高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 1 絕對值不等式課件 理 選修45.ppt

選修4 5不等式選講第一節(jié)絕對值不等式 知識梳理 1 絕對值三角不等式定理1 如果a b是實(shí)數(shù) 則 a b a b 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號成立 定理2 如果a b c是實(shí)數(shù) 那么 a c a b b c 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) 等號成立 ab 0 a b b c 0 2 絕對值不等式的解法 1 含絕對值的不等式 x a的解集 x a x a x x a或x a x x r且x 0 r 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法方法一 利用絕對值不等式的幾何意義求解 體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 方法二 利用 零點(diǎn)分區(qū)法 求解 體現(xiàn)了分類討論的思想 方法三 通過構(gòu)造函數(shù) 利用函數(shù)的圖象求解 體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想 特別提醒 1 應(yīng)用 零點(diǎn)分區(qū)法 的注意點(diǎn)令每個(gè)絕對值符號里的代數(shù)式等于零 求出相應(yīng)的根 要把這些根按由小到大進(jìn)行排序 在各個(gè)區(qū)間上解不等式時(shí) 端點(diǎn)值要不重不漏 2 從解集理解不等式恒成立問題不等式的解集為r說明不等式恒成立 不等式的解集為 說明其對立面恒成立 考向一絕對值不等式的解法 典例1 2015 全國卷 已知函數(shù)f x x 1 2 x a a 0 1 當(dāng)a 1時(shí) 求不等式f x 1的解集 2 若f x 的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6 求a的取值范圍 解題導(dǎo)引 1 當(dāng)a 1時(shí) 把原不等式去掉絕對值 轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組 分別求得每個(gè)不等式組的解集 再取并集 即得所求 2 化簡函數(shù)f x 的解析式 求得它的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo) 從而求得f x 的圖象與x軸圍成的三角形面積 再根據(jù)f x 的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6 從而求得a的取值范圍 規(guī)范解答 1 當(dāng)a 1時(shí) 不等式f x 1 即 x 1 2 x 1 1 即 或 或 解 求得無解 解 求得 x 1 解 求得1 x 2 綜上可得 原不等式的解集為 2 函數(shù)f x x 1 2 x a 由此求得f x 的圖象與x軸的交點(diǎn)a b 2a 1 0 故f x 的圖象與x軸圍成的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)c a a 1 由 abc的面積大于6 可得 a 1 6 求得a 2 故要求的a的范圍為 2 規(guī)律方法 形如 x a x b c 或 c 型的不等式主要有三種解法 1 零點(diǎn)分區(qū)法 利用絕對值號內(nèi)式子對應(yīng)方程的根 將數(shù)軸分為 a a b b 此處設(shè)a b 三個(gè)部分 在每個(gè)部分上去掉絕對值號分別列出對應(yīng)的不等式求解 然后取各個(gè)不等式解集的并集 2 幾何法 利用 x a x b c c 0 的幾何意義 數(shù)軸上到點(diǎn)x1 a和x2 b的距離之和大于c的全體 x a x b x a x b a b 3 圖象法 作出函數(shù)y1 x a x b 和y2 c的圖象 結(jié)合圖象求解 易錯(cuò)提醒 易出現(xiàn)解集不全的錯(cuò)誤 對于含絕對值的不等式 不論是分段去絕對值號還是利用幾何意義 都要不重不漏 變式訓(xùn)練 2016 鄭州模擬 已知函數(shù)f x 2x 1 2x 3 1 求不等式f x 6的解集 2 若關(guān)于x的不等式f x a 1 的解集非空 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析 1 原不等式等價(jià)于或或解之得 x 2或 x 或 1 x 即不等式的解集為 x 1 x 2 2 因?yàn)閒 x 2x 1 2x 3 2x 1 2x 3 4 所以 a 1 4 解此不等式得a5 加固訓(xùn)練 1 2016 陽泉模擬 解不等式 2x 1 x 4 0 解析 令f x 2x 1 x 4 當(dāng)x 4時(shí) f x 2x 1 x 4 x 5 0得x 5 所以x 4時(shí) 不等式成立 當(dāng) x0 得x 1 所以 1 x 4時(shí) 不等式成立 當(dāng)x0 得x 5 所以 x 5時(shí) 不等式成立 綜上 原不等式的解集為 x x 1或x 5 2 已知集合a x r x 3 x 4 11 b 求集合a b 解析 若x 3 x 3 x 4 11 x 3 x 4 11 5 x 3 若 3 x 4 x 3 x 4 11 x 3 x 4 11 3 x 4 若x 4 x 3 x 4 11 x 3 x 4 11 4 x 6 所以a 5 6 又因?yàn)閠 0 所以4t 4 當(dāng)且僅當(dāng)4t 即t 時(shí) 等號成立 所以b 4 所以a b 4 6 考向二絕對值三角不等式的應(yīng)用 典例2 設(shè)不等式 x 2 a a n 的解集為a 且 a a 1 求a的值 2 求函數(shù)f x x a x 2 的最小值 解題導(dǎo)引 1 由 a a知滿足不等式 不滿足不等式 2 利用絕對值三角不等式求解 規(guī)范解答 1 因?yàn)?a 且 a 所以 a 且 a 解得 a 又因?yàn)閍 n 所以a 1 2 因?yàn)?x 1 x 2 x 1 x 2 3 當(dāng)且僅當(dāng) x 1 x 2 0即 1 x 2時(shí)取到等號 所以f x 的最小值為3 母題變式 1 若本例第 2 問中函數(shù)改為f x x 1 x 4 求其最小值 解析 f x x 1 x 4 x 1 x 4 3 所以 其最小值為3 2 本例條件不變 求函數(shù)f x x a x 2 的最大值 解析 因?yàn)?x a x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 3 當(dāng)且僅當(dāng) x 1 x 2 0 即 1 x 2時(shí)取到等號 所以f x 的最大值為3 規(guī)律方法 對絕對值三角不等式定理的理解注意以下三點(diǎn) 1 等號成立的條件在解題時(shí)經(jīng)常用到 特別是用此定理求函數(shù)的最大 小 值時(shí) 2 該定理可以推廣為 a b c a b c 也可強(qiáng)化為 a b a b a b 它們經(jīng)常用于含絕對值的不等式的推證 3 當(dāng)ab 0時(shí) a b a b 當(dāng)ab 0時(shí) a b a b 當(dāng)b a b 0時(shí) a b a b 當(dāng)b a b 0時(shí) a b a b 變式訓(xùn)練 2016 大同模擬 已知a和b是任意非零實(shí)數(shù) 1 求的最小值 2 若不等式 2a b 2a b a 2 x 2 x 恒成立 求實(shí)數(shù)x的取值范圍 解析 1 因?yàn)樗缘淖钚≈禐? 2 因?yàn)?2a b 2a b 2a b 2a b 4 a 不等式 2a b 2a b a 2 x 2 x 恒成立 所以4 a a 2 x 2 x 即 2 x 2 x 4 而 2 x 2 x 表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到 2 2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和 它的最小值為4 故 2 x 2 x 4 所以 2 x 2 即實(shí)數(shù)x的取值范圍為 2 x 2 加固訓(xùn)練 1 2016 西工大附中模擬 已知函數(shù)f x x 2 x 5 1 證明 3 f x 3 2 求不等式 f x x2 8x 14的解集 解析 1 f x x 2 x 5 x 2 x 5 3 所以 3 f x 3 2 當(dāng)x 2時(shí) f x 3 而x2 8x 14 x 4 2 2 2 所以f x x2 8x 14無解 當(dāng)2 x 5時(shí) f x 2x 7 原不等式等價(jià)于 3 x 5 當(dāng)x 5時(shí) f x 3 原不等式等價(jià)于 5 x 4 綜上 不等式的解集為 3 4 2 設(shè)函數(shù)f x 1 當(dāng)a 5時(shí) 求函數(shù)f x 的定義域 2 若函數(shù)f x 的定義域?yàn)閞 試求a的取值范圍 解析 1 當(dāng)a 5時(shí) f x 由 x 1 x 2 5 0 得或或解得x 1或x 4 即函數(shù)f x 的定義域?yàn)?x x 1或x 4 2 由題可知 x 1 x 2 a 0恒成立 即a x 1 x 2 恒成立 而 x 1 x 2 x 1 x 2 1 所以a 1 即a的取值范圍為 1 考向三與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問題 典例3 2014 全國卷 設(shè)函數(shù)f x x a a 0 1 證明 f x 2 2 若f 3 5 求a的取值范圍 解題導(dǎo)引 1 利用絕對值不等式和基本不等式的性質(zhì)證明 2 通過討論脫去絕對值號 解不等式求得a的取值范圍 規(guī)范解答 1 由a 0 有f x x a a 2 所以f x 2 2 f 3 3 a 當(dāng)a 3時(shí) f 3 a 由f 3 5 得3 a 當(dāng)0 a 3時(shí) f 3 6 a 由f 3 5 得 a 3 綜上 a的取值范圍是 規(guī)律方法 1 解決含參數(shù)的絕對值不等式問題的兩種方法 1 將參數(shù)分類討論 將其轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)解決 2 借助于絕對值的幾何意義 先求出相應(yīng)式的最值或值域 然后再根據(jù)題目要求 求解參數(shù)的取值范圍 2 不等式恒成立問題的常見類型及其解法 1 分離參數(shù)法運(yùn)用 f x a f x max a f x a f x min a 可解決恒成立中的參數(shù)范圍問題 2 更換主元法不少含參不等式恒成立問題 若直接從主元入手非常困難或不可能解決時(shí) 可轉(zhuǎn)換思維角度 將主元與參數(shù)互換 ?？傻玫胶喗莸慕夥?3 數(shù)形結(jié)合法在研究曲線交點(diǎn)的恒成立問題時(shí) 若能數(shù)形結(jié)合 揭示問題所蘊(yùn)含的幾何背景 發(fā)揮形象思維與抽象思維各自的優(yōu)勢 可直觀解決問題 提醒 不等式的解集為r是指不等式恒成立問題 而不等式的解集為 的對立面也是不等式恒成立問題 如f x m的解集為 則f x m恒成立 變式訓(xùn)練 2015 重慶高考改編題 若函數(shù)f x x 1 2 x a 的最小值為5 求實(shí)數(shù)a的值 解析 由題意知a 1 因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)的最小值為0 當(dāng)a 1時(shí) f x x 1 2 x a 此時(shí)函數(shù)的最小值為f a a 1 5 解得a 6 當(dāng)a 1時(shí) f x x 1 2 x a 此時(shí)函數(shù)的最小值為f a a 1 5 解得a 4 綜上可知a 4或a 6 加