福建省泉州市泉港三川中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《二次函數(shù)》同步輔導(dǎo)（3） 華東師大版.doc

二次函數(shù)同步輔導(dǎo)3 錯(cuò)例分析在解決與二次函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，往往由于審題不清、考慮不周而錯(cuò)解，為幫助大家糾正錯(cuò)誤,正確靈活地應(yīng)用二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，解決有關(guān)二次函數(shù)問題,現(xiàn)將常見原因所造成的錯(cuò)誤剖析如下：例1：不論x為何值，函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的值恒大于0的條件是（）a、a0，0 b、a0，0 c、a0，0 d、a0，0錯(cuò)解：選c正解：欲保證x取一切實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)值y恒為正，則必須保證拋物線開口向上，且與x軸無交點(diǎn)；則a0且0故選b點(diǎn)撥：當(dāng)x取一切實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)值y恒為正的條件：拋物線開口向上，且與x軸無交點(diǎn)；當(dāng)x取一切實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)值y恒為負(fù)的條件：拋物線開口向下，且與x軸無交點(diǎn)例2：下列命題：若a+b+c=0，則b2-4ac0；若ba+c，則一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若b=2a+3c，則一元二次方程ax2+bx+c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若b2-4ac0，則二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2或3其中正確的是（）a、 只有 b、只有 c、只有 d、只有錯(cuò)解：選c正解：b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）20，正確；中由ba+c不能推出結(jié)論，錯(cuò)誤；b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4（a+c）2+5c2，因?yàn)閍0，故（a+c）2與c2不會(huì)同時(shí)為0，所以b2-4ac0，正確；二次函數(shù)與y軸必有一個(gè)交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)有可能跟圖象與x軸的交點(diǎn)重合，故正確故選b點(diǎn)撥：小題利用移項(xiàng)與變形b2-4ac與0的大小關(guān)系解決；處理第小題時(shí)不要疏忽二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)情況例3. （2011江蘇無錫）如圖，拋物線y = x2 + 1與雙曲線y = 的交點(diǎn)a的橫坐（第3題）xya標(biāo)是1，則關(guān)于x的不等式 + x2 + 1 1 bx 1 c0 x 1 d1 x 1正解： + x2 + 1 0 -（x2 + 1）所求不等式的解就是：y1 = 與y2 = -（x2 + 1）圖像上y1y2的x的取值范圍。拋物線y=x2+1與雙曲線y=的交點(diǎn)a的橫坐標(biāo)是1，拋物線y=-（x2+1）與雙曲線y=的交點(diǎn)b的橫坐標(biāo)是-1，(如右圖所示)關(guān)于x的不等式+x2+10的解集是-1x0故選d點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與不等式解答此題時(shí)，用數(shù)形結(jié)合根據(jù)圖象解不等式。難點(diǎn)在于要找y=x2+1關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像y2 = -（x2 + 1）是個(gè)難點(diǎn)。例4：關(guān)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象有下列命題：當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)c0，且函數(shù)的圖象開口向下時(shí)，方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；函數(shù)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）a、1個(gè) b、2個(gè) c、3個(gè) d、4個(gè)錯(cuò)解：選c正解：（1）c是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)，所以當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)；（2）c0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象開口向下，畫草圖可知方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；（3）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是；（4）當(dāng)b=0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c變?yōu)閥=ax2+c，又因?yàn)閥=ax2+c的圖象與y=ax2圖象相同，所以當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱四個(gè)都正確，故選d點(diǎn)撥：注意，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值：當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)的最大值是；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)的最小值是一點(diǎn)就通二次函數(shù)的軸對(duì)稱性很重要，若能巧妙使用就會(huì)給解題帶來方便。例二次函數(shù)當(dāng)x4時(shí)有最小值3，且它的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。分析：因?yàn)槎魏瘮?shù)當(dāng)x4時(shí)有最小值3，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3）。由于圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，根據(jù)圖象的對(duì)稱性就可以得到圖象與x軸兩交點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離都是3.解：因?yàn)槎魏瘮?shù)當(dāng)x4時(shí)有最小值3，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），對(duì)稱軸為直線x4，拋物線開口向上。由于圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，根據(jù)圖象的對(duì)稱性就可以得到圖象與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是想x1=4-=1,x2=4+=7,所以：圖象與x軸兩交點(diǎn)為（1，0）和（7，0）。將（1，0）代入得0a(14)23, 解得 a y(x4)23 即yx2x 所求二次函數(shù)解析式為：yx2x 點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵在于利用對(duì)稱軸找出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可用一般式解，也可以用雙根式或頂點(diǎn)式或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來解。典例剖析（2011張家界）如圖，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)a（-4，0）、b（-2，2），連接ob、ab，（1）求該拋物線的解析式（2）求證：oab是等腰直角三角形（3）將oab繞點(diǎn)o按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)135，得到oab，寫出ab的中點(diǎn)p的坐標(biāo)，試判斷點(diǎn)p是否在此拋物線上（4）在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)m，使得四邊形abom成直角梯形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)m坐標(biāo)及該直角梯形的面積，若不存在，請(qǐng)說明理由分析：（1）將a（-4，0）、b（-2，2）代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx，列方程組求a、b的值即可；（2）根據(jù)所求拋物線解析式求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，判斷三角形的形狀；（3）根據(jù)oab的形狀，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角，畫出圖形，可求a、b的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求p的坐標(biāo)，代入拋物線解析式進(jìn)行判斷；（4）存在過點(diǎn)o，作omab交拋物線于點(diǎn)m，根據(jù)oab為等腰直角三角形，可求直線om的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，可求m點(diǎn)坐標(biāo)，同理，過點(diǎn)a，作amob交拋物線于點(diǎn)m，聯(lián)立方程組可求m的坐標(biāo)，由圖形的特殊性可知，兩種情況下，梯形面積相等，根據(jù)梯形面積公式求解點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，根據(jù)解析式確定圖形的特殊性指點(diǎn)迷津（福建福州2011）已知,如圖11,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為,與軸交于、兩點(diǎn)(在點(diǎn)右側(cè)),點(diǎn)、關(guān)于直線:對(duì)稱.(1)求、兩點(diǎn)坐標(biāo),并證明點(diǎn)在直線上;(2)求二次函數(shù)解析式;(3)過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn),、分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接、,求和的最小值.圖11備用圖分析：（1）求出方程ax2+2ax-3a=0（a0），即可得到a點(diǎn)坐標(biāo)和b點(diǎn)坐標(biāo)；把a(bǔ)的坐標(biāo)代入直線l即可判斷a是否在直線上；（2）根據(jù)點(diǎn)h、b關(guān)于過a點(diǎn)的直線l： y=對(duì)稱，得出ah=ab=4，過頂點(diǎn)h作hcab交ab于c點(diǎn)，求出ac和hc的長(zhǎng)，得出頂點(diǎn)h的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式，求出a，即可得到二次函數(shù)解析式；（3）解方程組y=和y=，即可求出k的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)h、b關(guān)于直線ak對(duì)稱，得出hn+mn的最小值是mb，過點(diǎn)k作直線ah的對(duì)稱點(diǎn)q，連接qk，交直線ah于e，得到bm+mk的最小值是bq，即bq的長(zhǎng)是hn+nm+mk的最小值，由勾股定理得qb=8，即可得出答案解:(1)依題意,得解得,點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為直線:當(dāng)時(shí),點(diǎn)在直線上(2)點(diǎn)、關(guān)于過點(diǎn)的直線:對(duì)稱 過頂點(diǎn)作交于點(diǎn)則, 頂點(diǎn) 代入二次函數(shù)解析式,解得 二次函數(shù)解析式為(3)直線的解析式為 直線的解析式為由 解得 即,則 點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱 的最小值是, 過點(diǎn)作直線的對(duì)稱