2019_2020學年高中數(shù)學第一章統(tǒng)計1.5用樣本估計總體1.6統(tǒng)計活動結(jié)婚年齡的變化學案北師大版必修3.docx

1.5 用樣本估計總體 1.6 統(tǒng)計活動 結(jié)婚年齡的變化航向標學習目標1通過實例體會頻率分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖，體會它們各自的特點2會用樣本的頻率分布估計總體的分布，用樣本的基本數(shù)字特征，估計總體的數(shù)字特征3體會統(tǒng)計的作用和基本思想，形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識，激發(fā)學生的興趣讀教材自主學習1頻率分布直方圖：圖中每個小矩形的寬度為xi(分組的寬度)，高為，小矩形的面積恰為相應的頻率fi，通常我們稱這樣的圖形為頻率分布直方圖2頻率折線圖：在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個區(qū)間從所加的左邊區(qū)間的中點開始，用線段依次連接各個矩形的頂端中點，直至右邊所加區(qū)間的中點，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖3樣本平均數(shù)：假設通過隨機抽樣得到的樣本為x1，x2，xn，我們把稱為樣本平均數(shù)，用樣本平均數(shù)來估計總體的平均數(shù)4樣本標準差：假設通過隨機抽樣得到的樣本為x1，x2，xn.我們把s稱為樣本標準差用樣本標準差來估計總體的標準差看名師疑難剖析1頻率分布表和頻率分布直方圖的特征(1)頻率分布表中的數(shù)字和頻率分布直方圖的形狀都與分組數(shù)(組距)有關；頻率分布直方圖的外觀還和坐標系單位長度有關分組數(shù)的變化可引起頻率分布表和頻率分布直方圖的結(jié)構(gòu)變化；坐標系的單位長度的變化只能引起頻率分布直方圖的形狀沿坐標軸方向的拉伸變化(2)隨機性：頻率分布表和頻率分布直方圖由樣本決定，因此會隨著樣本的改變而改變(3)規(guī)律性：根據(jù)頻率趨近于概率的原理若固定分組數(shù)，隨著樣本容量的增加，頻率分布表中的各個頻率會穩(wěn)定于總體中任一個體分布在相應分組的概率，從而頻率分布直方圖中的各個矩形的高度也會穩(wěn)定在特定的值(即相應的概率除以組間距)上(4)在頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積等于相應數(shù)據(jù)組的頻率，小矩形的高等于數(shù)據(jù)組的頻率除以組距2頻率分布表、頻率分布直方圖的優(yōu)點(1)頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到在分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容(2)頻率折線圖的優(yōu)點是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢如果樣本容量不斷增加，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布趨勢的圖形考點一 頻率分布表、頻率分布直方圖及折線圖例1美國歷屆總統(tǒng)中，就任時年紀最小的是羅斯福，他于1901年就任，當時年僅42歲；就任時年紀最大的是里根，他于1981年就任，當時69歲下面按時間順序(從1789年的華盛頓到2001年的小布什，共43任)給出了歷屆美國總統(tǒng)就任時的年齡：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54(1)將數(shù)據(jù)進行適當?shù)姆纸M，并畫出相應的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖(2)用自己的語言描述一下歷屆美國總統(tǒng)就任時年齡的分布情況分析由本題可獲得以下主要信息：本題給出了樣本數(shù)據(jù)；本題要列表畫圖解答本題可先列出頻率分布表，再按步驟作出頻率分布直方圖及折線圖解(1)以4為組距，列表如下：年齡分組頻數(shù)頻率41.5,45.5)20.04650.011645.5,49.5)60.13950.034949.5,53.5)80.18600.046553.5,57.5)160.37210.093057.5,61.5)50.11630.029161.5,65.5)40.09300.023365.5,69.520.04650.0116(2)從頻率分布表中可以看出，將近60%的美國總統(tǒng)就任時的年齡在50歲至60歲之間，45歲以下以及65歲以上就任的總統(tǒng)所占的比例相對較小類題通法在列頻率分布表時，先求極差(即最大值最小值)再分組，注意分組不能太多也不能太少，要牢固掌握列頻率分布表及畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖的步驟與方法.為了檢測某種產(chǎn)品的質(zhì)量，抽取了一個容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組數(shù)如下：10.75,10.85)，3；10.85,10.95)，9；10.95，11.05)，13；11.05,11.15)，16；11.15,11.25)，26；11.25,11.35)，20；11.35,11.45)，7；11.45,11.55)，4；11.55,11.65，2.(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖以及頻率分布折線圖；(3)根據(jù)上述圖表，估計數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是多大？解(1)畫出頻率分布表分組頻數(shù)頻率10.75,10.85)30.0310.85,10.95)90.0910.95,11.05)130.1311.05,11.15)160.1611.15,11.25)260.2611.25,11.35)200.2011.35,11.45)70.0711.45,11.55)40.0411.55,11.6520.02合計1001.00(2)畫頻率分布直方圖與頻率分布折線圖，如下圖所示(3)由上述圖表可知數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的頻率為0.130.160.260.200.7575%，即數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是75%.考點二 樣本平均數(shù)與標準差的計算例2一個水庫養(yǎng)了某種魚10萬條，從中捕撈了20條，稱得它們的質(zhì)量如下(單位：千克)：115,1.04,1.11,1.07,1.10,1.32,1.25,1.19,1.15,1.21,1.18,1.14,1.09,1.25,1.21,1.29,1.16,1.24,1.12,1.16.計算樣本平均數(shù)，并根據(jù)結(jié)果估計水庫里的所有魚的總質(zhì)量分析利用樣本均值公式(x1x2xn)，由魚的平均質(zhì)量與水庫中魚的總數(shù)量便可求得總質(zhì)量解1.151.041.111.071.101.321.251.191.151.211.181.141.091.251.211.291.161.241.121.1623.431.1715(千克)水庫中魚的總質(zhì)量約為1.1715100000117150(千克)答：樣本平均數(shù)為1.1715千克，估計水庫里的所有魚的總質(zhì)量為117150千克類題通法樣本均值又稱樣本平均數(shù)，也稱為樣本的算術平均數(shù)，公式為(x1x2xn)，本例是計算樣本平均數(shù)的簡單應用，很明顯是用部分反映整體的一個例子一名射擊運動員射擊8次所中環(huán)數(shù)如下：9.9,10.3,9.8,10.1,10.4,10,9.8,9.7.(1)8次射擊平均環(huán)數(shù)是多少？標準差是多少？(2)環(huán)數(shù)落在s與s之間的有幾次？所占百分比是多少？分析只有正確地利用平均數(shù)公式求出，才能正確地求出標準差解(1)10(0.10.30.20.10.400.20.3)10(環(huán))，s2(9.910)2(10.310)2(9.710)20.010.090.090.440.055(環(huán)2)，所以s0.235(環(huán))(2)s9.765，s10.235.所以環(huán)數(shù)落在s與s之間的有5次，所占百分比為62.5%.考點三 用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征例3為了保護學生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下天數(shù)151180 181210 211240 241270 271300 301330 331360361390燈泡數(shù) 1 11 18 20 25 16 7 2(1)試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差；(2)若定期更換，可選擇多長時間統(tǒng)一更換合適？分析總體的平均數(shù)與標準差往往很難求，甚至是不可求的，通常的做法就是用樣本的平均數(shù)與標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差只要樣本的代表性好，這種做法是合理的解(1)各組中值分別為165,195,225,255,285,315,345,375，由此，算得平均數(shù)約為(1651195112251825520285253151634573752)267.9268(天)將各組中值對于此平均數(shù)求方差，得1(165268)211(195268)218(225268)220(255268)225(285268)216(315268)27(345268)22(375268)22128.6(天2)，故標準差約為46(天)估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天，標準差約為46天(2)由(1)可知，可在222天到314天內(nèi)的某一天統(tǒng)一更換較合適類題通法(1)在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差.(2)平均數(shù)和標準差是工業(yè)生產(chǎn)中監(jiān)測產(chǎn)品質(zhì)量的重要指標，當樣本的平均數(shù)或標準差超過了規(guī)定界限的時候，說明這批產(chǎn)品的質(zhì)量可能距生產(chǎn)要求有較大的偏離.應該進行檢查，找出原因，從而及時解決問題.某農(nóng)戶在承包的荒山上共種植了44棵櫻桃樹，2018年采摘時，先隨意采摘5棵樹上的櫻桃，稱得每棵樹上的櫻桃重量為(單位：千克)35,35,34,39,37.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該農(nóng)戶2018年櫻桃的產(chǎn)量；(2)已知該農(nóng)戶的44棵櫻桃樹在2016年共收獲櫻桃1100千克，若近幾年的產(chǎn)量的年增長率相同依照(1)中所估計的2018年的產(chǎn)量，預計2019年該農(nóng)戶可收獲櫻桃多少千克分析(1)首先應計算樣本平均數(shù)，然后用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù)，從而計算出總產(chǎn)量(2)由2016年的產(chǎn)量，設每年的增長率為x，則可列出2018的產(chǎn)量，從而求出增長率，最后由增長率可估計出2019年的產(chǎn)量解(1)從44棵櫻桃樹中抽取5棵，每棵的平均產(chǎn)量為：35(00142)36(千克)所以估計2018年的總產(chǎn)量為：36441584(千克). (2)設2016年到2018年中，櫻桃產(chǎn)量的年增長率為x，根據(jù)題意，得1100(1x)21584，即(1x)21.44，解這個方程得x10.2，x22.2(舍去)根據(jù)每年的增長率相同，則預計2019年的產(chǎn)量為：1584(1x)15841.21900.8(千克)答：(1)估計該農(nóng)戶2018年櫻桃的產(chǎn)量是1584千克(2)預計2019年該農(nóng)戶可收獲櫻桃1900.8千克例(12分)在學校開展的綜合實踐活動中，某班進行了小制作評比，作品上交時間為5月1日至30日評委會把同學們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖(如圖所示)，已知從左到右各長方形的高的比為234641，第三組的頻數(shù)為12，請解答下列問題：(1)本次活動共有多少件作品參加評比？(2)哪組上交的作品數(shù)量最多？有多少件？(3)經(jīng)過評比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎，問這兩組哪組獲獎率高？(一)精妙思路點撥(二)分層規(guī)范細解(1)依題意知第三組的頻率為.2分又第三組的頻數(shù)為12，本次活動的參評作品數(shù)為.4分(2)根據(jù)頻率分布直方圖，可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多，共有6018(件).8分(3)第四組的獲獎率是.第六組上交的作品數(shù)量為603(件)，11分第六組的獲獎率為，顯然第六組的獲獎率高.12分(三)來自一線的報告通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的見分層規(guī)范細解過程)(四)類題練筆掌握某鄉(xiāng)鎮(zhèn)供電所為了調(diào)查農(nóng)村居民用電量情況，隨機抽取了500戶居民去年的月均用電量(單位：kW/h)，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖如下，其中直方圖從左到右前3個小矩形的面積之比為123，試估計：(1)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)月均用電量在39.543.5內(nèi)的居民所占百分比約是多少？(2)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量的中位數(shù)約是多少？(精確到0.01)解(1)設直方圖從左到右前3個小矩形的面積分別為P,2P,3P.由直方圖可知，最后兩個小矩形的面積之和為(0.08750.0375)20.25.因為直方圖中各小矩形的面積之和為1，所以P2P3P10.25，即P0.125，所以3P0.087520.55. 由此估計，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量在39.543.5內(nèi)的居民所占百分比約是55%.(2)顯然直方圖的面積平分線位于正中間一個矩形內(nèi)，且該矩形在面積平分線左側(cè)部分的面積為0.5P2P0.50.3750.125.設樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為39.5x，正中間一個矩形的面積為3P0.375，所以x20.1250.375，即x0.67.從而39.5x40.17，由此估計，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量的中位數(shù)約是40.17(kW/h)(五)解題設問(1)頻率分布直方圖中，小矩形的面積的含義是什么？_.(2)根據(jù)中位數(shù)的含義，過樣本數(shù)據(jù)中位線對應的點，作橫軸的垂線，此垂線應在什么位置？_.答案(1)對應組的頻率(2)直方圖面積的平分線處1在頻率分布直方圖中，各個長方形的面積表示()A落在相應各組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)B相應各組數(shù)據(jù)的頻率C該樣本所分成的組數(shù)D該樣本的樣本容量答案B解析在頻率分布直方圖中，橫軸是組距，縱軸是，故每個小長方形的面積是相應各組數(shù)據(jù)的頻率故選B.2用樣本中的頻率分布來估計總體情況時，下列說法中正確的是()A樣本容量的大小與估計準確與否無關B估計準確與否只與總體容量的大小有關C樣本容量越大，估計結(jié)果越準確D估計結(jié)果準確與否僅與樣本分組數(shù)有關答案C解析一般來說，樣本容量越大，估計準確度越高，而與分組數(shù)無關3有一個容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：11.5,15.5)，2；15.5,19.5)，4；19.5,23.5)，9；23.5,27.5)，18；27.5,31.5)，11；31.5,35.5)，12；35.5,39.5)，7；39.5,43.5)，3.根據(jù)樣本的頻率分布估計