高中數(shù)學(xué)第八章簡單幾何體的表面積與體積（第1課時(shí)）柱、錐、臺的表面積和體積學(xué)案新人教A版.docx

第1課時(shí)柱、錐、臺的表面積和體積考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)柱、錐、臺的表面積了解柱體、錐體、臺體的側(cè)面展開圖，掌握柱體、柱、錐、臺的體積直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算錐體、臺體的表面積的求法能利用柱體、錐體、臺體的體積公式求體積，理解柱體、錐體、臺體的體積之間的關(guān)系直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算 問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P114P117的內(nèi)容，思考以下問題：1棱柱、棱錐、棱臺的表面積如何計(jì)算？2圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是什么？3圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式是什么？4柱體、錐體、臺體的體積公式分別是什么？5圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式、體積公式之間分別有怎樣的關(guān)系？1棱柱、棱錐、棱臺的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和2棱柱、棱錐、棱臺的體積(1)V棱柱Sh；(2)V棱錐Sh；V棱臺h(SS)，其中S，S分別是棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高3圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積名稱圖形公式圓柱底面積：S底r2側(cè)面積：S側(cè)2rl表面積：S2rl2r2體積：Vr2l圓錐底面積：S底r2側(cè)面積：S側(cè)rl表面積：Srlr2體積：Vr2h圓臺上底面面積：S上底r2下底面面積：S下底r2側(cè)面積：S側(cè)l(rr)表面積：S(r2r2rlrl)體積：Vh(r2rrr2)名師點(diǎn)撥1柱體、錐體、臺體的體積(1)柱體：柱體的底面面積為S，高為h，則VSh.(2)錐體：錐體的底面面積為S，高為h，則VSh.(3)臺體：臺體的上、下底面面積分別為S、S，高為h，則Vh.2圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系S圓柱側(cè)2rlS圓臺側(cè)(rr)lS圓錐側(cè)rl.3柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系V柱體ShV臺體(SS)hV錐體Sh. 判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)幾何體的表面積就是其側(cè)面面積與底面面積的和()(2)幾何體的側(cè)面積是指各個(gè)側(cè)面的面積之和()(3)等底面面積且等高的兩個(gè)同類幾何體的體積相同()(4)在三棱錐PABC中，VPABCVAPBCVBPACVCPAB.()答案：(1)(2)(3)(4) 棱長都是 1 的三棱錐的表面積為()A.B2C3D4解析：選 AS表4S正4. 若長方體的長、寬、高分別為 3 cm，4 cm，5 cm，則長方體的體積為()A27 cm3 B60 cm3 C64 cm3 D125 cm3解析：選 B長方體即為四棱柱，其體積為底面積高，即為 34560(cm3) 圓臺的上、下底面半徑分別為 3 和 4，母線長為 6，則其表面積等于()A72 B42 C67 D72解析：選 CS表(32423646)67.柱、錐、臺的表面積(1)若圓錐的正視圖是正三角形，則它的側(cè)面積是底面積的()A.倍B3 倍C2 倍 D5 倍(2)已知正方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)中，有 4 個(gè)為側(cè)面是等邊三角形的三棱錐的頂點(diǎn)，則這個(gè)三棱錐與正方體的表面積之比為()A1 B1C2 D3(3)已知某圓臺的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的 3 倍，母線長為 3 ，圓臺的側(cè)面積為 84，則該圓臺較小底面的半徑為()A7 B6C5 D3【解析】(1)設(shè)圓錐的底面半徑為 r，母線長為 l，則由題意可知，l2r，于是 S側(cè)r2r2r2，S底r2，可知選 C.(2)棱錐 BACD為適合條件的棱錐，四個(gè)面為全等的等邊三角形，設(shè)正方體的棱長為 1，則 BC，SBAC.三棱錐的表面積 S錐42，又正方體的表面積 S正6.因此 S錐S正261.(3)設(shè)圓臺較小底面的半徑為 r，則另一底面的半徑為 3r.由 S側(cè)3(r3r)84，解得 r7.【答案】(1)C (2)B (3)A空間幾何體表面積的求法技巧(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和(2)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理(3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展開為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和已知正四棱臺(正四棱錐被平行于底面的平面所截，截面與底面間的部分)上底面邊長為4，側(cè)棱和下底面邊長都是8，求它的側(cè)面面積解：法一：設(shè)正四棱臺為ABCDA1B1C1D1，如圖.設(shè)B1F為斜高在RtB1FB中，BF(84)2，B1B8，所以B1F 2，所以S正棱臺側(cè)4(48)248.法二：設(shè)正四棱臺為ABCDA1B1C1D1，延長正四棱臺的側(cè)棱交于點(diǎn)P，作面PBC上的斜高PE，交B1C1于E1，如圖.設(shè)PB1x，則，解得x8.所以PB1B1B8，所以E1為PE的中點(diǎn)，又PE1 2， 所以PE2PE14.所以S正棱臺側(cè)S大正棱錐側(cè)S小正棱錐側(cè)48PE44PE148444248.柱、錐、臺的體積如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，過頂點(diǎn)B，D，A1截下一個(gè)三棱錐(1)求剩余部分的體積；(2)求三棱錐AA1BD的體積及高【解】(1)V三棱錐A1ABDSABDA1AABADA1Aa3.故剩余部分的體積VV正方體V三棱錐A1ABDa3a3a3.(2)V三棱錐AA1BDV三棱錐A1ABDa3.設(shè)三棱錐AA1BD的高為h，則V三棱錐AA1BDSA1BDh(a)2ha2h，故a2ha3，解得ha.求幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解(2)等積法：例如四面體的任何一個(gè)面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可(3)補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求解的幾何體，如棱錐補(bǔ)成棱柱，棱臺補(bǔ)成棱錐等(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積提醒求幾何體的體積時(shí)，要注意利用好幾何體的軸截面(尤其為圓柱、圓錐時(shí))，準(zhǔn)確求出幾何體的高和底面積 1圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側(cè)面積是 16，則圓錐的體積是()A.B.C64 D128解析：選 A作圓錐的軸截面，如圖所示由題設(shè)，在 PAB中，APB90，PAPB.設(shè)圓錐的高為 h，底面半徑為 r，則 hr，PBr.由 S側(cè)rPB16，得r216.所以 r4.則 h4.故圓錐的體積 V圓錐r2h.2圓柱的側(cè)面展開圖是長 12 cm，寬 8 cm 的矩形，則這個(gè)圓柱的體積為()A. cm3 B. cm3C. cm3或 cm3 D192 cm3解析：選 C當(dāng)圓柱的高為 8 cm時(shí)， V8(cm3)，當(dāng)圓柱的高為 12 cm時(shí)，V12(cm3)3(2019高考全國卷)學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型如圖，該模型為長方體ABCDA1B1C1D1挖去四棱錐OEFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_g.解析：由題易得長方體ABCDA1B1C1D1的體積為664144(cm3)，四邊形EFGH為平行四邊形，如圖所示，連接GE，HF，易知四邊形EFGH的面積為矩形BCC1B1面積的一半，即6412(cm2)，所以V四棱錐OEFGH31212(cm3)，所以該模型的體積為14412132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為1320.9118.8(g)答案：118.8組合體的表面積和體積如圖在底面半徑為 2，母線長為 4 的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，求圓柱的表面積【解】設(shè)圓錐的底面半徑為 R，圓柱的底面半徑為 r，表面積為 S.則 ROC2，AC4，AO2.如圖所示，易知AEBAOC，所以，即，所以 r1，S底2r22，S側(cè)2rh2.所以 SS底S側(cè)22(22).1變問法本例中的條件不變，求圓柱的體積與圓錐的體積之比解：由例題解析可知：圓柱的底面半徑為 r1，高 h，所以圓柱的體積 V1r2h12.圓錐的體積 V2222.所以圓柱與圓錐的體積比為 38.2變問法本例中的條件不變，求圖中圓臺的表面積與體積解：由例題解析可知：圓臺的上底面半徑 r1，下底面半徑 R2，高 h，母線 l2，所以圓臺的表面積 S(r2R2rlRl)(12221222)11.圓臺的體積 V(r2rRR2)h(12222).3變條件、變問法本例中的“高為”改為“高為 h”，試求圓柱側(cè)面積的最大值解：設(shè)圓錐的底面半徑為 R，圓柱的底面半徑為 r，則 ROC2，AC4，AO2.如圖所示易知AEBAOC，所以，即，所以 h2r，S圓柱側(cè)2rh2r(2r)2r24r，所以當(dāng) r1，h時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，其最大值為 2.求組合體的表面積與體積的步驟(1)分析結(jié)構(gòu)特征：弄清組合體的組成形式，找準(zhǔn)有關(guān)簡單幾何體的關(guān)鍵量(2)設(shè)計(jì)計(jì)算方法：根據(jù)組成形式，設(shè)計(jì)計(jì)算方法，特別要注意“拼接面”面積的處理，利用“切割”“補(bǔ)形”的方法求體積(3)計(jì)算求值：根據(jù)設(shè)計(jì)的計(jì)算方法求值 1如圖，在多面體 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是邊長為 4 的正方形，EFAB，EF2，EF 上任意一點(diǎn)到平面 ABCD 的距離均為 3，求該多面體的體積解：如圖，連接 EB，EC.四棱錐 EABCD 的體積 V四棱錐 EABCD42316.因?yàn)锳B2EF，EFAB，所以SEAB2SBEF.所以V三棱錐 FEBCV三棱錐 CEFBV三棱錐 CABEV三棱錐 EABCV四棱錐 EABCD4.所以多面體的體積 VV四棱錐 EABCDV三棱錐 FEBC16420.2如圖，一個(gè)底面半徑為 2 的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為 2 和 3，求該幾何體的體積解：用一個(gè)完全相同的幾何體把題中幾何體補(bǔ)成一個(gè)圓柱，如圖，則圓柱的體積為 22520，故所求幾何體的體積為 10.1已知某長方體同一頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1，2，3，則該長方體的表面積為()A22B20C10 D11解析：選A.所求長方體的表面積S2(12)2(13)2(23)22.2正三棱錐的高為3，側(cè)棱長為2，則這個(gè)正三棱錐的體積為()A. B.C. D.解析：選D.由題意可得底面正三角形的邊長為3，所以V323.故選D.3已知圓臺的上、下底面的面積之比為925，那么它的中截面截得的上、下兩臺體的側(cè)面積之比是_解析：圓臺的上、下底面半徑之比為35，設(shè)上、下底面半徑為3x，5x，則中截面半徑為4x，設(shè)上臺體的母線長為l，則下臺體的母線長也為l，上臺體側(cè)面積S1(3x4x)l7xl，下臺體側(cè)面積S2(4x5x)l9xl，所以S1S279.答案：794.如圖，三棱臺ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱錐A1ABC，三棱錐BA1B1C，三棱錐CA1B1C1的體積之比解：設(shè)棱臺的高為h，SABCS，則SA1B1C14S.所以VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V臺h(S4S2S)Sh，所以VBA1B1CV臺VA1ABCVCA1B1C1ShSh，所以體積比為124.A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1若某圓錐的高等于其底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為()A12B1C1 D.2解析：選C.設(shè)圓錐底面半徑為r，則高h(yuǎn)2r，所以其母線長lr.所以S側(cè)rlr2，S底r2，S底S側(cè)1.2.如圖，ABCABC是體積為1的棱柱，則四棱錐CAABB的體積是()A. B.C. D.解析：選C.因?yàn)閂CABCVABCABC，所以VCAABB1.3(2018高考全國卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A12 B12C8 D10解析：選B.設(shè)所截正方形的邊長為 a，則 a28，即 a2.所以圓柱的母線長為 2，底面圓半徑 r，所以圓柱的表面積為 22()228412.4.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是面A1B1C1D1內(nèi)任意一點(diǎn)，則四棱錐PABCD的體積為()A.B.C. D.解析：選B.因?yàn)檎襟wABCDA1B1C1D1的棱長為1，點(diǎn)P是面A1B1C1D1內(nèi)任意一點(diǎn)，所以點(diǎn)P到平面ABCD的距離dAA11，S正方形ABCD111，所以四棱錐PABCD的體積為：VPABCDAA1S正方形ABCD11.故選B.5(2019臨川檢測)一個(gè)封閉的正三棱柱容器，高為 3，內(nèi)裝水若干(如圖甲，底面處于水平狀態(tài))，將容器放倒(如圖乙，一個(gè)側(cè)面處于水平狀態(tài))，這時(shí)水面與各棱交點(diǎn) E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1 分別為所在棱的中點(diǎn)，則圖甲中水面的高度為()A. B.C2 D.解析：選 D因?yàn)?E，F(xiàn)，F(xiàn)1，E1 分別為所在棱的中點(diǎn)，所以棱柱 EFCBE1F1C1B1 的體積 VS梯形EFCB3SABC3SABC.設(shè)甲中水面的高度為 h，則 SABChSABC，解得h，故選 D.6已知圓柱 OO的母線 l4 cm，表面積為 42 cm2，則圓柱 OO的底面半徑 r_cm.解析：圓柱 OO的側(cè)面積為 2rl8r(cm2)，兩底面面積為 2r22r2(cm2)，所以 2r28r42，解得 r3 或 r7(舍去)，所以圓柱的底面半徑為 3 cm.答案：37表面積為 3的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓面，則該圓錐的底面直徑為_解析：設(shè)圓錐的母線為 l，圓錐底面半徑為 r，由題意可知，rlr23，且 l2r.解得 r1，即直徑為 2.答案：28圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接長方體 ABCDA1B1C1D1，長方體的體對角線長是 10 cm，圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，此矩形的面積是 100 cm 2，則圓柱的底面半徑為_cm，高為_cm.解析：設(shè)圓柱底面半徑為 r cm，高為 h cm，如圖所示，則圓柱軸截面長方形的對角線長等于它的內(nèi)接長方體的體對角線長，則：所以即圓柱的底面半徑為 5 cm，高為 10 cm.答案：5109如圖，已知正三棱錐 SABC 的側(cè)面積是底面積的 2 倍，正三棱錐的高 SO3，求此正三棱錐的表面積解：如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為 a，斜高為 h，過點(diǎn) O 作 OEAB，與 AB 交于點(diǎn) E，連接 SE，則 SEAB，SEh.因?yàn)?S側(cè)2S底，所以 3aha22.所以 ah.因?yàn)?SOOE，所以 SO2OE2SE2.所以 32h2.所以 h2，所以 ah6.所以 S底a2629，S側(cè)2S底18.所以 S表S側(cè)S底18927.10若 E，F(xiàn) 是三棱柱 ABCA1B1C1 側(cè)棱 BB1和 CC1 上的點(diǎn)，且 B1E CF，三棱柱的體積為 m，求四棱錐 ABEFC 的體積解：如圖所示，連接 AB1，AC1.因?yàn)?B1E CF，所以 梯形 BEFC 的面積等于梯形 B1EFC1 的面積又四棱錐 ABEFC 的高與四棱錐 AB1EFC1 的高相等，所以 V ABEFCVAB1EFC1VABB1C1C.又 VA A1B1C1SA1B1C1h，VABCA1B1C1SA1B1C1hm，所以VAA1B1C1，所以 VABB1C1CVABCA1B1C1VAA1B1C1m.所以 VABEFCm，即四棱錐 ABEFC 的體積是.B能力提升11(2018高考浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A2 B4C6 D8解析：選 C由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積 V(12)226.故選 C.12(2019高考全國卷)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1，則該半正多面體共有_個(gè)面，其棱長為_解析：依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在正方體的表面上，且該半正多面體的表面由18個(gè)正方形，8個(gè)正三角形組成，因此題中的半正多面體共有26個(gè)面注意到該半正多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長為x，則xxx1，解得x1，故題中的半正多面體的棱長為1.答案：26113用一張正方形的紙把一個(gè)棱長為 1 的正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是_解析：如圖為棱長為 1 的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展開成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖所示，由圖知正方形的邊長為 2，其面積為 8.答案：814如圖所示，已知三棱柱AB