2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)1.5用樣本估計(jì)總體1.6統(tǒng)計(jì)活動(dòng)結(jié)婚年齡的變化學(xué)案北師大版必修3.docx

1.5 用樣本估計(jì)總體 1.6 統(tǒng)計(jì)活動(dòng) 結(jié)婚年齡的變化航向標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1通過實(shí)例體會(huì)頻率分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn)2會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，用樣本的基本數(shù)字特征，估計(jì)總體的數(shù)字特征3體會(huì)統(tǒng)計(jì)的作用和基本思想，形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的興趣讀教材自主學(xué)習(xí)1頻率分布直方圖：圖中每個(gè)小矩形的寬度為xi(分組的寬度)，高為，小矩形的面積恰為相應(yīng)的頻率fi，通常我們稱這樣的圖形為頻率分布直方圖2頻率折線圖：在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開始，用線段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖3樣本平均數(shù)：假設(shè)通過隨機(jī)抽樣得到的樣本為x1，x2，xn，我們把稱為樣本平均數(shù)，用樣本平均數(shù)來估計(jì)總體的平均數(shù)4樣本標(biāo)準(zhǔn)差：假設(shè)通過隨機(jī)抽樣得到的樣本為x1，x2，xn.我們把s稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)總體的標(biāo)準(zhǔn)差看名師疑難剖析1頻率分布表和頻率分布直方圖的特征(1)頻率分布表中的數(shù)字和頻率分布直方圖的形狀都與分組數(shù)(組距)有關(guān)；頻率分布直方圖的外觀還和坐標(biāo)系單位長(zhǎng)度有關(guān)分組數(shù)的變化可引起頻率分布表和頻率分布直方圖的結(jié)構(gòu)變化；坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度的變化只能引起頻率分布直方圖的形狀沿坐標(biāo)軸方向的拉伸變化(2)隨機(jī)性：頻率分布表和頻率分布直方圖由樣本決定，因此會(huì)隨著樣本的改變而改變(3)規(guī)律性：根據(jù)頻率趨近于概率的原理若固定分組數(shù)，隨著樣本容量的增加，頻率分布表中的各個(gè)頻率會(huì)穩(wěn)定于總體中任一個(gè)體分布在相應(yīng)分組的概率，從而頻率分布直方圖中的各個(gè)矩形的高度也會(huì)穩(wěn)定在特定的值(即相應(yīng)的概率除以組間距)上(4)在頻率分布直方圖中，每個(gè)小矩形的面積等于相應(yīng)數(shù)據(jù)組的頻率，小矩形的高等于數(shù)據(jù)組的頻率除以組距2頻率分布表、頻率分布直方圖的優(yōu)點(diǎn)(1)頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到在分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容(2)頻率折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)如果樣本容量不斷增加，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體分布趨勢(shì)的圖形考點(diǎn)一 頻率分布表、頻率分布直方圖及折線圖例1美國歷屆總統(tǒng)中，就任時(shí)年紀(jì)最小的是羅斯福，他于1901年就任，當(dāng)時(shí)年僅42歲；就任時(shí)年紀(jì)最大的是里根，他于1981年就任，當(dāng)時(shí)69歲下面按時(shí)間順序(從1789年的華盛頓到2001年的小布什，共43任)給出了歷屆美國總統(tǒng)就任時(shí)的年齡：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54(1)將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖(2)用自己的語言描述一下歷屆美國總統(tǒng)就任時(shí)年齡的分布情況分析由本題可獲得以下主要信息：本題給出了樣本數(shù)據(jù)；本題要列表畫圖解答本題可先列出頻率分布表，再按步驟作出頻率分布直方圖及折線圖解(1)以4為組距，列表如下：年齡分組頻數(shù)頻率41.5,45.5)20.04650.011645.5,49.5)60.13950.034949.5,53.5)80.18600.046553.5,57.5)160.37210.093057.5,61.5)50.11630.029161.5,65.5)40.09300.023365.5,69.520.04650.0116(2)從頻率分布表中可以看出，將近60%的美國總統(tǒng)就任時(shí)的年齡在50歲至60歲之間，45歲以下以及65歲以上就任的總統(tǒng)所占的比例相對(duì)較小類題通法在列頻率分布表時(shí)，先求極差(即最大值最小值)再分組，注意分組不能太多也不能太少，要牢固掌握列頻率分布表及畫頻率分布直方圖、頻率分布折線圖的步驟與方法.為了檢測(cè)某種產(chǎn)品的質(zhì)量，抽取了一個(gè)容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組數(shù)如下：10.75,10.85)，3；10.85,10.95)，9；10.95，11.05)，13；11.05,11.15)，16；11.15,11.25)，26；11.25,11.35)，20；11.35,11.45)，7；11.45,11.55)，4；11.55,11.65，2.(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖以及頻率分布折線圖；(3)根據(jù)上述圖表，估計(jì)數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是多大？解(1)畫出頻率分布表分組頻數(shù)頻率10.75,10.85)30.0310.85,10.95)90.0910.95,11.05)130.1311.05,11.15)160.1611.15,11.25)260.2611.25,11.35)200.2011.35,11.45)70.0711.45,11.55)40.0411.55,11.6520.02合計(jì)1001.00(2)畫頻率分布直方圖與頻率分布折線圖，如下圖所示(3)由上述圖表可知數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的頻率為0.130.160.260.200.7575%，即數(shù)據(jù)落在10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是75%.考點(diǎn)二 樣本平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算例2一個(gè)水庫養(yǎng)了某種魚10萬條，從中捕撈了20條，稱得它們的質(zhì)量如下(單位：千克)：115,1.04,1.11,1.07,1.10,1.32,1.25,1.19,1.15,1.21,1.18,1.14,1.09,1.25,1.21,1.29,1.16,1.24,1.12,1.16.計(jì)算樣本平均數(shù)，并根據(jù)結(jié)果估計(jì)水庫里的所有魚的總質(zhì)量分析利用樣本均值公式(x1x2xn)，由魚的平均質(zhì)量與水庫中魚的總數(shù)量便可求得總質(zhì)量解1.151.041.111.071.101.321.251.191.151.211.181.141.091.251.211.291.161.241.121.1623.431.1715(千克)水庫中魚的總質(zhì)量約為1.1715100000117150(千克)答：樣本平均數(shù)為1.1715千克，估計(jì)水庫里的所有魚的總質(zhì)量為117150千克類題通法樣本均值又稱樣本平均數(shù)，也稱為樣本的算術(shù)平均數(shù)，公式為(x1x2xn)，本例是計(jì)算樣本平均數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，很明顯是用部分反映整體的一個(gè)例子一名射擊運(yùn)動(dòng)員射擊8次所中環(huán)數(shù)如下：9.9,10.3,9.8,10.1,10.4,10,9.8,9.7.(1)8次射擊平均環(huán)數(shù)是多少？標(biāo)準(zhǔn)差是多少？(2)環(huán)數(shù)落在s與s之間的有幾次？所占百分比是多少？分析只有正確地利用平均數(shù)公式求出，才能正確地求出標(biāo)準(zhǔn)差解(1)10(0.10.30.20.10.400.20.3)10(環(huán))，s2(9.910)2(10.310)2(9.710)20.010.090.090.440.055(環(huán)2)，所以s0.235(環(huán))(2)s9.765，s10.235.所以環(huán)數(shù)落在s與s之間的有5次，所占百分比為62.5%.考點(diǎn)三 用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征例3為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下天數(shù)151180 181210 211240 241270 271300 301330 331360361390燈泡數(shù) 1 11 18 20 25 16 7 2(1)試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差；(2)若定期更換，可選擇多長(zhǎng)時(shí)間統(tǒng)一更換合適？分析總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差往往很難求，甚至是不可求的，通常的做法就是用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差只要樣本的代表性好，這種做法是合理的解(1)各組中值分別為165,195,225,255,285,315,345,375，由此，算得平均數(shù)約為(1651195112251825520285253151634573752)267.9268(天)將各組中值對(duì)于此平均數(shù)求方差，得1(165268)211(195268)218(225268)220(255268)225(285268)216(315268)27(345268)22(375268)22128.6(天2)，故標(biāo)準(zhǔn)差約為46(天)估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命約為268天，標(biāo)準(zhǔn)差約為46天(2)由(1)可知，可在222天到314天內(nèi)的某一天統(tǒng)一更換較合適類題通法(1)在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.(2)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差是工業(yè)生產(chǎn)中監(jiān)測(cè)產(chǎn)品質(zhì)量的重要指標(biāo)，當(dāng)樣本的平均數(shù)或標(biāo)準(zhǔn)差超過了規(guī)定界限的時(shí)候，說明這批產(chǎn)品的質(zhì)量可能距生產(chǎn)要求有較大的偏離.應(yīng)該進(jìn)行檢查，找出原因，從而及時(shí)解決問題.某農(nóng)戶在承包的荒山上共種植了44棵櫻桃樹，2018年采摘時(shí)，先隨意采摘5棵樹上的櫻桃，稱得每棵樹上的櫻桃重量為(單位：千克)35,35,34,39,37.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該農(nóng)戶2018年櫻桃的產(chǎn)量；(2)已知該農(nóng)戶的44棵櫻桃樹在2016年共收獲櫻桃1100千克，若近幾年的產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率相同依照(1)中所估計(jì)的2018年的產(chǎn)量，預(yù)計(jì)2019年該農(nóng)戶可收獲櫻桃多少千克分析(1)首先應(yīng)計(jì)算樣本平均數(shù)，然后用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)，從而計(jì)算出總產(chǎn)量(2)由2016年的產(chǎn)量，設(shè)每年的增長(zhǎng)率為x，則可列出2018的產(chǎn)量，從而求出增長(zhǎng)率，最后由增長(zhǎng)率可估計(jì)出2019年的產(chǎn)量解(1)從44棵櫻桃樹中抽取5棵，每棵的平均產(chǎn)量為：35(00142)36(千克)所以估計(jì)2018年的總產(chǎn)量為：36441584(千克). (2)設(shè)2016年到2018年中，櫻桃產(chǎn)量的年增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，得1100(1x)21584，即(1x)21.44，解這個(gè)方程得x10.2，x22.2(舍去)根據(jù)每年的增長(zhǎng)率相同，則預(yù)計(jì)2019年的產(chǎn)量為：1584(1x)15841.21900.8(千克)答：(1)估計(jì)該農(nóng)戶2018年櫻桃的產(chǎn)量是1584千克(2)預(yù)計(jì)2019年該農(nóng)戶可收獲櫻桃1900.8千克例(12分)在學(xué)校開展的綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某班進(jìn)行了小制作評(píng)比，作品上交時(shí)間為5月1日至30日評(píng)委會(huì)把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖(如圖所示)，已知從左到右各長(zhǎng)方形的高的比為234641，第三組的頻數(shù)為12，請(qǐng)解答下列問題：(1)本次活動(dòng)共有多少件作品參加評(píng)比？(2)哪組上交的作品數(shù)量最多？有多少件？(3)經(jīng)過評(píng)比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎(jiǎng)，問這兩組哪組獲獎(jiǎng)率高？(一)精妙思路點(diǎn)撥(二)分層規(guī)范細(xì)解(1)依題意知第三組的頻率為.2分又第三組的頻數(shù)為12，本次活動(dòng)的參評(píng)作品數(shù)為.4分(2)根據(jù)頻率分布直方圖，可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多，共有6018(件).8分(3)第四組的獲獎(jiǎng)率是.第六組上交的作品數(shù)量為603(件)，11分第六組的獲獎(jiǎng)率為，顯然第六組的獲獎(jiǎng)率高.12分(三)來自一線的報(bào)告通過閱卷后分析，對(duì)解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的見分層規(guī)范細(xì)解過程)(四)類題練筆掌握某鄉(xiāng)鎮(zhèn)供電所為了調(diào)查農(nóng)村居民用電量情況，隨機(jī)抽取了500戶居民去年的月均用電量(單位：kW/h)，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖如下，其中直方圖從左到右前3個(gè)小矩形的面積之比為123，試估計(jì)：(1)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)月均用電量在39.543.5內(nèi)的居民所占百分比約是多少？(2)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量的中位數(shù)約是多少？(精確到0.01)解(1)設(shè)直方圖從左到右前3個(gè)小矩形的面積分別為P,2P,3P.由直方圖可知，最后兩個(gè)小矩形的面積之和為(0.08750.0375)20.25.因?yàn)橹狈綀D中各小矩形的面積之和為1，所以P2P3P10.25，即P0.125，所以3P0.087520.55. 由此估計(jì)，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量在39.543.5內(nèi)的居民所占百分比約是55%.(2)顯然直方圖的面積平分線位于正中間一個(gè)矩形內(nèi)，且該矩形在面積平分線左側(cè)部分的面積為0.5P2P0.50.3750.125.設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為39.5x，正中間一個(gè)矩形的面積為3P0.375，所以x20.1250.375，即x0.67.從而39.5x40.17，由此估計(jì)，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)居民月均用電量的中位數(shù)約是40.17(kW/h)(五)解題設(shè)問(1)頻率分布直方圖中，小矩形的面積的含義是什么？_.(2)根據(jù)中位數(shù)的含義，過樣本數(shù)據(jù)中位線對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，作橫軸的垂線，此垂線應(yīng)在什么位置？_.答案(1)對(duì)應(yīng)組的頻率(2)直方圖面積的平分線處1在頻率分布直方圖中，各個(gè)長(zhǎng)方形的面積表示()A落在相應(yīng)各組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)B相應(yīng)各組數(shù)據(jù)的頻率C該樣本所分成的組數(shù)D該樣本的樣本容量答案B解析在頻率分布直方圖中，橫軸是組距，縱軸是，故每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積是相應(yīng)各組數(shù)據(jù)的頻率故選B.2用樣本中的頻率分布來估計(jì)總體情況時(shí)，下列說法中正確的是()A樣本容量的大小與估計(jì)準(zhǔn)確與否無關(guān)B估計(jì)準(zhǔn)確與否只與總體容量的大小有關(guān)C樣本容量越大，估計(jì)結(jié)果越準(zhǔn)確D估計(jì)結(jié)果準(zhǔn)確與否僅與樣本分組數(shù)有關(guān)答案C解析一般來說，樣本容量越大，估計(jì)準(zhǔn)確度越高，而與分組數(shù)無關(guān)3有一個(gè)容量為66的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：11.5,15.5)，2；15.5,19.5)，4；19.5,23.5)，9；23.5,27.5)，18；27.5,31.5)，11；31.5,35.5)，12；35.5,39.5)，7；39.5,43.5)，3.根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)