高一數(shù)學(xué)一元二次不等式解法練習(xí)題及答案.docx

高一數(shù)學(xué)一元二次不等式解法練習(xí)題及答案 分析 求算術(shù)根，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)解 據(jù)題意有，x2x60，即(x3)(x2)0，解在“兩根之外”，所以x3或x2例3 若ax2bx10的解集為x|1x2，則a_，b_分析 根據(jù)一元二次不等式的解公式可知，1和2是方程ax2bx10的兩個根，考慮韋達定理解 根據(jù)題意，1，2應(yīng)為方程ax2bx10的兩根，則由韋達定理知例4 解下列不等式(1)(x1)(3x)52x(2)x(x11)3(x1)2(3)(2x1)(x3)3(x22)分析 將不等式適當(dāng)化簡變?yōu)閍x2bxc0(0)形式，然后根據(jù)“解公式”給出答案(過程請同學(xué)們自己完成)答 (1)x|x2或x4(4)R(5)R說明：不能使用解公式的時候要先變形成標(biāo)準(zhǔn)形式 Ax|x0Bx|x1Cx|x1Dx|x1或x0分析 直接去分母需要考慮分母的符號，所以通常是采用移項后通分x20，x10，即x1選C說明：本題也可以通過對分母的符號進行討論求解 A(x3)(2x)0B0x21D(x3)(2x)0故排除A、C、D，選B兩邊同減去2得0x21選B說明：注意“零” (a1)x1(x1)0，根據(jù)其解集為x|x1或x2答 選C說明：注意本題中化“商”為“積”的技巧解 先將原不等式轉(zhuǎn)化為不等式進一步轉(zhuǎn)化為同解不等式x22x30，即(x3)(x1)0，解之得3x1解集為x|3x1說明：解不等式就是逐步轉(zhuǎn)化，將陌生問題化歸為熟悉問題例9 已知集合Ax|x25x40與Bx|x22axa2分析 先確定A集合，然后根據(jù)一元二次不等式和二次函數(shù)圖像關(guān)解 易得Ax|1x4設(shè)yx22axa2(*)4a24(a2)0，解得1a2說明：二次函數(shù)問題可以借助它的圖像求解例10 解關(guān)于x的不等式(x2)(ax2)0分析 不等式的解及其結(jié)構(gòu)與a相關(guān)，所以必須分類討論解 1 當(dāng)a0時，原不等式化為x20其解集為x|x2；4 當(dāng)a1時，原不等式化為(x2)20，其解集是x|x2；從而可以寫出不等式的解集為：a0時，x|x2；a1時，x|x2；說明：討論時分類要合理，不添不漏例11 若不等式ax2bxc0的解集為x|x(0)，求cx2bxa0的解集分析 由一元二次函數(shù)、方程、不等式之間關(guān)系，一元二次不等式的解集實質(zhì)上是用根來構(gòu)造的，這就使“解集”通過“根”實現(xiàn)了與“系數(shù)”之間的聯(lián)系考慮使用韋達定理：解法一 由解集的特點可知a0，根據(jù)韋達定理知：a0，b0，c0解法二 cx2bxa0是ax2bxa0的倒數(shù)方程且ax2bxc0解為x，說明：要在一題多解中鍛煉自己的發(fā)散思維分析 將一邊化為零后，對參數(shù)進行討論進一步化為(ax1a)(x1)0(1)當(dāng)a0時，不等式化為(2)a0時，不等式化為x10，即x1，所以不等式解集為x|x1；綜上所述，原不等式解集為：例13 (2001年全國高考題)不等式|x23x|4的解集是_分析 可轉(zhuǎn)化為(1)x23x4或(2)x23x4兩個一元二次不等式答 填x|x1或x4例14 (1998年上海高考題)設(shè)全集UR，Ax|x25x60，Bx|x5|a(a是常數(shù))，且11B，則 A(UA)BRBA(UB)RC(UA)(UB)RDABR分析 由x25x60得x1或x6，即Ax|x1或x6由|x5|a得5ax5a，即Bx|5ax5a11B，|115|a得a65a1，5a11 ABR答 選D說明：本題是一個綜合題，涉及內(nèi)容很廣泛，集合、絕對值不等式、一元二次不等式等內(nèi)容都得到了考查不等式中恒成立問題的解法研究在不等式的綜合題中，經(jīng)常會遇到當(dāng)一個結(jié)論對于某一個字母的某一個取值范圍內(nèi)所有值都成立的恒成立問題。恒成立問題的基本類型：類型1：設(shè)，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)（1）當(dāng)時，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時，上恒成立上恒成立類型3：。類型4： 恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。一、用一次函數(shù)的性質(zhì) 對于一次函數(shù)有：例1：若不等式對滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。二、利用一元二次函數(shù)的判別式 對于一元二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例2：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。（1）當(dāng)m-1=0時，元不等式化為20恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，。三、利用函數(shù)的最值（或值域）（1）對任意x都成立；（2）對任意x都成立。簡單計作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例3：在ABC中，已知恒成立，求實數(shù)m的范圍。解析：由，恒成立，即恒成立，例4：（1）求使不等式恒成立的實數(shù)a的范圍。解析：由于函，顯然函數(shù)有最大值，。如果把上題稍微改一點，那么答案又如何呢？請看下題：（2）求使不等式恒成立的實數(shù)a的范圍。解析：我們首先要認(rèn)真對比上面兩個例題的區(qū)別，主要在于自變量的取值范圍的變化，這樣使得的最大值取不到，即a取也滿足條件，所以。 所以，我們對這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因為這直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時，一般要求把參數(shù)單獨放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。四：數(shù)形結(jié)合法 對一些不能把數(shù)放在一側(cè)的，可以利用對應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例5：已知，求實數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)的圖象，如果兩個函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對應(yīng)的圖象在在區(qū)間對應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。 由此可以看出，對于參數(shù)不能單獨放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來解。利用函數(shù)圖象解題時，思路是從邊界處（從相等處）開始形成的。例6：若當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點時，不等式恒成立，則c的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由，可以看作是點P(m,n)在直線的右側(cè)，而點P(m,n)在圓上，實質(zhì)相當(dāng)于是在直線的右側(cè)并與它相離或相切。，故選D。 其實在習(xí)題中，我們也給出了一種解恒成立問題的方法，即求出不等式的解集后再進行處理。 以上介紹了常用的五種解決恒成立問題。其實，對于恒成立問題，有時關(guān)鍵是能否看得出來題就是關(guān)于恒成立問題。下面，給出一些練習(xí)題，供同學(xué)們練習(xí)。練習(xí)題：1、對任意實數(shù)x，不等式恒成立的充要條件是_。2、設(shè)上有意義，求實數(shù)a的取值范圍.。3、當(dāng)恒成立，則實數(shù)a的范圍是_。4、已知不等式： 對一切大于1的自然數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的范圍。含參不等式恒成立問題的求解策略“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等內(nèi)容有機地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結(jié)合實例談?wù)勥@類問題的一般求解策略。一、判別式法若所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1）對恒成立; 2）對恒成立 例1已知函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對恒成立，即有解得。所以實數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例2設(shè)，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則當(dāng)時，恒成立Oxyx-1當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數(shù)的取值范圍為。二、最值法 將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例3已知，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則由題可知對任意恒成立令，得而即實數(shù)的取值范圍為。例4函數(shù)，若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得而拋物線在的最小值得注：本題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立實際上，上題就可利用此法解決。略解：在時恒成立，只要在時恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。 例5已知函數(shù)時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解： 將問題轉(zhuǎn)化為對恒成立。令，則由可知在上為減函數(shù)，故即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數(shù)變量進行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例6對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。 當(dāng)時，可得，不合題意。當(dāng)時，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。四、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。x-2-4yO-4例7設(shè) , ,若恒有成立,求實數(shù)的取值范圍. 分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出及 的圖象 如圖所示，的圖象是半圓 的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足 解得（舍去)由上可見，含參不等式恒成立問題因其覆蓋知識點多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價轉(zhuǎn)化，抓住了這點，才能以“不變應(yīng)萬變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會和總結(jié)。含參不等式恒成立問題中，求參數(shù)取值范圍一般方法恒成立問題是數(shù)學(xué)中常見問題，也是歷年高考的一個熱點。大多是在不等式中，已知一個變量的取值范圍，求另一個變量的取值范圍的形式出現(xiàn)。下面介紹幾種常用的處理方法。一、 分離參數(shù)在給出的不等式中，如果能通過恒等變形分離出參數(shù)，即：若恒成立，只須求出，則；若恒成立，只須求出，則，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。例1、已知函數(shù)，若對任意恒有，試確定的取值范圍。解：根據(jù)題意得：在上恒成立，即：在上恒成立，設(shè)，則當(dāng)時， 所以 在給出的不等式中，如果通過恒等變形不能直接解出參數(shù)，則可將兩變量分別置于不等式的兩邊，即：若恒成立，只須求出，則，然后解不等式求出參數(shù)的取值范圍；若恒成立，只須求出，則，然后解不等式求出參數(shù)的取值范圍，問題還是轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。例2、已知時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：令， 所以原不等式可化為：，要使上式在上恒成立，只須求出在上的最小值即可。 二、 分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊，則可利用分類討論的思想來解決。例3、若時，不等式恒成立，求的取值范圍。解：設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，的最小值非負(fù)。（1） 當(dāng)即：時， 又所以不存在；（2） 當(dāng)即：時， 又 （3） 當(dāng) 即：時， 又綜上所得：三、 確定主元在給出的含有兩個變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量看成是主元（未知數(shù)），而把另一個變量看成參數(shù)，在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡化解題過程。例4、若不等式對滿足的所有都成立，求的取值范圍。解：設(shè)，對滿足的，恒成立， 解得：四、 利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來求解，即：，則且，不等式的解即為實數(shù)的取值范圍。例5、當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：（1） 當(dāng)時，則問題轉(zhuǎn)化為 （2） 當(dāng)時，則問題轉(zhuǎn)化為綜上所得：或五、 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合法是先將不等式兩端的式子分別看作兩個函數(shù)，且正確作出兩個函數(shù)的圖象，然后通過觀察兩圖象（特別是交點時）的位置關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式。例6、若不等式在內(nèi)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：由題意知：在內(nèi)恒成立，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，分別作出函數(shù)和觀察兩函數(shù)圖象，當(dāng)時，若函數(shù)的圖象顯然在函數(shù)圖象的下方，所以不成立；當(dāng)時，由圖可知，的圖象必須過點或在這個點的上方，則， 綜上得：上面介紹了含參不等式中恒成立問題幾種解法，在解題過程中，要靈活運用題設(shè)條件綜合分析，選擇適當(dāng)方法準(zhǔn)確而快速地解題。含參數(shù)不等式恒成立問題的解題策略（專題探究）一、教學(xué)目標(biāo)：理解含參不等式恒成立問題特征；能充分利用化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)和分類討論等數(shù)學(xué)思想解決含參不等式恒成立問題；培養(yǎng)學(xué)生分析解決綜合問題的能力。二、教學(xué)方法：啟發(fā)、探究三、教學(xué)過程：通過含參數(shù)不等式恒成立問題的求解，通過變式、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生探究解題策略，培養(yǎng)學(xué)生利用化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)和分類討論等數(shù)學(xué)思想進行解題的意識。例題1：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。變式：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。例題2：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。變式1：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。變式2：已知不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。例題3：當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。練習(xí)1：已知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。練習(xí)2：對于滿足的所有實數(shù)，求使不等式恒成立的的取值范圍。思考：1、若不等式對滿足的所有都成立，求實數(shù)的取值范圍。2、設(shè)，若滿足不等式的一切實數(shù)，能使不等式恒成立，求正實數(shù)的取值范圍。常見不等式恒成立問題的幾種求解策略不等式恒成立問題是近幾年高考以及各種考試中經(jīng)常出現(xiàn)，它綜合考查函數(shù)、方程和不等式的主要內(nèi)容，并且與函數(shù)的最值、方程的解和參數(shù)的取值范圍緊密相連，本文結(jié)合解題教學(xué)實踐舉例說明幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，以拋磚引玉。 1 變量轉(zhuǎn)換策略例1 已知對于任意的a-1,1，函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a0 恒成立，求x的取值范圍.解析 本題按常規(guī)思路是分a=0時f(x)是一次函數(shù)，a0時是二次函數(shù)兩種情況討論，不容易求x的取值范圍。因此，我們不能總是把x看成是變量，把a看成常參數(shù)，我們可以通過變量轉(zhuǎn)換，把a看成變量，x看成常參數(shù)，這就轉(zhuǎn)化一次函數(shù)問題，問題就變得容易求解。令g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3在a-1,1時，g(a)0恒成立，則，得.點評 對于含有兩個參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。2 零點分布策略例2 已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析 本題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區(qū)間的左側(cè)、零點在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即0或或，即a的取值范圍為-7，2.點評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題,可以考慮函數(shù)的零點分布情況,要求對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.3 函數(shù)最值策略 例3 已知，若恒成立，求a的取值范圍. 解析 本題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最值問題,只要對于任意.若恒成立或或，即a的取值范圍為.點評 對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.本題也可以用零點分布策略求解.4 變量分離策略 例4 已知函數(shù)，若在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值范圍.解析 本題等價于一個不等式恒成立問題,即對于恒成立,式子中有兩個變量,可以通過變量分離化歸為求函數(shù)的最值問題. 對于恒成立對于恒成立,令,設(shè),則,即x=1時, k的取值范圍是k2.變式 若本題中將改為，其余條件不變，則也可以用變量分離法解.由題意得，對于恒成立對于恒成立,令,設(shè),則，, k的取值范