2013-2014學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第一章 全等三角形 01 幾何公理法簡(jiǎn)介知識(shí)拓展 (新版)蘇科版.doc

幾何公理法簡(jiǎn)介歐幾里得是古希臘最偉大的一位幾何學(xué)家他是柏拉圖派的學(xué)生，曾在埃及的亞歷山大城教過(guò)數(shù)學(xué)，并且是希臘的亞歷山大學(xué)派的創(chuàng)始人歐幾里得在他的千古不朽的名著幾何原本（以后簡(jiǎn)稱(chēng)為原本）中，不僅非常詳盡地搜集了當(dāng)時(shí)人們所知道的一切幾何學(xué)方面的資料，而且還把這些非常分散的知識(shí)用邏輯推理的方法，編排成為一個(gè)系統(tǒng)的理論體系他把幾何學(xué)依照亞里斯多德所說(shuō)的嚴(yán)密科學(xué)理論的要求建筑在幾個(gè)最初的假設(shè)（定義、公設(shè)、公理）上，由這些假設(shè)利用邏輯推理導(dǎo)出后面的一切定理不僅如此，歐幾里得還示范式地規(guī)定了幾何證明的方法，主要是分析法、綜合法和歸謬法因此，歐幾里得的原本不但在完善和充實(shí)上大大地超過(guò)了在它以前的所有幾何學(xué)著作，并且在以后的兩千余年間依然沒(méi)有一部幾何著作可以和它比美雖然十九世紀(jì)二十年代，俄國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家尼伊羅巴切夫斯基（17921856年）有了新的發(fā)現(xiàn)，使幾何學(xué)發(fā)生了革命，但直到現(xiàn)在，中學(xué)幾何教科書(shū)中的敘述方法，仍與原本沒(méi)有多大的實(shí)質(zhì)性的差別歐幾里得原本的基本結(jié)構(gòu)是定義、公設(shè)和公理的系統(tǒng)原本共有十三卷，其中1、2、3、4、6、11、12、13卷屬于幾何本身，其余則講比例（用幾何方式來(lái)敘述）和算術(shù)（屬代數(shù)學(xué)的內(nèi)容）第一卷，包括三角形全等的條件、三角形的邊角關(guān)系、平行線的理論以及三角形、多邊形面積相等的理論第二卷，敘述了如何把多邊形變成等積的正方形第三卷，敘述了圓的性質(zhì)第四卷，討論了圓的內(nèi)接和外切多邊形第六卷，論述了相似多邊形在最后三卷中，敘述了立體幾何的理論原本的每卷里，首先給要建立相互關(guān)系的一些重要概念下了定義例如在第一卷里，首先列舉了23個(gè)定義為便于以后分析研究，在這里我們摘引最先的八個(gè)定義：1. 點(diǎn)是沒(méi)有部分的2. 線是有長(zhǎng)度而沒(méi)有寬度的3. 線的界限是點(diǎn)4. 直線是這樣的線，它上面的點(diǎn)是一樣放置著的5. 面是只有長(zhǎng)度和寬度的6. 面的界限是線7. 平面是這樣的面，它上面的直線是一樣放置著的8. 平面上的角度是平面上的兩條相交直線相互的傾斜度在定義以后，歐幾里得引進(jìn)了公設(shè)和公理公設(shè)：1. 從任一點(diǎn)到另一點(diǎn)可以引直線2. 每條直線都可以無(wú)限延長(zhǎng)3. 以任意點(diǎn)作中心可以用任意半徑作圓周4. 所有的直角都相等5. 平面上兩直線被第三條直線所截，若截線一側(cè)的兩內(nèi)角之和小于二直角，則兩直線必相交于截線的這一側(cè)公理：1. 等于同一量的量彼此相等2. 等量加等量得到等量3. 等量減等量得到等量4. 不等量加等量得到不等量5. 等量的兩倍相等6. 等量的一半相等7. 能合同的量相等8. 全體大于部分在公理后面，歐幾里得按邏輯關(guān)系敘述了幾何定理，把它們按一定的順序，排成使得每個(gè)定理可以根據(jù)前面的命題、公設(shè)和定理來(lái)證明他整理幾何所用的方法是正確的，編著的原本是偉大的，但由于歷史的局限性，歐幾里得不可能把作為幾何根基的基礎(chǔ)整理得完美無(wú)缺因此在原本的邏輯系統(tǒng)中顯示出許多漏洞來(lái) 首先在概念方面，歐幾里得要給他的書(shū)里所遇到的所有概念來(lái)下定義，實(shí)際上這是不可能的例如“點(diǎn)”“線”“面”就是不能下定義的原始概念所以，在歐幾里得的原本里，除了一些有價(jià)值的定義外，也有一些定義并沒(méi)有起定義的作用例如定義4，直線是關(guān)于它上面的點(diǎn)都一樣放置著的線，這句話可隨便解釋可以解釋為直線在它的所有點(diǎn)處都有同一方向，但是這樣以來(lái)，就必須建立“方向”這個(gè)概念；也可以解釋為，任何直線都可以合同，但是這樣以來(lái)就必須建立“合同”（或“疊合”“運(yùn)動(dòng)”）這個(gè)概念其他如定義1，“點(diǎn)是沒(méi)有部分的”，這個(gè)定義本身并沒(méi)有什么精確的幾何內(nèi)容，所以在原本中連歐幾里得本人都不能應(yīng)用這樣的定義關(guān)于原本中列舉的公設(shè)和公理，若嚴(yán)格按邏輯要求來(lái)證明以后的所有定理，這些公設(shè)與公理是不夠的例如，雖然歐幾里得用到了連續(xù)性，但在他的公理系統(tǒng)中卻沒(méi)有連續(xù)公理原本中第一卷第一個(gè)命題是這樣的：在一定直線（應(yīng)為線段）上作一等邊三角形設(shè)AB是已知的一定直線，要作立在定直線AB上的等邊三角形以A為中心，AB為距離畫(huà)一圓，且以B為中心，BA為距離畫(huà)一圓連結(jié)這兩圓的交點(diǎn)C與兩點(diǎn)A和B，由于點(diǎn)A是圓BCD的中心，ACAB；由于點(diǎn)B是圓ACE的中心，BCBA，所以CABCAB因此，三角形ABC是等邊三角形，并且是立在定直線AB上的，這就是所求的在這段論證中，歐幾里得是以直觀為依據(jù)的，他引用了“如果兩個(gè)圓中的每一個(gè)都通過(guò)另一個(gè)的內(nèi)點(diǎn)，則兩圓心相交于某一點(diǎn)”這樣的事實(shí)，然而他卻沒(méi)有以公理的形式加以規(guī)定其他如“在直線上兩點(diǎn)之間的點(diǎn)”“在直線的同一側(cè)的點(diǎn)”“在多邊形內(nèi)的點(diǎn)”等，歐幾里得在公設(shè)和公理中，從沒(méi)有對(duì)這些概念下定義，都是依靠直觀感覺(jué)然而，在幾何學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)結(jié)構(gòu)里，每一命題，不論是多么顯然，如果它不被公理所包含的話，就應(yīng)該證明此外，歐幾里得的某些公理是不夠肯定和確切的，例如公理8就是這樣根據(jù)上面所說(shuō)，原本公理體系的最大的缺點(diǎn)是沒(méi)能夠包含幾何學(xué)無(wú)可非議的邏輯根據(jù)古代的學(xué)者們已經(jīng)注意到了歐幾里得原本的缺點(diǎn)，阿基米德（公元前287212年）就曾擴(kuò)大了原本中的公設(shè)，增加了長(zhǎng)度、面積和體積的測(cè)度理論歐幾里得只是確定了長(zhǎng)度間、面積間、體積間的比值，而阿基米德引進(jìn)了度量幾何的五個(gè)公設(shè)，其中第五個(gè)公設(shè)在現(xiàn)代幾何中我們還經(jīng)常地應(yīng)用這個(gè)公設(shè)是這樣寫(xiě)的：“兩條不等的線段，兩個(gè)不等的面或兩個(gè)不等的體，其中較小的一個(gè)量增加適當(dāng)?shù)谋稊?shù)后，可以變成大于較大的一個(gè)量”現(xiàn)在這個(gè)公理是這樣陳述的：“任何兩線段a和b，如果ab，則必存在正整數(shù)n，使得nab成立”這個(gè)公理是度量幾何的理論根據(jù)，以后我們還會(huì)談到它歐幾里得原本雖然有它的缺點(diǎn)，但它卻有著巨大的歷史意義原本是幾何學(xué)方面最早的經(jīng)典著作，它是在公理法的基礎(chǔ)上，邏輯地創(chuàng)造幾何學(xué)的先例，為后代數(shù)學(xué)家指明了研究幾何的正