行程問題答案及詳解.doc

關(guān)于行程問題一、為什么小學(xué)生行程問題普遍學(xué)不好？ 1、 行程問題的題型多，綜合變化多。 行程問題涉及的變化較多，有的涉及一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，有的涉及多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)。涉及兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的，又有“相向運(yùn)動(dòng)”（相遇問題）、“同向運(yùn)動(dòng)”（追及問題）和“相背運(yùn)動(dòng)”（相離問題）三種情況。行程問題每一類型題的考察重點(diǎn)都不一樣，往往將多種題型綜合起來考察。比如遇到相遇問題關(guān)鍵要抓住速度和，追擊問題則要抓住速度差，流水行船中的相遇追及問題要注意跟水速無關(guān)等等。 2、 行程問題要求學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)過程進(jìn)行演繹和推理。 奧數(shù)中靜態(tài)的知識(shí)學(xué)生很容易學(xué)會(huì)。打個(gè)比方，比如數(shù)線段問題，學(xué)生掌握了方法，依葫蘆畫瓢就行。一般情況，靜態(tài)的奧數(shù)知識(shí)，學(xué)生只要理解了，就能容易做出來。行程問題難就難在過程分析是動(dòng)態(tài)的，甲乙兩個(gè)人從開始就在運(yùn)動(dòng)，整個(gè)過程來回跑。學(xué)生對(duì)文字題描述的過程很難還原成對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，不畫圖，習(xí)慣性的在腦海里分析運(yùn)動(dòng)過程。還有的學(xué)生會(huì)用手指，用橡皮模擬，轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去往往把自己都兜暈了還是沒有搞明白這個(gè)過程，更別說找出解題所需要的數(shù)量關(guān)系了。二、行程問題“九大題型”與“五大方法” 很多學(xué)生對(duì)行程問題的題型不太清楚，對(duì)行程問題的常用解法也不了解，那么我給大家歸納一下。 1、九大題型： 簡(jiǎn)單相遇追及問題；多人相遇追及問題；多次相遇追及問題；變速變道問題；火車過橋問題；流水行船問題；發(fā)車問題；接送問題；時(shí)鐘問題。 2、五大方法： 公式法：包括行程基本公式、相遇公式、追及公式、流水行程公式、火車過橋公式，這種方法看似簡(jiǎn)單，其實(shí)也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式，而且有時(shí)條件不是直接給出的，這就需要對(duì)公式非常熟悉，可以推知需要的條件。 圖示法：在一些復(fù)雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具。示意圖包括線段圖、折線圖，還包括列表。圖圖示法即畫出行程的大概過程，重點(diǎn)在折返、相遇、追及的地點(diǎn)。另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法。 ps：畫圖的習(xí)慣一定要培養(yǎng)起來，圖形是最有利于我們分析運(yùn)動(dòng)過程的，可以說圖畫對(duì)了，意味著題也差不過做對(duì)了30%！ 比例法：行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時(shí)，用比例法可求得具體數(shù)值。更重要的是，在一些較復(fù)雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時(shí)間等)往往是不確定的，在沒有具體數(shù)值的情況下，只能用比例解題。 ps：運(yùn)用比例知識(shí)解決復(fù)雜的行程問題經(jīng)?？?，而且要考都不簡(jiǎn)單。 分段法：在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用。這時(shí)通常把不勻速的運(yùn)動(dòng)分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來。 方程法：在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時(shí)，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼?。 ps：方程法尤其適用于在重要的考試中，可以節(jié)省很多時(shí)間。 假設(shè)法：在速度發(fā)生變化、或提前（晚）出發(fā)等數(shù)值發(fā)生變化的的行程問題中，假設(shè)速度沒變或時(shí)間統(tǒng)一，往往非常起到意想不到的效果，極其有利于解決行程問題。三、怎樣才能學(xué)好行程問題？ 因?yàn)樾谐痰膹?fù)雜，所以很多學(xué)生已開始就會(huì)有畏難心理。所以學(xué)習(xí)行程一定要循序漸進(jìn)，不要貪多，力爭(zhēng)學(xué)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)就要能吃透它。學(xué)習(xí)奧數(shù)有四種境界： 第一種：課堂理解。就是說能夠聽懂老師講解的題目。 第二種：能夠解題。就是說學(xué)生聽懂了還能做出作業(yè)。 第三種：能夠講題。就是不僅自己會(huì)做，還要能夠講給家長(zhǎng)聽。第四種：能夠編題。就是自己領(lǐng)悟這個(gè)知識(shí)了，自己能夠根據(jù)例題出題目，并且解出來。其實(shí)大部分學(xué)生學(xué)習(xí)奧數(shù)都只停留在第一種境界（有的甚至還達(dá)不到），能夠達(dá)到第三種境界的學(xué)生考取重點(diǎn)中學(xué)實(shí)驗(yàn)班基本上沒有什么問題了。而要想在行程上一點(diǎn)問題沒有，則要求學(xué)生達(dá)到第四種境界。即系統(tǒng)學(xué)習(xí)，還要能深刻理解，刻苦鉆研。而這四種境界則是學(xué)習(xí)行程的四個(gè)階段，或者說是好的方法。 建議一：不論是什么問題，在學(xué)習(xí)之前有必要對(duì)于要學(xué)的東西有個(gè)縱向的了解，要系統(tǒng)地梳理一遍，這樣有系統(tǒng)，有方向，學(xué)習(xí)的時(shí)候也不會(huì)迷茫。一般這個(gè)步驟需要家長(zhǎng)和老師一起幫助孩子完成。這樣把大的目標(biāo)分為不同的小的目標(biāo)，各個(gè)擊破，孩子也會(huì)有信心。同時(shí)發(fā)現(xiàn)問題時(shí)，也可以有針對(duì)性的進(jìn)行解決。 建議二：需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，就是在學(xué)習(xí)過程中不能撿芝麻丟西瓜，簡(jiǎn)言之就是要在每學(xué)一個(gè)知識(shí)的時(shí)候，都要對(duì)學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行練習(xí)。一定要要重視總結(jié)，把行程問題進(jìn)行分類比較，這樣孩子對(duì)于行程問題的理解會(huì)上升一個(gè)新的高度。建議三：在學(xué)習(xí)過程中，可以積累孩子的錯(cuò)題，以便日后觀察孩子在此部分知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)過程中的薄弱環(huán)節(jié)，這樣我們以后的計(jì)劃會(huì)更有針對(duì)性。在制定計(jì)劃時(shí)慢慢的達(dá)到量身定做的效果。行程問題的典型例題行程問題中最基本的公式就是 路程=速度時(shí)間，任何行程問題，不管是多么“波瀾起伏或者是一波三折”，他的本質(zhì)都是研究路程、速度、時(shí)間三者的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上衍生出其他問題，在每一個(gè)方面或幾個(gè)方面發(fā)生了細(xì)微的改變。類型一：相遇問題相遇問題強(qiáng)調(diào)的是一個(gè)“和”的思想，兩人在時(shí)間統(tǒng)一的前提下，路程和=速度和時(shí)間。 當(dāng)然他的使用，不僅僅局限于相遇這個(gè)現(xiàn)象，只要這個(gè)題目知道了“和”，我就可以利用這個(gè)公式進(jìn)行求解?！纠?1】AB兩地900米，甲乙兩人在A處同時(shí)向B點(diǎn)出發(fā)，甲的速度60米/分，乙的速度40米/分，甲到達(dá)B地后立即返回，返回途中與乙相遇，甲乙兩人多長(zhǎng)時(shí)間相遇？解：路程和=9002=1800（米）速度和=60+40=100（米/分）相遇時(shí)間=1800100=18（分鐘）上面講的是比較基本的相遇，到了高年級(jí)，可能等多的會(huì)涉及到多次或者是多人相遇。下面來說說多次相遇。方法一：運(yùn)用倍比關(guān)系解多次相遇問題1. 兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個(gè)全程；第2次相遇，共走3個(gè)全程；第3次相遇，共走5個(gè)全程；， ；第N次相遇，共走2N-1個(gè)全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個(gè)全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。2. 同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個(gè)全程；第2次相遇，共走4個(gè)全程； 第3次相遇，共走6個(gè)全程；， ；第N次相遇，共走2N個(gè)全程；3、多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵多次相遇追及的解題關(guān)鍵 幾個(gè)全程【例 2】 甲、乙兩車分別同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開出，第一次在離A地95千米處相遇相遇后繼續(xù)前進(jìn)到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次在離B地25千米處相遇求A、B兩地間的距離是多少千米？【解析】 畫線段示意圖(實(shí)線表示甲車行進(jìn)的路線，虛線表示乙車行進(jìn)的路線)：2011-9-1 17:14 上傳下載附件 (8.57 KB)可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個(gè)A、B兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個(gè)A、B兩地間的距離當(dāng)甲、乙兩車共行了一個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車行了95千米，當(dāng)它們共行三個(gè)A、B兩地間的距離時(shí)，甲車就行了3個(gè)95千米，即953=285（千米），而這285千米比一個(gè)A、B兩地間的距離多25千米，可得：953-25=285-25=260(千米)【例3】小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時(shí)出發(fā)，相向而行，兩人第一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇(只算迎面相遇)，則甲、乙兩地的距離為 千米【解析】第一次相遇走了1個(gè)3千米，第二次相遇走了3個(gè)3千米即33=9（千米）9+6=15（千米）兩個(gè)全程152=7.5（千米）繼續(xù)上面多次相遇問題，解多次相遇問題的工具柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中“相遇的次數(shù)”，“相遇的地點(diǎn)”，以及“由相遇的地點(diǎn)求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個(gè)物體走完一個(gè)全程時(shí)所用的時(shí)間是多少?！纠?】 甲、乙兩人在一條90米的直路上來回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他們同時(shí)分別從直路的兩端A、B兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)他們跑12分鐘，共相遇了多少次？（從出發(fā)后兩人同時(shí)到達(dá)某一點(diǎn)算作一次相遇）。【分析】 多次相遇，如圖所示，甲用實(shí)線表示，乙用虛線表示。在180秒內(nèi)，甲、乙共相遇5次，最后又回到出發(fā)的狀態(tài)。所以甲、乙共相遇了12（18060）=20（次）【例5】甲、乙兩人在一條長(zhǎng)為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米如果他們同時(shí)分別從直路的兩端出發(fā)，當(dāng)他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？【解析】 采用運(yùn)行圖來解決本題相當(dāng)精彩！首先，甲跑一個(gè)全程需要301=30（秒），乙跑一個(gè)全程需要300.6=50（秒）與上題類似，畫運(yùn)行圖如下（實(shí)線表甲，虛線表示乙，那么實(shí)虛兩線交點(diǎn)就是甲乙相遇的地點(diǎn)）：從圖中可以看出，當(dāng)甲跑5個(gè)全程時(shí)，乙剛好跑3個(gè)全程，各自到了不同兩端又重新開始，這正好是一周期150秒在這一周期內(nèi)兩人相遇了5次，所以兩人跑10分鐘，正好是四個(gè)周期，也就相遇54=20（次）備注：一個(gè)周期內(nèi)共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇有些多次相遇的題目可以根據(jù)速度比m:n,設(shè)路程為m+n份。舉個(gè)例子。【例6】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，并在A、B兩地間不斷往返行駛。已知甲車速度是15千米/時(shí)，乙車速度是25千米/時(shí)，甲乙兩車第一次相遇地點(diǎn)與第二次相遇地點(diǎn)之間相差100千米。A、B兩地相距多少千米？（從出發(fā)后兩人同時(shí)到達(dá)某一點(diǎn)算作一次相遇）。【分析】甲車速度是15千米/時(shí)，乙車速度是25千米/時(shí)，甲、乙兩車的速度之比為15:25=3:5將A、B兩地平均分成8小格，甲每走3小格，乙就走5小格；如圖所示，C1、C2分別表示第1、2次相遇的地點(diǎn)；其中第一次相遇地點(diǎn)與第二次相遇地點(diǎn)之間相差4小格；每小格的長(zhǎng)度為1004=25千米；所以A、B兩地相距258=200千米。說了多次相遇，再來說說多人的相遇問題即多人行程。這類問題主要涉及的人數(shù)為3人，主要考察的問題就是求前兩個(gè)人相遇或追及的時(shí)刻，第三個(gè)人的位置，解題的思路就是把三人問題轉(zhuǎn)化為尋找兩兩人之間的關(guān)系?！纠?】甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走50米，丙每分鐘走40米。甲從A地，乙和丙從B出發(fā)相向而行，甲和乙相遇后，過了15分鐘又與丙相遇，求A、B兩地的距離?！窘馕觥?人相遇問題。先畫圖分析整個(gè)題目說了兩個(gè)相遇過程。第一次相遇：甲和乙相遇。兩人一共走了一個(gè)全程。因此全程=（甲的速度+乙的速度）時(shí)間發(fā)現(xiàn)相遇的時(shí)間不知道。第二次相遇：甲和丙的相遇。前提是“甲乙相遇后，再過15分鐘”。發(fā)現(xiàn)走的路程是CD。因此CD的距離=（甲的速度+丙的速度）時(shí)間=（60+40）15=1500（米）但是我們的目標(biāo)是要求出甲乙相遇的時(shí)間，發(fā)現(xiàn)CD是在這段時(shí)間里乙、丙的路程差。因此時(shí)間=路程差速度差=1500（50-40）=150（分鐘）因此全程=（60+50）150=110150=16500（米）類型二：火車過橋過橋問題是行程問題的一種。首先要弄清列車通過一座橋是指從車頭上橋到車尾離橋。列車過橋的總路程是橋長(zhǎng)加車長(zhǎng)，這是解決過橋問題的關(guān)鍵。過橋問題也要用到一般行程問題的基本數(shù)量關(guān)系：過橋問題的一般數(shù)量關(guān)系是：過橋的路程 = 橋長(zhǎng) + 車長(zhǎng)車速 = (橋長(zhǎng) + 車長(zhǎng))過橋時(shí)間通過橋的時(shí)間 =(橋長(zhǎng) + 車長(zhǎng))車速橋長(zhǎng) = 車速過橋時(shí)間 車長(zhǎng)車長(zhǎng) = 車速過橋時(shí)間 橋長(zhǎng)后三個(gè)都是根據(jù)第二個(gè)關(guān)系式逆推出的?；疖囃ㄟ^隧道的問題和過橋問題的道理是一樣的，也要通過上面的數(shù)量關(guān)系來解決?；疖囋谛旭傊?，經(jīng)常發(fā)生過橋與通過隧道，兩車對(duì)開錯(cuò)車與快車超越慢車等情況火車過橋是指“全車通過”，即從車頭上橋直到車尾離橋才算“過橋”如下圖：后三個(gè)都是根據(jù)第二個(gè)關(guān)系式逆推出的對(duì)于火車過橋、火車和人相遇、火車追及人以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的題目，在分析題目的時(shí)候一定得結(jié)合著圖來進(jìn)行兩列火車的追及情況，請(qǐng)看下圖：【例8】?jī)扇搜刂F路線邊的小道，從兩地出發(fā)，兩人都以每秒1米的速度相對(duì)而行。一列火車開來，全列車從甲身邊開過用了10秒。3分后，乙遇到火車，全列火車從乙身邊開過只用了9秒。火車離開乙多少時(shí)間后兩人相遇？分析 根據(jù)題意圖示如下：A1、B1 分別表示車追上甲時(shí)兩人所在地點(diǎn)， A2、B2 分別為車從甲身邊過時(shí)兩人所在地點(diǎn)， A3、B3 分別為車與乙相遇時(shí)兩人所在地點(diǎn)，A4、B4分別為車從乙身邊開過時(shí)兩人所在地點(diǎn)。要求車從乙身邊開過后甲乙相遇時(shí)間用A4到B4之間的路程除以兩人速度和。解：（1）求車速（車速-1）10=10車速-10=車長(zhǎng)（車速+1）9 = 9車速+ 9=車長(zhǎng)比較上面兩式可知車速是每秒19米。（2）A3到B3的路程，即車遇到乙時(shí)車與甲的路程差，也是甲與乙的相距距離。（19-1）（10+190）=3420（米）（3）A4到B4的路程，即車從乙身邊過時(shí)甲乙之間的路程。3420-（1+1）9=3402（米）（4）車離開乙后，甲乙兩人相遇的時(shí)間為3402（1+1）=1701（秒）答：火車離開乙1701秒后兩人相遇【走進(jìn)賽題】1、鐵路旁的一條平行小路上，有一行人與一騎車人同時(shí)向南行進(jìn)。行人速度為3.6千米/小時(shí)，騎車人速度為10.8千米/小時(shí)。這時(shí)有一列火車從他們背后開過來，火車通過行人用22秒，通過騎車人用26秒。這列火車的車身總長(zhǎng)是多少米？（第三屆“迎春杯”第二題第1題）2、一個(gè)人站在鐵道旁，聽見行近來的火車汽笛聲后，再過57秒鐘火車經(jīng)過他面前.已知火車汽笛時(shí)離他1360米；(軌道是筆直的)聲速是每秒鐘340米，求火車的速度？(得數(shù)保留整數(shù)) （第4屆“從小愛數(shù)學(xué)”競(jìng)賽第8題）3、某人沿著鐵路邊的便道步行，一列客車從身后開來，在身旁通過的時(shí)間是15秒鐘，客車長(zhǎng)105米，每小時(shí)速度為28.8千米.求步行人每小時(shí)行多少千米？（第3屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽第3題）4、一條單線鐵路上有A，B，C，D，E 5個(gè)車站，它們之間的路程如圖所示(單位：千米).兩列火車同時(shí)從A，E兩站相對(duì)開出，從A站開出的每小時(shí)行60千米，從E站開出的每小時(shí)行50千米.由于單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道，要使對(duì)面開來的列車通過，必須在車站停車，才能讓開行車軌道.因此，應(yīng)安排哪個(gè)站相遇，才能使停車等候的時(shí)間最短.先到這一站的那一列火車至少需要停車多少分鐘？（第6屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽第6題）【走進(jìn)賽題】1、286米 2、22秒 3、3.6千米/小時(shí) 4、D站 5分鐘行程問題加難試題1. 如圖21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小張和小王在上坡時(shí)步行速度是每小時(shí)4千米，平路時(shí)步行速度是每小時(shí)5千米，下坡時(shí)步行速度是每小時(shí)6千米小張和小王分別從A和D同時(shí)出發(fā)，1小時(shí)后兩人在E點(diǎn)相遇已知E在BC上，并且E至C的距離是B至C距離的當(dāng)小王到達(dá)A后9分鐘，小張到達(dá)D那么A至D全程長(zhǎng)是多少千米? 【分析與解】 BE是BC的，CE是BC的，說明DC這段下坡，比AB這段下坡所用的時(shí)間多，也就是DC這一段，比AB這一段長(zhǎng)，因此可以在DC上取一段DF和AB一樣長(zhǎng)，如下圖： 另外，再在圖上畫出一點(diǎn)G，使EG和EC一樣長(zhǎng)，這樣就表示出，小王從F到C.小張從B到G 小王走完全程比小張走完全程少用9分鐘，這時(shí)因?yàn)樾堊逤至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他們兩人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一樣多) 因此，小王從F至C，走下坡所用時(shí)間是9=18(分鐘) 因此得出小張從B至G也是用18分鐘，走GE或CE都用6分鐘走B至C全程(平路)要30分鐘 從A至曰下坡所用時(shí)間是60-18-6=36(分鐘)； 從D至C下坡所用時(shí)間是60-6=54(分鐘)； A至D全程長(zhǎng)是(36+54)+30=11.5千米2. 如圖2l-2，A，B兩點(diǎn)把一個(gè)周長(zhǎng)為l米的圓周等分成兩部分藍(lán)精靈從B點(diǎn)出發(fā)在這個(gè)圓周上沿逆時(shí)針方向做跳躍運(yùn)動(dòng)，它每跳一步的步長(zhǎng)是米，如果它跳到A點(diǎn)，就會(huì)經(jīng)過特別通道AB滑向曰點(diǎn)，并從B點(diǎn)繼續(xù)起跳，當(dāng)它經(jīng)過一次特別通道，圓的半徑就擴(kuò)大一倍已知藍(lán)精靈跳了1000次，那么跳完后圓周長(zhǎng)等于多少米? 【分析與解】 4=即藍(lán)精靈跳4次到A點(diǎn)圓半徑擴(kuò)大一倍即乘以2后，跳8次到A點(diǎn) 圓半徑乘以4后，跳16次到A點(diǎn) 依次類推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A點(diǎn)1000次跳完后圓周長(zhǎng)是1=128米 3已知貓跑5步的路程與狗跑3步的路程相同；貓跑7步的路程與兔跑5步的路程相同而貓跑3步的時(shí)間與狗跑5步的時(shí)間相同；貓跑5步的時(shí)間與兔跑7步的時(shí)間相同，貓、狗、兔沿著周長(zhǎng)為300米的圓形跑道，同時(shí)同向同地出發(fā)問當(dāng)它們出發(fā)后第一次相遇時(shí)各跑了多少路程? 【分析與解】由題意，貓與狗的速度之比為9:25，貓與兔的速度之比為2