[精品]無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和.doc

2011精品無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和1.教材分析本節(jié)課題取材于人教版普通高中數(shù)學(xué)第三冊(cè)（選修）第二章“數(shù)列”閱讀材料-無(wú)窮等比數(shù)列的和，其主要內(nèi)容是無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用。教材在前面已介紹了數(shù)列的有限項(xiàng)的和，利用極限這個(gè)工具，不難將有限和轉(zhuǎn)化到“無(wú)限和”。這樣引伸，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，也有助于加深體會(huì)從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限、從已知認(rèn)識(shí)未知、從近似認(rèn)識(shí)精確的極限思想。本課內(nèi)容蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法和廣泛的實(shí)際應(yīng)用，對(duì)于開(kāi)擴(kuò)學(xué)生思路，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，都能起到較好的作用。新編教科書(shū)增加“閱讀材料”，不僅是為了擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更重要的是為了充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值。如何指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)閱讀并深入研究，最大限度地發(fā)揮其功能，是教師應(yīng)該認(rèn)真思考和對(duì)待的問(wèn)題。2.學(xué)情分析無(wú)窮遞縮等比數(shù)列及其它無(wú)窮數(shù)列的求和問(wèn)題，主要用到數(shù)列求和方法、等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列極限的概念及運(yùn)算法則等知識(shí)，這些內(nèi)容學(xué)生理解起來(lái)并不困難。無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用也十分廣泛，對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡芯?，通過(guò)學(xué)習(xí)、總結(jié)、探究和反思，挖掘出具有較深層次的知識(shí)，既豐富知識(shí)內(nèi)容，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，提高解題能力，也符合“源于教材，高于教材”的教學(xué)原則。3.教學(xué)目標(biāo)1、理解數(shù)列的前的和與所有項(xiàng)的和的聯(lián)系與區(qū)別，掌握無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式的推導(dǎo)，能利用無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式解決某些簡(jiǎn)單問(wèn)題；2、進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)自覺(jué)性和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，提高學(xué)生的閱讀能力、觀察能力、歸納能力，培養(yǎng)學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，培養(yǎng)交流合作精神；3、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于質(zhì)疑的精神，在解題教學(xué)中揭示生活哲理，體會(huì)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，豐富學(xué)生的人文素養(yǎng)。4.重點(diǎn)難點(diǎn)本課的重點(diǎn)是通過(guò)問(wèn)題的探討和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生掌握運(yùn)用在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)中的重要數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值；難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維創(chuàng)新，在不斷探索中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題；關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，把教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)為一個(gè)實(shí)踐探索的過(guò)程。5.設(shè)計(jì)思想本課設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是著眼于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)自覺(jué)性和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，增強(qiáng)課堂教學(xué)的啟發(fā)性和探究性，改變傳統(tǒng)的“灌輸式”學(xué)習(xí)模式，采用學(xué)生動(dòng)手、討論、探索，教師指導(dǎo)嘗試的方法，通過(guò)故事引入、小組合作、交流討論、閱讀材料、自編習(xí)題、歸納分析等多種形式，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，精心設(shè)計(jì)，創(chuàng)造良好情景，去深入體會(huì)數(shù)學(xué)中的一些重要思想方法和數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，提高學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)能力。6.教學(xué)過(guò)程師：我們先來(lái)了解著名的古印度“分牛傳說(shuō)”。古代的印度，有一位老人，他在彌留之際，把三個(gè)兒子叫到床前，對(duì)他們說(shuō)：“我就要去見(jiàn)真主了，辛苦了一輩子，沒(méi)有其它珍貴遺產(chǎn)留給你們，只有19頭牛，你們自己去分吧，老大分總數(shù)的1/2，老二分總數(shù)的1/4，老三分總數(shù)的1/5?！痹捯舾β洌先司脱柿藲?。按照印度的教規(guī)，牛被視為神靈，不準(zhǔn)宰殺，只能整頭地分，而先人的遺囑必須無(wú)條件遵從。那么，這19頭牛怎樣分呢？這道題著實(shí)難壞了兄弟三人。他們請(qǐng)教了許多有才學(xué)的人，人們總是搖頭，表示愛(ài)莫能助。兄弟三人無(wú)法可想，只得訴諸官府，請(qǐng)求公斷，官府老爺也是目瞪口呆，一推了之。三兄弟急得走投無(wú)路，卻計(jì)無(wú)所出師：同學(xué)們，我們能否用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)幫助三兄弟解決這一難題？（學(xué)生討論、交流、發(fā)言）師：這個(gè)故事有的同學(xué)曾經(jīng)聽(tīng)說(shuō)過(guò)，結(jié)局是這樣的：三兄弟為分牛一事絞盡腦汁，有一天，一位老農(nóng)牽著一頭牛路過(guò)，看到兄弟三人愁眉苦臉，便動(dòng)問(wèn)原由。老農(nóng)聽(tīng)后思索了片刻說(shuō)：“這件事好辦，我把自己的一頭牛借給你們，這樣總共就有了20頭牛，老大可分得10頭，老二可分得5頭，老三可分得4頭，你們?nèi)朔秩チ?9頭牛，剩下的一頭再還給我！”真是妙極了！一個(gè)曾使多少人費(fèi)盡心機(jī)無(wú)法解決的大難題竟這樣干脆利落的解決了，不用說(shuō)，這件事也被當(dāng)作佳話而廣為流傳。師：同學(xué)們對(duì)故事中的老農(nóng)有何評(píng)價(jià)？生：“智慧老人”！生：稱得上一位數(shù)學(xué)家。師：都不錯(cuò)！但同學(xué)們更應(yīng)看到，這雖是一道數(shù)學(xué)題，卻隱藏著豐富的社會(huì)和人生奧秘，社會(huì)乃至人生中的許多難題，有時(shí)只靠自身的元素或力量是難以解決的，這時(shí)，我們?nèi)裟艽蜷_(kāi)視野，借助一個(gè)外來(lái)的力量，難解的問(wèn)題也許會(huì)變得出奇的簡(jiǎn)單！【評(píng)注】數(shù)學(xué)教學(xué)的形式多種多樣，教師如果僅滿足于就題論題，學(xué)生的解題水平或許會(huì)有所提高，但學(xué)生的人文素養(yǎng)難免“營(yíng)養(yǎng)不良”。教師要善于抓住時(shí)機(jī)，利用一些經(jīng)典案例，去揭示生活中蘊(yùn)涵的深邃哲理，給學(xué)生以啟迪。生：我對(duì)這個(gè)分牛方案有疑議，老大似乎只該分9.5頭，最后他怎么得了10頭呢？師：這位同學(xué)問(wèn)得好！我相信其他同學(xué)也會(huì)有此疑問(wèn)，運(yùn)用無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和的知識(shí)，可以驗(yàn)證分牛方案是否合理。請(qǐng)同學(xué)們先看課本P93-P94上的閱讀材料。（學(xué)生看書(shū)、討論、交流）出示課題：無(wú)窮遞縮等比數(shù)列（）的和設(shè)有無(wú)窮數(shù)列,即，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，即，如果數(shù)列存在極限，則稱是數(shù)列的和，記作.師：注意，與一般的不同，表示數(shù)列前項(xiàng)的和，是有限項(xiàng)的和，而是這個(gè)數(shù)列前項(xiàng)和的極限，它表示數(shù)列所有項(xiàng)的和。對(duì)于無(wú)窮遞縮等比數(shù)列（）由 可得即 .無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)的和只與首項(xiàng)、公比有關(guān)。師：現(xiàn)在，我們?cè)倩剡^(guò)頭來(lái)看看分牛問(wèn)題中三兄弟到底可以得多少頭牛。我們知道，19頭牛中，老大分頭，老二分頭，老三分 頭，加起來(lái)是19(+)=1919，兄弟三人并未把牛分完，還余下19(1)= （頭）。對(duì)余下的 頭牛，按遺囑規(guī)定比例再分，老大分頭，老二分頭，老三分頭。這樣，還余下(1)=頭沒(méi)有分完，按遺囑規(guī)定比例繼續(xù)分下去，老大分頭，老二分頭，老三分頭，可見(jiàn)還余下(1)=頭沒(méi)有分完從以上分析可知，這樣分下去永遠(yuǎn)沒(méi)有窮盡，但每次的剩余越來(lái)越少。不妨設(shè)老大分得S1頭牛，則.這就說(shuō)明老大分得10頭牛是符合遺囑規(guī)定的。類似地，我們可以驗(yàn)證，老二、老三各分得5頭、4頭牛也是符合遺囑規(guī)定的。因此，這種分牛方案是完全合理和公平的。師：“分牛傳說(shuō)”給你有何啟示？生：有助于我們認(rèn)識(shí) “有限”與“無(wú)限”的辯證關(guān)系，深入體會(huì)極限的概念和思想。師：很好！從閱讀材料來(lái)看，無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式又有哪些應(yīng)用？請(qǐng)各小組自己編題，并加以解答。（小組活動(dòng)，教師巡視）生：應(yīng)用之1，求無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和，如無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)之和。師：不錯(cuò)，我們還可從右上圖示中看到，圖中各個(gè)矩形和小正方形的面積之和（圖中陰影部分）的極限等于正方形面積。生：應(yīng)用之2，循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)，如； ；師：很好！從以上幾個(gè)小題大家是否發(fā)現(xiàn)循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的一般性規(guī)律？生：循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化分?jǐn)?shù)，分母中9的個(gè)數(shù)等于循環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，未循環(huán)的小數(shù)位數(shù)用0替補(bǔ)，分子的值等于小數(shù)點(diǎn)后整數(shù)部分減去未循環(huán)的整數(shù)部分。師：非常棒！這位同學(xué)的觀察能力和歸納能力值得我們好好學(xué)習(xí)。生：應(yīng)用之3，求一類幾何圖形的面積之和，如下圖正三角形的邊長(zhǎng)等于1，連結(jié)正三角形各邊中點(diǎn)得到一個(gè)小正三角形，又連結(jié)小正三角形各邊中點(diǎn)得到一個(gè)更小的正三角形，如此無(wú)限繼續(xù)下去，則這些正三角形面積構(gòu)成以為首項(xiàng)、為公比的無(wú)窮等比數(shù)列，所有這些正三角形面積的和是。小結(jié)：本節(jié)課我們從著名的“分牛傳說(shuō)”入手，對(duì)無(wú)窮等比數(shù)列的求和問(wèn)題進(jìn)行了深入探討，并通過(guò)構(gòu)造習(xí)題說(shuō)明其簡(jiǎn)單應(yīng)用“閱讀材料”不僅可以擴(kuò)展我們的知識(shí)結(jié)構(gòu)，還可以幫助我們充分領(lǐng)略數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，提高學(xué)習(xí)自覺(jué)性和培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣我們要善于閱讀，深入體會(huì)內(nèi)中蘊(yùn)涵的一些重要數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)交流合作精神在解題中揭示生活哲理，豐富人文素養(yǎng)，提高思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)能力。練習(xí)與作業(yè)：1計(jì)算；比較與1的大?。磺髷?shù)列前n項(xiàng)之和與所有項(xiàng)之和；4一個(gè)公比絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列的所有項(xiàng)和等于2，它的各項(xiàng)平方所組成的數(shù)列的所有項(xiàng)和等于 ，求這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)立方所組成的數(shù)列的所有項(xiàng)和。5正方形內(nèi)接于單位圓，圓內(nèi)切于正方形，正方形內(nèi)接于單位圓，圓內(nèi)切于正方形，正方形內(nèi)接于單位圓，如此無(wú)限繼續(xù)下去，求所有這些正方形的面積之和。7.知識(shí)結(jié)構(gòu)明線：數(shù)列求和數(shù)列極限無(wú)窮數(shù)列的和無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和無(wú)窮等比數(shù)列求和循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)幾何圖形面積求和其它應(yīng)用初始問(wèn)題暗線：通過(guò)學(xué)習(xí)培養(yǎng)能力，發(fā)展智力，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值.8.問(wèn)題探討(1)這節(jié)課的內(nèi)容來(lái)源于不作教學(xué)要求的“閱讀材料”。本人以為，“閱讀材料”與本套教科書(shū)的另兩個(gè)專題性欄目“研究性課題”、“實(shí)習(xí)作業(yè)”，有一定的共同之處。在教學(xué)中安排一定的時(shí)間給予關(guān)注，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到相關(guān)學(xué)科和社會(huì)生活、生產(chǎn)的實(shí)際中去，對(duì)于擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們解決實(shí)際問(wèn)題的能力,體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值，無(wú)疑是大有裨益的。(2)古印度的“分牛傳說(shuō)”學(xué)生可能并不陌生，分牛方案的數(shù)學(xué)原理就是無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和問(wèn)題，教師如果只把它作為一個(gè)數(shù)