高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （教材回扣夯實雙基+考點(diǎn)探究+把脈高考）第九章第9課時 離散型隨機(jī)變量的均值與方課件.ppt

第9課時離散型隨機(jī)變量的均值與方差 正態(tài)分布 基礎(chǔ)梳理1 離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量x的分布列為 1 均值稱ex 為隨機(jī)變量x的均值或 它反映了離散型隨機(jī)變量取值的 x1p1 x2p2 xipi xnpn 數(shù)學(xué)期望 平均水平 平均偏離程度 2 均值與方差的性質(zhì) 1 e ax b 2 d ax b a b為常數(shù) 3 兩點(diǎn)分布與二項分布的均值 方差 aex b a2dx p p 1 p np np 1 p 4 正態(tài)曲線的特點(diǎn) 1 曲線位于x軸 與x軸 2 曲線是單峰的 它關(guān)于直線 對稱 3 曲線在x 處達(dá)到峰值 4 曲線與x軸之間的面積為 上方 不相交 x 1 5 當(dāng) 一定時 曲線隨著 的變化而沿x軸平移 6 當(dāng) 一定時 曲線的形狀由 確定 曲線越 瘦高 表示總體的分布越 曲線越 矮胖 表示總體的分布越 越小 集中 越大 分散 思考探究參數(shù) 在正態(tài)分布中的實際意義是什么 提示 是正態(tài)分布的期望 是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差 課前熱身 2 設(shè)隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布n 2 9 若p x c 1 p x c 1 則c等于 a 1b 2c 3d 4 3 有一批產(chǎn)品 其中有12件正品和4件次品 有放回地任取3件 若x表示取到次品的件數(shù) 則dx 4 在籃球比賽中 罰球命中1次得1分 不中得0分 如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0 7 那么他罰球1次的得分x的均值是 解析 ex 1 0 7 0 0 3 0 7 答案 0 7 2011 高考天津卷 學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目 甲箱子里裝有3個白球 2個黑球 乙箱子里裝有1個白球 2個黑球 這些球除顏色外完全相同 每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球 若摸出的白球不少于2個 則獲獎 每次游戲結(jié)束后將球放回原箱 1 求在1次游戲中 摸出3個白球的概率 獲獎的概率 2 求在2次游戲中獲獎次數(shù)x的分布列及數(shù)學(xué)期望ex 所以x的分布列是 題后感悟 1 求離散型隨機(jī)變量的均值與方差時 關(guān)鍵是先求出隨機(jī)變量的分布列 然后根據(jù)均值與方差的定義求解 2 若隨機(jī)變量x服從二項分布 即x b n p 則可直接使用公式ex np dx np 1 p 求解 備選例題 變式訓(xùn)練1 袋中有20個大小相同的球 其中記上0號的有10個 記上n號的有n個 n 1 2 3 4 現(xiàn)從袋中任取一球 表示所取球的標(biāo)號 1 求 的分布列 期望和方差 2 若 a b e 1 d 11 試求a b的值 解 1 的分布列為 隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件 經(jīng)質(zhì)檢 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生產(chǎn)1件一 二 三等品獲得的利潤分別為6萬元 2萬元 1萬元 而1件次品虧損2萬元 設(shè)1件產(chǎn)品的利潤 單位 萬元 為x 1 求x的分布列 2 求1件產(chǎn)品的平均利潤 即x的數(shù)學(xué)期望 3 經(jīng)技術(shù)革新后 仍有四個等級的產(chǎn)品 但次品率降為1 一等品率提高為70 如果此時要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4 73萬元 則三等品率最多是多少 2 ex 6 0 63 2 0 25 1 0 1 2 0 02 4 34 萬元 3 設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x 則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為ex 6 0 7 2 1 0 7 0 01 x x 2 0 01 4 76 x 0 x 0 29 依題意 知e x 4 73 即4 76 x 4 73 解得x 0 03 所以三等品率最多為3 題后感悟 1 解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個值所表示的具體事件 求得該事件發(fā)生的概率 2 均值與方差從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量 是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù) 一般是先分析比較均值 若均值相同 再用方差來決定 變式訓(xùn)練2 在某一有獎銷售中 每10萬份獎券中有1個一等獎 獎金10000元 2個二等獎 每個獎金5000元 500個三等獎 每個獎金100元 10000個四等獎 每個獎金5元 試求每張獎券獎金的期望值 如果每張獎券3元 銷售一張平均獲利多少 假設(shè)所有獎券全部售完 解 設(shè)一張獎券的獎金額為x 根據(jù)題意 x的分布列為 2011 高考湖北卷 已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布n 2 2 且p 4 0 8 則p 0 2 a 0 6b 0 4c 0 3d 0 2 解析 由p 4 0 8知p 4 p 0 0 2 故p 0 2 0 3 故選c 答案 c 題后感悟 關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 1 熟記p x p 2 x 2 p 3 x 3 的值 2 充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1 備選例題在某次數(shù)學(xué)考試中 考生的成績 服從正態(tài)分布 即 n 100 100 已知滿分為150分 1 試求考試成績 位于區(qū)間 80 120 內(nèi)的概率 2 若這次考試共有2000名考生參加 試估計這次考試及格 不小于90分 的人數(shù) 解 1 由 n 100 100 知 100 10 p 80 120 p 100 20 100 20 0 9544 即考試成績位于區(qū)間 80 120 內(nèi)的概率為0 9544 2 p 90 110 p 100 10 100 10 0 6826 p 110 1 0 6826 0 1587 p 90 0 6826 0 1587 0 8413 及格人數(shù)為2000 0 8413 1683 變式訓(xùn)練3 已知正態(tài)分布總體落在區(qū)間 0 2 的概率為0 5 那么相應(yīng)的正態(tài)曲線 x 在x 時達(dá)到最高點(diǎn) 解析 p x 0 2 0 5 p x 0 2 0 5 即直線x 0 2是正態(tài)曲線的對稱軸 當(dāng)x 0 2時 x 達(dá)到最高點(diǎn) 答案 0 2 方法技巧1 釋疑離散型隨機(jī)變量的均值 1 均值是算術(shù)平均值概念的推廣 是概率意義下的平均 2 ex是一個實數(shù) 由x的分布列唯一確定 它描述x取值的平均狀態(tài) 3 教材中給出的e ax b aex b 說明隨機(jī)變量x的線性函數(shù)y ax b的均值等于隨機(jī)變量x均值的線性函數(shù) 2 離散型隨機(jī)變量的方差 1 dx表示隨機(jī)變量x對ex的平均偏離程度 dx越大表明平均偏離程度越大 說明x的取 值越分散 反之 dx越小 x的取值越集中在ex附近 統(tǒng)計中常用來描述x的分散程度 2 dx與ex一樣 也是一個實數(shù) 由x的分布列唯一確定 失誤防范1 對于應(yīng)用問題 必須對實際問題進(jìn)行具體分析 一般要先將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來 再進(jìn)行分析 求出隨機(jī)變量的概率分布 然后按定義計算出隨機(jī)變量的期望 方差或標(biāo)準(zhǔn)差 2 在實際問題中進(jìn)行概率 百分比計算時 關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個重要參數(shù) 求出 然后確定三個區(qū)間 范圍 2 2 3 3 與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解 命題預(yù)測從近幾年的高考試題來看 離散型隨機(jī)變量的均值與方差是高考的熱點(diǎn) 題型為填空題或解答題 屬中檔題 常與排列 組合 概率等知識綜合命題 既考查基本概念 又注重考查基本運(yùn)算能力和邏輯推理 理解能力 而正態(tài)分布在近幾年高考中 有些省份進(jìn)行了考查 其難度較低 預(yù)測2013年高考 離散型隨機(jī)變量的均值與方差仍然是高考的熱點(diǎn) 同時應(yīng)特別注意均值與方差的實際應(yīng)用 規(guī)范解答 本題滿分12分 2011 高考福建卷 某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級 等級系數(shù)x依次為1 2 8 其中x 5為標(biāo)準(zhǔn)a x 3為標(biāo)準(zhǔn)b 已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)a生產(chǎn)該產(chǎn)品 產(chǎn)品的零售價為6元 件 乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)b生產(chǎn)該產(chǎn)品 產(chǎn)品的零售價為4元 件 假定甲 乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn) 1 已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)x1的概率分布列如下所示 且x1的數(shù)學(xué)期望ex1 6 求a b的值 2 為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)x2 從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件 相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本 數(shù)據(jù)如下 用這個樣本的頻率分布估計總體分布 將頻率視為概率 求等級系數(shù)x2的數(shù)學(xué)期望 3 在 1 2 的條件下 若以 性價比 為判斷標(biāo)準(zhǔn) 則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性 說明理由 注 產(chǎn)品的 性價比 性價比 大的產(chǎn)品更具可購買性 解 1 因為ex1 6 所以5 0 4 6a 7b 8 0 1 6 即6a 7b 3 2 2分又由x1的概率分布列得0 4 a b 0 1 1 即a b 0 5 2 由已知得 樣本的頻率分布表如下 6分用這個樣本的頻率分布估計總體分布 將頻率視為概率 可得等級系數(shù)x2的概率分布列如下 所以ex2 3 0 3 4 0 2