摩擦力對(duì)物體作功 sfW 在物體參考系在物體參考系 也是慣性系也是慣性系 物體 沒(méi)有移動(dòng) 物體 沒(méi)有移動(dòng) 摩擦力對(duì)物體作功摩擦力對(duì)物體作功 W 摩擦力是一對(duì)力 成對(duì)摩擦力作的功 摩擦力對(duì)地面 摩擦力是一對(duì)力 成對(duì)摩擦力作的功 摩擦力對(duì)地面 v f 0 W WfS 一對(duì)摩擦力所做的功與參考系的選擇無(wú)關(guān)一對(duì)摩擦力所做的功與參考系的選擇無(wú)關(guān) 運(yùn)動(dòng)中放出熱能運(yùn)動(dòng)中放出熱能 212121 rdfrdfW r r r r 二 保守力勢(shì)能二 保守力勢(shì)能 1 重力作功 重力勢(shì)能 重力作功 重力勢(shì)能 kmgF r b a rdFA r v z a b x y 2 z 1 z k r rdr b a rdkmg r b a rdmg cos r 2 1 z z mgdz 12 zzmg 引入函數(shù) 引入函數(shù) mgzEp 稱為稱為重力勢(shì)能重力勢(shì)能 作功與路徑無(wú)關(guān)作功與路徑無(wú)關(guān) 于是重力作功可寫為 于是重力作功可寫為 12 zEzEA pp 即重力勢(shì)能增量的負(fù)値即重力勢(shì)能增量的負(fù)値 M 2 萬(wàn)有引力作功萬(wàn)有引力勢(shì)能 萬(wàn)有引力作功萬(wàn)有引力勢(shì)能 ttr r tr r b b r a a r rdr 0 2 r r Mm GF r r 0 r r 沿位置矢量 的單位矢量 沿位置矢量 的單位矢量 b a rdr r GMm rr0 2 1 m b a rdFA r v b a r rdr GMm 2 0 cos rr b a r r r dr GMm 2 ab r GMm r GMm 引入函數(shù) 引入函數(shù) 稱為稱為萬(wàn)有 引力勢(shì)能 萬(wàn)有 引力勢(shì)能 于是有 于是有 即萬(wàn)有引力勢(shì)能增量的負(fù)値即萬(wàn)有引力勢(shì)能增量的負(fù)値 r GMm Ep apbp rErEA 3 彈性力做功 彈性勢(shì)能 彈性力做功 彈性勢(shì)能 2 1 22 ab x x xxkxdxkA b a x 自然長(zhǎng)度 彈簧 自然長(zhǎng)度 彈簧 X F 0 彈性力彈性力kxF FdxdA kxdx 引入函數(shù)引入函數(shù) 2 2 1 kxEp 稱為稱為彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能 于是有 于是有 apbp xExEA 即彈性勢(shì)能增量的負(fù)値即彈性勢(shì)能增量的負(fù)値 以上幾種力作功的共同特點(diǎn)是 以上幾種力作功的共同特點(diǎn)是 作功與路徑無(wú)關(guān)作功與路徑無(wú)關(guān) 如果有一力如果有一力F 它對(duì)物體所作的功決定于作功的起點(diǎn)和 終點(diǎn)而與作功的路徑無(wú)關(guān) 稱此力為 它對(duì)物體所作的功決定于作功的起點(diǎn)和 終點(diǎn)而與作功的路徑無(wú)關(guān) 稱此力為保守力保守力或或有勢(shì)力有勢(shì)力 結(jié)論 結(jié)論 保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值 5 在在保守力場(chǎng)保守力場(chǎng)中引入一個(gè)只與位置有 關(guān)的函數(shù) 中引入一個(gè)只與位置有 關(guān)的函數(shù) A點(diǎn)的函