【步步高】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例學(xué)案 理 北師大版(1).doc

學(xué)案24正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題自主梳理1仰角和俯角與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角(如圖所示)2方位角一般指北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角，如方位角45，是指北偏東45，即東北方向3方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖所示)北偏東即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向北偏西即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向南偏西等其他方向角類似4坡角坡面與水平面的夾角(如圖所示)5坡比坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即itan (i為坡比，為坡角)6解題的基本思路運(yùn)用正、余弦定理處理實(shí)際測量中的距離、高度、角度等問題，實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用，要解決好，就要把握如何把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，也就是如何把握一個(gè)抽象、概括的問題，即建立數(shù)學(xué)模型自我檢測1從a處望b處的仰角為，從b處望a處的俯角為，則，之間的關(guān)系是 ()abc90d1802(2011承德模擬)如圖所示，已知兩座燈塔a和b與海洋觀察站c的距離相等，燈塔a在觀察站c的北偏東40，燈塔b在觀察站c的南偏東60，則燈塔a在燈塔b的 ()a北偏東10b北偏西10c南偏東10d南偏西103如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)a、b間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定a、b間距離的是 ()a，a，bb，aca，b，d，b4在200 m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30、60，則塔高為_m.5(2010全國)abc中，d為邊bc上的一點(diǎn)，bd33，sin b，cosadc，求ad.探究點(diǎn)一與距離有關(guān)的問題例1(2010陜西)如圖，a，b是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)觀測點(diǎn)，現(xiàn)位于a點(diǎn)北偏東45，b點(diǎn)北偏西60的d點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于b點(diǎn)南偏西60且與b點(diǎn)相距20海里的c點(diǎn)的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時(shí)，該救援船到達(dá)d點(diǎn)需要多長時(shí)間？變式遷移1某觀測站c在目標(biāo)a的南偏西25方向，從a出發(fā)有一條南偏東35走向的公路，在c處測得與c相距31千米的公路上b處有一人正沿此公路向a走去，走20千米到達(dá)d，此時(shí)測得cd為21千米，求此人在d處距a還有多少千米？探究點(diǎn)二測量高度問題例2如圖所示，測量河對(duì)岸的塔高ab時(shí)，可以選與塔底b在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)c與d，現(xiàn)測得bcd，bdc，cds，并在點(diǎn)c測得塔頂a的仰角為，求塔高ab.變式遷移2某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30，求塔高探究點(diǎn)三三角形中最值問題例3(2010江蘇)某興趣小組要測量電視塔ae的高度h(單位：m)，示意圖如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿bc的高度h4 m，仰角abe，ade.(1)該小組已測得一組、的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，請(qǐng)據(jù)此算出h的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位：m)，使與之差較大，可以提高測量精度若電視塔實(shí)際高度為125 m，試問d為多少時(shí)，最大？變式遷移3(2011宜昌模擬)如圖所示，已知半圓的直徑ab2，點(diǎn)c在ab的延長線上，bc1，點(diǎn)p為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以dc為邊作等邊pcd，且點(diǎn)d與圓心o分別在pc的兩側(cè)，求四邊形opdc面積的最大值1解三角形的一般步驟(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根據(jù)題意畫出示意圖(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解演算過程中，要算法簡練，計(jì)算正確，并作答(4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義，對(duì)解進(jìn)行取舍2應(yīng)用舉例中常見幾種題型測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為 ()a.b.c.d.2(2011揭陽模擬)如圖，設(shè)a、b兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在a的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)c，測出ac的距離為50 m，acb45，cab105后，就可以計(jì)算出a、b兩點(diǎn)的距離為 ()a50 mb50 mc25 md. m3abc的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為 ()a.b.c.d94(2011滄州模擬)某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km，那么x的值為 ()a.b2c.或2d35一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這只船的速度是每小時(shí) ()a5海里b5海里c10海里d10海里題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在a處看到一個(gè)燈塔m在北偏東60方向，行駛4 h后，船到b處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15方向，這時(shí)船與燈塔的距離為_7(2011臺(tái)州模擬)某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15的看臺(tái)的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60和30，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上若國歌長度約為50秒，升旗手應(yīng)以_米/秒的速度勻速升旗8(2011宜昌模擬)線段ab外有一點(diǎn)c，abc60，ab200 km，汽車以80 km/h的速度由a向b行駛，同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由b向c行駛，則運(yùn)動(dòng)開始_h后，兩車的距離最小三、解答題(共38分)9(12分)(2009遼寧)如圖，a、b、c、d都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，b、d為兩島上的兩座燈塔的塔頂測量船于水面a處測得b點(diǎn)和d點(diǎn)的仰角分別為75、30，于水面c處測得b點(diǎn)和d點(diǎn)的仰角均為60，ac0.1 km.試探究圖中b、d間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求b、d的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km，1.414，2.449)10(12分)如圖所示，甲船以每小時(shí)30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于a1處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75方向的b1處，此時(shí)兩船相距20海里當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)a2處時(shí)，乙船航行到甲船的南偏西60方向的b2處，此時(shí)兩船相距10海里問乙船每小時(shí)航行多少海里？11(14分)(2009福建)如圖，某市擬在長為8 km的道路op的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段osm，該曲線段為函數(shù)yasin x(a0，0)，x0,4的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為s(3,2)；賽道的后一部分為折線段mnp，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定mnp120.(1)求a，的值和m，p兩點(diǎn)間的距離；(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道m(xù)np最長？答案 自我檢測1b2.b3.a4.5解由cosadc0知b，由已知得cos b，sinadc，從而sinbadsin(adcb)sinadccos bcosadcsin b.由正弦定理得，所以ad25.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引這類實(shí)際應(yīng)用題，實(shí)質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解注意：基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)解由題意知ab5(3)海里，dba906030，dab904545，adb180(4530)105.在dab中，由正弦定理，得，db10(海里)又dbcdbaabc30(9060)60，bc20(海里)，在dbc中，由余弦定理，得cd2bd2bc22bdbccosdbc3001 20021020900，cd30(海里)，需要的時(shí)間t1(小時(shí))故救援船到達(dá)d點(diǎn)需要1小時(shí)變式遷移1解如圖所示，易知cad253560，在bcd中，cos b，所以sin b.在abc中，ac24，由bc2ac2ab22acabcos a，得ab224ab3850，解得ab35，ab11(舍)，所以adabbd15.故此人在d處距a還有15千米例2解題導(dǎo)引在測量高度時(shí)，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準(zhǔn)確的示意圖，恰當(dāng)?shù)剡x取相關(guān)的三角形和正、余弦定理逐步進(jìn)行求解注意綜合應(yīng)用方程和平面幾何、立體幾何等知識(shí)解在bcd中，cbd.由正弦定理得，所以bc，在rtabc中，abbctanacb.變式遷移2解由題意可知，在bcd中，cd40，bcd30，dbc135，由正弦定理得，bd20.過b作becd于e，顯然當(dāng)人在e處時(shí)，測得塔的仰角最大，有bea30.在rtbed中，又bde1801353015.bedbsin 152010(1)在rtabe中，abbetan 30(3)(米)故所求的塔高為(3)米例3解題導(dǎo)引平面幾何圖形中研究或求有關(guān)長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題而這些幾何問題通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決在解決某些具體問題時(shí)，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之若研究最值，常使用函數(shù)思想解(1)由ab，bd，ad及abbdad，得，解得h124(m)因此，算出的電視塔的高度h是124 m.(2)由題設(shè)知dab，得tan .由abadbd，得tan .所以tan()，當(dāng)且僅當(dāng)d，即d55時(shí)，上式取等號(hào)，所以當(dāng)d55時(shí)，tan()最大因?yàn)?，則0，所以當(dāng)d55時(shí)，最大變式遷移3解設(shè)pob，四邊形面積為y，則在poc中，由余弦定理得pc2op2oc22opoccos 54cos .ysopcspcd12sin (54cos )2sin().當(dāng)，即時(shí)，ymax2.所以四邊形opdc面積的最大值為2.課后練習(xí)區(qū)1d2.a3.c4.c5.c630 km7.0.68.解析如圖所示：設(shè)t h后，汽車由a行駛到d，摩托車由b行駛到e，則ad80t，be50t.因?yàn)閍b200，所以bd20080t，問題就是求de最小時(shí)t的值由余弦定理得，de2bd2be22bdbecos 60(20080t)22500t2(20080t)50t12900t242000t40000.當(dāng)t時(shí)，de最小9解在acd中，dac30，adc60dac30，所以cdac0.1.(2分)又bcd180606060，所以abccbd，所以babd.(6分)在abc中，即ab，(10分)所以bd0.33(km)故b、d的距離約為0.33 km.(12分)10解如圖，連接a1b2，由題意知，a1b120，a2b210，a1a23010(海里)(2分)又b2a2a118012060，a1a2b2是等邊三角形，b1a1b21056045.(6分)在a1b2b1中，由余弦定理得b1ba1ba1b2a1b1a1b2cos 45202(10)222010200，b1b210(海里)(10分)因此乙船的速度大小為6030(海里/小時(shí))(12分)11解方法一(1)依題意，有a2，3，又t，.y2sinx.(3分)當(dāng)x4時(shí)，y2sin3，m(4,3)又p(8,0)，mp5.(5分)(2)如圖，連接mp，在mnp中，mnp120，mp5.設(shè)pmn，則060.由正弦定理得，npsin