請點擊下載文字版-2003年全國碩士入學統(tǒng)考數(shù)學(四)試題及答案

2003年全國碩士入學統(tǒng)考數(shù)學(四)試題及答案一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）極限= .【分析】 本題屬型未定式，化為指數(shù)函數(shù)求極限即可.【詳解】 = =（2）= .【分析】 對稱區(qū)間上的積分應(yīng)注意利用被積函數(shù)的對稱性，這里有【詳解】 = = = = =.（3）設(shè)a0，而D表示全平面，則= .【分析】 本題積分區(qū)域為全平面，但只有當時，被積函數(shù)才不為零，因此實際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.【詳解】 = =（4）設(shè)A,B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣. 已知AB=2A+B,B=,則= .【分析】 應(yīng)先化簡，從AB=2A+B中確定.【詳解】 由AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E,即有 ， ， ，可見 =.（5）設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ，其中A的逆矩陣為B，則a= -1 .【分析】 這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過進行計算并注意利用乘法的結(jié)合律即可.【詳解】 由題設(shè)，有 = = = =,于是有 ，即 ，解得 由于A1，在內(nèi)的駐點為 問a為何值時，t(a)最??？并求出最小值.【分析】 先由f(t)的導(dǎo)數(shù)為零確定駐點t(a)，它是關(guān)于a的函數(shù)，再把此函數(shù)對a求導(dǎo)，然后令此導(dǎo)數(shù)為零，得到可能極值點，進一步判定此極值為最小值即可.【詳解】 由，得唯一駐點 考察函數(shù)在a1時的最小值. 令 ，得唯一駐點 當時，；當時，因此為極小值，從而是最小值.七、（本題滿分9分）設(shè)y=f(x) 是第一象限內(nèi)連接點A(0,1),B(1,0)的一段連續(xù)曲線，M(x,y)為該曲線上任意一點，點C為M在x軸上的投影，O為坐標原點. 若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為，求f(x)的表達式.【分析】 梯形OCMA的面積可直接用梯形面積公式計算得到，曲邊三角形CBM的面積可用定積分計算，再由題設(shè)，可得一含有變限積分的等式，兩邊求導(dǎo)后可轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程，然后用通解公式計算即可.【詳解】 根據(jù)題意，有 .兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得 當時，得 此為標準的一階線性非齊次微分方程，其通解為 y A= M= O C B x=當x=0時，f(0)=1.由于x=1時，f(1)=0 ,故有2+C=0，從而C=-2. 所以 八、（本題滿分8分）設(shè)某商品從時刻0到時刻t的銷售量為， 欲在T 時將數(shù)量為A的該商品銷售完，試求(1) t時的商品剩余量，并確定k的值；(2) 在時間段0，T上的平均剩余量.【分析】 在時刻t的剩余量y(t)可用總量A減去銷量x(t)得到; 由于y(t)隨時間連續(xù)變化，因此在時間段0,T 上的平均剩余量，即函數(shù)平均值可用積分表示.【詳解】 (1) 在時刻t商品的剩余量為 =， 由=0，得 ，因此 (2) 依題意，在0，T上的平均值為 = =因此在時間段0，T 上的平均剩余量為九、（本題滿分13分）設(shè)有向量組（I）：，和向量組（II）：， 試問：當a為何值時，向量組（I）與（II）等價？當a為何值時，向量組（I）與（II）不等價？【分析】 兩個向量組等價也即兩個向量組可以相互線性表示，而兩個向量組不等價，只需其中一組有一個向量不能由另一組線性表示即可. 而線性表示問題又可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)非齊次線性方程組是否有解的問題，這可通過化增廣矩陣為階梯形來判斷. 一個向量是否可由線性表示，只需用初等行變換化增廣矩陣（）為階梯形討論，而一組向量是否可由線性表示，則可結(jié)合起來對矩陣（）同時作初等行變換化階梯形，然后類似地進行討論即可.【詳解】 作初等行變換，有 = .(1) 當時，有行列式，秩（，故線性方程組均有唯一解. 所以，可由向量組（I）線性表示.同樣，行列式，秩（，故可由向量組（II）線性表示. 因此向量組（I）與（II）等價.(2) 當a=-1時，有 .由于秩（）秩（，線性方程組無解，故向量不能由線性表示. 因此，向量組（I）與（II）不等價.十、（本題滿分13分）設(shè)矩陣可逆，向量是矩陣的一個特征向量，是對應(yīng)的特征值，其中是矩陣A的伴隨矩陣. 試求a,b和的值.【分析】 題設(shè)已知特征向量，應(yīng)想到利用定義：，又與伴隨矩陣相關(guān)的問題，應(yīng)利用進行化簡.【詳解】 矩陣屬于特征值的特征向量為，由于矩陣A可逆，故可逆.于是，且 .兩邊同時左乘矩陣A，得 ， ，即，由此，得方程組 由式(1),(2)解得 或;由式(1),(3)解得 a=2.由于 ，根據(jù)(1)式知，特征向量所對應(yīng)的特征值所以，當時，； 當時，十一、（本題滿分13分）設(shè)隨機變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).【分析】 先求出分布函數(shù)F(x) 的具體形式，從而可確定Y=F(X) ,然后按定義求Y 的分布函數(shù)即可。注意應(yīng)先確定Y=F(X)的值域范圍，再對y分段討論.【詳解】 易見，當x8 時，F(xiàn)(x)=1.對于，有 設(shè)G(y)是隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù). 顯然，當時，G(y)=0；當時，G(y)=1. 對于，有 = =于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為 十二、（本題滿分13分）對于任意二事件A 和B， 稱做事件A和B的相關(guān)系數(shù).(1) 證明事件A和B獨立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零；(2) 利用隨機變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)，證明【分析】 (1) 利用事件A和B獨立的定義P(AB)=P(A)P(B)即可；(2) 隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為，而需將轉(zhuǎn)化為用隨機變量表示，顯然，若有以及，即可，這只需定義 【詳解】 (1) 由的定義，可見當且僅當 P(AB)-P(A)P(B)=0,