【科學(xué)備考】（新課標(biāo)）高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 數(shù)列的綜合與應(yīng)用 理（含試題）.doc

【科學(xué)備考】（新課標(biāo)）2015高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 數(shù)列的綜合與應(yīng)用 理（含2014試題）理數(shù)1.(2013年北京海淀區(qū)高三第二次模擬，8,5分) 若數(shù)列滿(mǎn)足：存在正整數(shù)，對(duì)于任意正整數(shù)都有成立，則稱(chēng)數(shù)列為周期數(shù)列，周期為. 已知數(shù)列滿(mǎn)足，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）a. 若，則可以取3個(gè)不同的值b. 若，則數(shù)列是周期為的數(shù)列c. 且，存在，是周期為的數(shù)列 d. 且，數(shù)列是周期數(shù)列答案 1.d 解析 1.對(duì)于a項(xiàng)，若，則由得或；進(jìn)而推出，或，或. 即或或，故a項(xiàng)正確；對(duì)于b項(xiàng)，若，即，則，故數(shù)列是周期為的數(shù)列. 故b項(xiàng)正確；對(duì)于c項(xiàng)，若且，是周期為的數(shù)列，則一定有滿(mǎn)足，即，化簡(jiǎn)得，所以（舍去）. 此時(shí)，滿(mǎn)足. 故c項(xiàng)正確；對(duì)于d項(xiàng)，假設(shè)且，數(shù)列是周期數(shù)列，則一定存在使得，那么，. 故其后一定有某一項(xiàng)為，且，則，化簡(jiǎn)得，所以. 因?yàn)椴豢赡転橛欣頂?shù)，故與假設(shè)矛盾. 所以d項(xiàng)錯(cuò)誤.2.(2013課標(biāo), 12,5分) 設(shè)anbncn的三邊長(zhǎng)分別為an, bn, cn, anbncn的面積為sn, n=1,2, 3, . 若b1 c1, b1+c1=2a1, an+1=an, bn+1=, cn+1=, 則()a. sn為遞減數(shù)列b. sn為遞增數(shù)列c. s2n-1為遞增數(shù)列, s2n為遞減數(shù)列d. s2n-1為遞減數(shù)列, s2n為遞增數(shù)列答案 2.b解析 2.由bn+1=, cn+1=得bn+1+cn+1=an+(bn+cn), bn+1-cn+1=-(bn-cn), 由an+1=an得an=a1, 代入得bn+1+cn+1=a1+(bn+cn), bn+1+cn+1-2a1=(bn+cn-2a1),b1+c1-2a1=2a1-2a1=0, bn+cn=2a1 |bncn|=a1, 所以點(diǎn)an在以bn、cn為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1的橢圓上(如圖). 由b1 c1得b1-c1 0, 所以|bn+1-cn+1|=(bn-cn),即|bn-cn|=(b1-c1) , 所以當(dāng)n增大時(shí)|bn-cn|變小, 即點(diǎn)an向點(diǎn)a處移動(dòng), 即邊bncn上的高增大,又|bncn|=an=a1不變, 所以sn為遞增數(shù)列.3. (2014山西太原高三模擬考試（一），16) 在數(shù)列中，已知 ，則 . 答案 3. 解析 3. ，.，又因?yàn)?，代入解得，同理可得，又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)函數(shù)，所以可得，同理可得，所以.4.(2013年河南十所名校高三第二次聯(lián)考，16,5分) 設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，記數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為 ，. 若a5b5，a6b6，且s7s54（t6t4），則_.答案 4.解析 4. 設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為. 由a5b5，a6b6，且s7s54（t6t4），得解得故5. (2014重慶,22,12分)設(shè)a1=1,an+1=+b(nn*).()若b=1,求a2,a3及數(shù)列an的通項(xiàng)公式;()若b=-1,問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)c使得a2nca2n+1對(duì)所有nn*成立?證明你的結(jié)論.答案 5.查看解析解析 5.()解法一:a2=2,a3=+1.再由題設(shè)條件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.從而(an-1)2是首項(xiàng)為0,公差為1的等差數(shù)列,故(an-1)2=n-1,即an=+1(nn*).解法二:a2=2,a3=+1,可寫(xiě)為a1=+1,a2=+1,a3=+1.因此猜想an=+1.下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式:當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即ak=+1,則ak+1=+1=+1=+1.這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.所以an=+1(nn*).()解法一:設(shè)f(x)=-1,則an+1=f(an).令c=f(c),即c=-1,解得c=.下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題a2nca2n+11.當(dāng)n=1時(shí),a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2a31,結(jié)論成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上為減函數(shù)得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.綜上,符合條件的c存在,其中一個(gè)值為c=.解法二:設(shè)f(x)=-1,則an+1=f(an).先證:0an1(nn*).當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論明顯成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上為減函數(shù),從而0=f(1)f(ak)f(0)=-11.即0ak+11.這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.故成立.再證:a2na2n+1(nn*).當(dāng)n=1時(shí),a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有a2a3,即n=1時(shí)成立.假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.這就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí)成立.所以對(duì)一切nn*成立.由得a2n-1,即(a2n+1)2-2a2n+2,因此a2nf(a2n+1),即a2n+1a2n+2,所以a2n+1-1,解得a2n+1.綜上,由、知存在c=使a2nc 0.由a2+a716, 得 由得由得將其代入得. 即（）由（i）得,=.故=1- 1.恒成立m的最小值為100.12.13.(2013山東青島高三三月質(zhì)量檢測(cè)，20,12分）已知, 數(shù)列滿(mǎn)足, 數(shù)列滿(mǎn)足；又知數(shù)列中，且對(duì)任意正整數(shù)，.（）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）將數(shù)列中的第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，第項(xiàng)，刪去后，剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案 13.（），.又由題知：令 ，則, .若，則，所以恒成立若, 當(dāng), 不成立, 所以.（）由題知將數(shù)列中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)刪去后構(gòu)成的新數(shù)列中的奇數(shù)列與偶數(shù)列仍成等比數(shù)列，首項(xiàng)分別是，公比均是.13.14.（2013安徽省皖南八校高三第三次聯(lián)合考試21,14分）已知sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=a，sn=kan+1且常數(shù)k滿(mǎn)足0 |k| 1.(i) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(ii) 對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)m, 若將數(shù)列中的三項(xiàng)am+1，am+2，am+3按從小到大的順序調(diào)整 后，均可構(gòu)成等差數(shù)列，且記公差為dm，試求k的值及相應(yīng)dm的表達(dá)式(用含m的 式子表示) ；(iii) 記數(shù)列dm (這里dm是(2) 中的dm的前m項(xiàng)和為tm=d1+d2+dm. 問(wèn)是否存在 a, 使得tm 90對(duì)恒成立？若存在，求出a的最大值; 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案 14.(1) ，. 此兩式相減，得，化簡(jiǎn)得.又，是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列.() . 又時(shí)，通項(xiàng)公式 （2）是正整數(shù)，.又按從小到大順序調(diào)整后可以構(gòu)成等差數(shù)列，所以公差.若，解得. 于是，. 若，此時(shí)方程無(wú)解，即不符合題意.若，解得. 于是，. 綜上，若，則；若，則.(3) 因?yàn)椋?，則.由，即對(duì)一切正整數(shù)成立，故. 這與是正整數(shù)矛盾.所以，此時(shí)不存在滿(mǎn)足條件的.若，則.由，即對(duì)一切正整數(shù)成立，得.所以，.綜上，可知存在滿(mǎn)足條件的正整數(shù)，且的最大值為40.14.15.(2013年北京海淀區(qū)高三第二次模擬，20，13分）設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變?cè)撔校ɑ蛟摿校┲兴袛?shù)的符號(hào)，稱(chēng)為一次“操作”.（）數(shù)表如表1所示，若經(jīng)過(guò)兩次“操作” ，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出每次“操作” 后所得的數(shù)表（寫(xiě)出一種方法即可）；（）數(shù)表如表2所示，若必須經(jīng)過(guò)兩次“操作” ，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)的所有可能值；（）對(duì)由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的任意一個(gè)數(shù)表，能否經(jīng)過(guò)有限次“操作” 以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由.答案 15.（）解：法1：法2：法3：（） 每一列所有數(shù)之和分別為2，0，0，每一行所有數(shù)之和分別為，1;如果首先操作第三列，則則第一行之和為，第二行之和為，這兩個(gè)數(shù)中，必須有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另外一個(gè)為非負(fù)數(shù)，所以 或，當(dāng)時(shí)，則接下來(lái)只能操作第一行，此時(shí)每列之和分別為，必有，解得.當(dāng)時(shí)，則接下來(lái)操作第二行 此時(shí)第4列和為負(fù)，不符合題意. 如果首先操作第一行則每一列之和分別為，.當(dāng)時(shí)，每列各數(shù)之和已經(jīng)非負(fù)，不需要進(jìn)行第二次操作，舍掉；當(dāng)時(shí)，至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)；所以此時(shí)必須有，即，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)，或符合要求綜上，.（）能經(jīng)過(guò)有限次操作以后，使得得到的數(shù)表所有的行和與所有的列和均為非負(fù)實(shí)數(shù). 證明如下：記數(shù)表中第行第列的實(shí)數(shù)為（），各行的數(shù)字之和分別為，各列的數(shù)字之和分別為，數(shù)表中個(gè)實(shí)數(shù)之和為，則. 記.按要求操作一次時(shí)，使該行的行和（或該列的列和）由負(fù)變正，都會(huì)引起（和）增大，從而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改變數(shù)表中某行（或某列）各數(shù)的符號(hào)，而不改變其絕對(duì)值，顯然，必然小于等于最初的數(shù)表中個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值之和，可見(jiàn)其增加的趨勢(shì)必在有限次之后終止. 終止之時(shí)，必是所有的行和與所有的列和均為非負(fù)實(shí)數(shù)，否則，只要再改變?cè)撔谢蛟摿械姆?hào)，就又會(huì)繼續(xù)上升，導(dǎo)致矛盾，故結(jié)論成立.15.16.(2013年遼寧省五校協(xié)作體高三第二次模擬考試，19，12分) 鑫隆房地產(chǎn)公司用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房. 經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為（單位：元）. 為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用）答案 16.設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為元，則.方法一： , 令 得 當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，,因此 當(dāng)時(shí)，取最小值.（方法二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，即時(shí)，）.答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層.16.17.（2013年四川成都市高新區(qū)高三4月月考，19,12分）設(shè)函數(shù)，數(shù)列前項(xiàng)和，數(shù)列，滿(mǎn)足.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明： .答案 17.() 由，得是以為公比的等比數(shù)列，故.（）由，得，記+，用錯(cuò)位相減法可求得：. （注：此題用到了不等式：進(jìn)行放大. ）17.18.（2013江西，17,12分）正項(xiàng)數(shù)列a