量子力學(xué)A解答2010.doc

(2010年)07級(jí)量子力學(xué)A卷答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題2分，共20分）1.D, 2.C, 3.A, 4. A, 5. A, 6.C, 7.D, 8.D, 9.C, 10. C2、 填空題（每空2分，共20分）1.單值，連續(xù)，有限（平方可積）；2. t時(shí)刻粒子出現(xiàn)在區(qū)間的概率；2.對(duì)易（），；3.兩個(gè)力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符對(duì)易4. 0，0：，：，3、 證明題 (各5分，共15分) 1. 證明對(duì)易關(guān)系證明：2.已知算符A、B是厄米的，證明算符也是厄米的。證明：已知 ， （2分）3. 設(shè)、是不顯含時(shí)間算符，并與、對(duì)應(yīng)的力學(xué)量是守恒量，試證明對(duì)應(yīng)的量也是守恒量。 證明： 因?yàn)?、?duì)應(yīng)的量是守恒量，且、不顯含時(shí)間t，且有 （2分） 因此有不顯含時(shí)間。并有 所以 、是守恒量。 （3分） 四、方程求解題（每題10分，共20 分）1.粒子在一維無限深勢阱 中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和波函數(shù)。解：當(dāng)xa時(shí)，有y=0；當(dāng)0xa時(shí)，有 ， （2分）令 ，解出 。 （2分）X=0時(shí),y=0,A=0；x=a時(shí), y=0,Bsinaa=0, aa=np, ， （2分）。 （2分）由 ， （1分） （1分）2.厄米算符A與B滿足 A、B均無簡并，求：在A表象中A與B矩陣表示形式，并求A與B的本征函數(shù)表示式。解： 因?yàn)椋惴谋菊髦禐?在A表中，的矩陣表示式為對(duì)角陣，對(duì)角元為其本征值=， （1分）設(shè)的矩陣表示為， （2分），又因?yàn)?，故有,于是，有，= （2分）在表象中，的波函數(shù)為基矢量，所以有：本征值為1的本征矢量為 本征值為-1的本征矢量為 （1分）設(shè)的本證矢量為， ，所以：，由歸一化條件，有 相應(yīng)的本征值為1，的本征函數(shù)為， （2分），所以：，由歸一化條件，有，相應(yīng)的本征值為， （2分）五、求算符平均值題（每題6分，共12 分）1. 氫原子處在基態(tài)，求動(dòng)能平均值。解：（法1）： （3分） , , （2分） （1分）（法2）： （2分） （2分） （2分） 2. 在 本征態(tài) 下，求 解： 因?yàn)椋?（2分） （2分）所以， （1分） 六微擾計(jì)算題（13分） 設(shè)哈密頓在能量表象中的矩陣是,a,