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(2010年)07級量子力學(xué)A卷答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(每小題2分,共20分)1.D, 2.C, 3.A, 4. A, 5. A, 6.C, 7.D, 8.D, 9.C, 10. C2、 填空題(每空2分,共20分)1.單值,連續(xù),有限(平方可積);2. t時(shí)刻粒子出現(xiàn)在區(qū)間的概率;2.對易(),;3.兩個(gè)力學(xué)量對應(yīng)的算符對易4. 0,0:,:,3、 證明題 (各5分,共15分) 1. 證明對易關(guān)系證明:2.已知算符A、B是厄米的,證明算符也是厄米的。證明:已知 , (2分)3. 設(shè)、是不顯含時(shí)間算符,并與、對應(yīng)的力學(xué)量是守恒量,試證明對應(yīng)的量也是守恒量。 證明: 因?yàn)?、對?yīng)的量是守恒量,且、不顯含時(shí)間t,且有 (2分) 因此有不顯含時(shí)間。并有 所以 、是守恒量。 (3分) 四、方程求解題(每題10分,共20 分)1.粒子在一維無限深勢阱 中運(yùn)動,求粒子的能級和波函數(shù)。解:當(dāng)xa時(shí),有y=0;當(dāng)0xa時(shí),有 , (2分)令 ,解出 。 (2分)X=0時(shí),y=0,A=0;x=a時(shí), y=0,Bsinaa=0, aa=np, , (2分)。 (2分)由 , (1分) (1分)2.厄米算符A與B滿足 A、B均無簡并,求:在A表象中A與B矩陣表示形式,并求A與B的本征函數(shù)表示式。解: 因?yàn)椋惴谋菊髦禐?在A表中,的矩陣表示式為對角陣,對角元為其本征值=, (1分)設(shè)的矩陣表示為, (2分),又因?yàn)?,故有,于是,有,= (2分)在表象中,的波函數(shù)為基矢量,所以有:本征值為1的本征矢量為 本征值為-1的本征矢量為 (1分)設(shè)的本證矢量為, ,所以:,由歸一化條件,有 相應(yīng)的本征值為1,的本征函數(shù)為, (2分),所以:,由歸一化條件,有,相應(yīng)的本征值為, (2分)五、求算符平均值題(每題6分,共12 分)1. 氫原子處在基態(tài),求動能平均值。解:(法1): (3分) , , (2分) (1分)(法2): (2分) (2分) (2分) 2. 在 本征態(tài) 下,求 解: 因?yàn)?,?(2分) (2分)所以, (1分) 六微擾計(jì)算題(13分) 設(shè)哈密頓在能量表象中的矩陣是,a,
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