函數(shù)圖像及其變換.doc

函數(shù)圖像及其變換上海師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 李慶兵函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，高中階段對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究往往是通過研究函數(shù)圖像及其變換得到的，所以函數(shù)圖像及其變換也就成為高考的固定考點(diǎn)。歷年高考考試大綱中都明確要求，學(xué)生要“會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)”，并且與前幾年比較可以發(fā)現(xiàn)，近幾年高考對(duì)于函數(shù)圖像方面的考查已經(jīng)不再局限于對(duì)幾個(gè)常見函數(shù)本身的單一的考查，而是結(jié)合函數(shù)的運(yùn)算，更為深刻地考查函數(shù)與函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與其他學(xué)科或現(xiàn)實(shí)生活等方面的聯(lián)系。這就要求我們不僅要熟練掌握一些基本函數(shù)的圖像特征及函數(shù)圖像變換的幾種常見方法，而且要會(huì)靈活運(yùn)用。下面筆者就結(jié)合近幾年的一些高考試題，談一些函數(shù)圖像及其變換和應(yīng)用方面的問題，希望能引起正在忙于備考的高三教師和學(xué)子們的重視，并給他們帶來(lái)一些啟發(fā)。（一）平移變換及其應(yīng)用：函數(shù)的圖像可以看作是由函數(shù)的圖像先向左0）或向右（0）平移個(gè)單位，再向上0）或向下（0）平移個(gè)單位得到。如：例1、（2008上海理11）方程的解可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。若方程的各個(gè)實(shí)根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線的同側(cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。P （圖一） （圖二）分析：由題意，方程的解可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這些交點(diǎn)可以看作是由函數(shù)的圖象經(jīng)過上下平移得到，由圖（1）可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)P、Q，且點(diǎn)P在直線上方，點(diǎn)Q在直線下方，要使得方程的各個(gè)實(shí)根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線的同側(cè)，只須將函數(shù)圖像上下平移，將點(diǎn)Q移至函數(shù)圖像與直線交點(diǎn)A左側(cè)或?qū)Ⅻc(diǎn)P移至函數(shù)圖像與直線交點(diǎn)B右側(cè)即可。將點(diǎn)A與點(diǎn)B坐標(biāo)分別代入方程解得或。從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍是6或6。（二）伸縮變換及其應(yīng)用： 函數(shù)的圖像可以看作是由函數(shù)的圖像先將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)1）或縮短1）到原來(lái)的倍，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)1）或縮短1）到原來(lái)的倍即可得到。如：例2、（2008上海文11）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。如果是ABC圍成的區(qū)域（含邊界）上的點(diǎn)，那么當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 。分析：由變形可得，則問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)函數(shù)的圖象與ABC圍成的區(qū)域（含邊界）有公共點(diǎn)時(shí)求的最大值的問題。由函數(shù)圖像伸縮變換的規(guī)律可知，的值越大，則函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)越大，即圖像整體越向上移動(dòng)，由此可以判定，當(dāng)取得最大值時(shí)，函數(shù)的圖象與ABC的邊BC相切或過經(jīng)點(diǎn)C。下面求點(diǎn)P的坐標(biāo)。法一：由線段BC與函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組可得消去得方程，由判別式=0解得，此時(shí)，從而得點(diǎn)。即所求點(diǎn)P的坐標(biāo)是。法二：線段BC的方程為：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即所以所求點(diǎn)P的坐標(biāo)是。（三）對(duì)稱變換：函數(shù)當(dāng)中，圖像關(guān)于某點(diǎn)或某條直線對(duì)稱的情況較多，除函數(shù)的奇偶性、互為反函數(shù)的兩函數(shù)與對(duì)稱性有關(guān)之外，還經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)其他一些情況，這就需要我們能夠掌握“以點(diǎn)代線”的數(shù)學(xué)方法對(duì)具體情況進(jìn)行分析。常見情況有以下幾種。1、關(guān)于特殊直線的軸對(duì)稱變換：； ； （兩者互為反函數(shù)）；2、關(guān)于特殊點(diǎn)的對(duì)稱變換：；3、局部對(duì)稱變換：注：以上為兩個(gè)函數(shù)圖像之間的關(guān)系。4、自身對(duì)稱變換：若函數(shù)y=f（x）滿足則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱。特別地，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)。若函數(shù)y=f（x）滿足，則函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。即函數(shù)為奇函數(shù)。例3、（2005上海理16）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)則關(guān)于x的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是（ ）A、0且0 B、0且0 C、0且 D、且。（圖三） （圖四）分析：函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像先向右平移一個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，再將函數(shù)的圖像位于軸上方部分保持不變，下方的部分關(guān)于軸通過局部對(duì)稱得到。又因?yàn)?，所以由（圖三）可知，函數(shù)圖像與軸有三個(gè)公共點(diǎn)。方程中，若0且，則由可得或。結(jié)合函數(shù)圖像易知，方程有三個(gè)不同的解，方程有四個(gè)不同的解，即方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解。所以選C。值得一提的是，在高考當(dāng)中，對(duì)函數(shù)圖像的考查，并不一定考查某一單一的變換，有時(shí)可能是幾種變換同時(shí)考查。如：例4、（2003上海理16）是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，其圖像如圖（四），令，則下列關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是（ ）（A）若0，則函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（B）若，0b2，則方程有大于2的實(shí)根；（C）若，b=0，則函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；（D）若，b=2，則方程有3個(gè)實(shí)根。 分析：由圖（2）知，若b0，則，此時(shí)的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以A選擇支不符合題意。當(dāng)時(shí)，的圖像可由的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，再向下平移個(gè)單位得到。此時(shí)0，而，2，而b2，0。所以，方程在（2，c）內(nèi)必有實(shí)根，所以B選擇支正確，故選B。當(dāng)1且b=2時(shí)，方程至多有一個(gè)實(shí)根，所以C選擇支不符合題意。又當(dāng)b2時(shí)，方程g（x）=0的實(shí)根少于三個(gè)，所以D選擇支也不符合題意。（四）旋轉(zhuǎn)變換：圖像的旋轉(zhuǎn)變換可借助三角形的全等，找到特殊點(diǎn)經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換后所得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圖像變換的規(guī)律。如圖五（甲）中函數(shù)圖像上點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得點(diǎn)，可借助得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可知函數(shù)圖像繞原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后即函數(shù)的圖像。同理可得圖（乙）中的情況。1、；2、；（甲）（乙） （圖五）說明：關(guān)于繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換實(shí)際上就是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的問題。例5、（04上海理15）若函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的解析式是（ ）（A） （B） （C） （D）。分析：由前述概念易知，即答案選D。（五）復(fù)雜函數(shù)的圖像：對(duì)于一些通過簡(jiǎn)單函數(shù)加減運(yùn)算得到的較為復(fù)雜的函數(shù)圖像，我們可以借助疊加法作出函數(shù)圖像。如：例6、（2002上海15）函數(shù)的大致圖像是（ ）yyyyO xo x o x o x （A） （B） （C） （D） （圖六）分析：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)與在區(qū)間上的圖像，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的疊加，即可得到函數(shù)的圖像為D選擇支所示的圖像。對(duì)于一些較為復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，有時(shí)需要綜合考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性，甚至漸進(jìn)性作出函數(shù)圖像。如：例7、（2004上海市閘北區(qū)模擬題）函數(shù)的部分圖像大致是（ ） （A） （B） （C） （D） （圖七）分析：由函數(shù)解析式的分母可知，x1，所以x=1是函數(shù)圖像的兩條漸進(jìn)線；由可知函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，0。綜合上述條件可知，B選擇支滿足題意。（六）關(guān)于某一物理或化學(xué)變化過程的變化規(guī)律或與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的函數(shù)圖像問題：二期課改提出，要讓“人人學(xué)有用的數(shù)學(xué)”，也就是要學(xué)以致用。所以與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)的一些數(shù)學(xué)問題在高考試題中出現(xiàn)也就成為必然。對(duì)于這類問題，需要我們仔細(xì)研究事物運(yùn)動(dòng)變化的過程，進(jìn)而用圖像將這一過程描繪出來(lái)即可。如：例8、（2008全國(guó)卷（2）汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖像可能是 （ ） A B C D （圖八）分析：汽車啟動(dòng)后加速度應(yīng)是越來(lái)越大，即路程變化較快，反映到函數(shù)圖像上，圖像變化率應(yīng)越來(lái)越大，汽車加速后有一段勻速行駛的過程，路程應(yīng)越來(lái)越大，且變化率保持不變，反映到函數(shù)圖像上，圖像應(yīng)呈上升的線段，而后汽車做減速運(yùn)動(dòng)，反映到函數(shù)圖像上，圖像變化率越來(lái)越小，但路程繼續(xù)增大。所以選A答案。函數(shù)圖像及其變換要求了解幾