高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例課件 新人教A版選修22(1).ppt

1 4生活中的優(yōu)化問題舉例 類型一面積 體 容 積有關(guān)的最值問題 典例1 如圖 四邊形abcd是一塊邊長為4km的正方形地域 地域內(nèi)有一條河流md 其經(jīng)過的路線是以ab的中點m為頂點且開口向右的拋物線 河流寬度忽略不計 新長城公司準備投資建一個大型矩形游樂園 pqcn p為河流md上任意一點 問如何施工才能使游樂園的面積最大 并求出最大面積 解題指南 首先依據(jù)圖形建立合適的坐標系 設(shè)出點的坐標 引入變量構(gòu)建與面積有關(guān)的函數(shù)關(guān)系式 再利用導(dǎo)數(shù)求最值 解析 以m為原點 ab所在直線為y軸建立直角坐標系 則d 4 2 設(shè)拋物線方程為y2 2px 因為點d在拋物線上 所以22 8p 解得 所以拋物線方程為y2 x 0 x 4 設(shè)p y2 y 0 y 2 是曲線md上任一點 則 pq 2 y pn 4 y2 所以矩形游樂園的面積為s pq pn 2 y 4 y2 8 y3 2y2 4y 求導(dǎo)得s 3y2 4y 4 令s 0 得3y2 4y 4 0 解得或y 2 舍 當y 時 s 0 函數(shù)s為增函數(shù) 當y 時 s 0 函數(shù)s為減函數(shù) 所以當時 s有最大值 得 所以游樂園最大面積為 即游樂園的兩鄰邊分別為km km時 面積最大 最大面積為km2 方法總結(jié) 利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題的基本流程 鞏固訓(xùn)練 已知矩形的兩個頂點位于x軸上 另兩個頂點位于拋物線y 4 x2在x軸上方的曲線上 求矩形的面積最大時的邊長 解析 設(shè)矩形邊長ad 2x 則 ab y 4 x2 則矩形面積為s 2x 4 x2 00 當時 s 0 所以當時 s取得最大值 此時 即矩形的邊長分別為時 矩形的面積最大 補償訓(xùn)練 用長為90cm 寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器 先在四個角分別截去一個小正方形 然后把四邊翻轉(zhuǎn)90 角 再焊接而成 如圖所示 問該容器的高為多少時 容器的容積最大 最大容積是多少 解析 設(shè)容器的高為xcm 容器的容積為v x cm3 則v x x 90 2x 48 2x 4x3 276x2 4320 x 0 x 24 v x 12x2 552x 4320 12 x2 46x 360 12 x 10 x 36 令v x 0 得x1 10 x2 36 舍去 當00 v x 是增函數(shù) 當10 x 24時 v x 0 v x 是減函數(shù) 因此 在定義域 0 24 內(nèi) 函數(shù)v x 只有當x 10時取得最大值 其最大值為v 10 10 90 20 48 20 19600 cm3 故當容器的高為10cm時 容器的容積最大 最大容積是19600cm3 類型二費用 用料 最省問題 典例2 2017 重慶高二檢測 某企業(yè)擬建造如圖所示的容器 不計厚度 長度單位 米 其中容器的中間為圓柱形 左右兩端均為半球形 按照設(shè)計要求容器的體積為立方米 假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有 關(guān) 已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元 半球形部分每平方米建造費用為4千元 設(shè)該容器的總建造費用為y千元 1 將y表示成r的函數(shù)f r 并求該函數(shù)的定義域 2 討論函數(shù)f r 的單調(diào)性 并確定r和l為何值時 該容器的建造費用最小 并求出最小建造費用 解題指南 1 總造價等于兩個半球合成一個球的表面的造價加上圓柱的側(cè)面的造價 2 對y f r 求導(dǎo)然后研究單調(diào)性與最值 解析 1 因為容器的體積為立方米 所以 解得所以圓柱的側(cè)面積為兩端兩個半球的表面積之和為4 r2 所以又所以定義域為 2 因為所以令f r 0 得 令f r 0 得0 r 2 所以f r 的單調(diào)增區(qū)間為 單調(diào)減區(qū)間為 0 2 所以當r 2時 該容器的建造費用最小 為96 千元 此時 延伸探究 1 試討論該容器表面積有無最小值 若有 求出最小值 若沒有 說明理由 解析 因為容器的體積為立方米 所以 解得 所以圓柱的側(cè)面積為兩端兩個半球的表面積之和為4 r2 故該容器的表面積則令s 0 解得 所以應(yīng)在時 取得最小值 而由 1 可知r 取不到 所以無最小值 2 若由于場地的限制 該容器的半徑要限制在范圍內(nèi) 求容器建造費用的最小值 解析 因為所以令y 0 得 令y 0 得0 r 2 故當r 時 函數(shù)單調(diào)遞減 故當時 方法總結(jié) 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟 1 分析實際問題中各量之間的關(guān)系 列出實際問題的數(shù)學(xué)模型 寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y f x 2 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f x 解方程f x 0 3 比較函數(shù)在區(qū)間端點和使f x 0成立的點的數(shù)值的大小 最大 小 者為最大 小 值 4 寫出答案 補償訓(xùn)練 甲 乙兩地相距400千米 汽車從甲地勻速行駛到乙地 速度不得超過100千米 時 已知該汽車每小時的運輸成本p 元 關(guān)于速度v 千米 時 的函數(shù)關(guān)系是 1 求全程運輸成本q 元 關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式 2 為使全程運輸成本最少 汽車應(yīng)以多大速度行駛 并求此時運輸成本的最小值 解析 1 2 令q 0 則v 0 舍去 或v 80 當00 所以當v 80千米 時時 全程運輸成本取得極小值 即最小值 且qmin q 80 元 類型三利潤最大問題 典例3 某公司為了獲得更大的利益 每年要投入一定的資金用于廣告促銷 經(jīng)調(diào)查 每年投入廣告費t 單位 百萬元 可增加銷售額約為 t2 5t 單位 百萬元 且0 t 5 1 若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi) 則應(yīng)投入多少廣告費 才能使該公司由此獲得的收益最大 2 現(xiàn)該公司準備共投入3百萬元 分別用于廣告促銷和技術(shù)改造 經(jīng)預(yù)測 每投入技術(shù)改造費x 單位 百萬元 可增加的銷售額約為 單位 百萬元 請設(shè)計一個資金分配方案 使該公司由此獲得的收益最大 注 收益 銷售額 投入 解析 1 設(shè)投入t百萬元的廣告費后增加的收益為f t 百萬元 則有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 所以當t 2時 f t 取得最大值4 即投入2百萬元的廣告費時 該公司由此獲得的收益最大 2 投入技術(shù)改造的資金為x百萬元 則用于廣告促銷的資金為 3 x 百萬元 設(shè)由此獲得的收益是g x 則所以g x x2 4 令g x 0 解得x 2 舍去 或x 2 當0 x0 當2 x 3時 g x 0 故g x 在 0 2 上是增函數(shù) 在 2 3 上是減函數(shù) 所以當x 2時 g x 取最大值 即將2百萬元用于技術(shù)改造 1百萬元用于廣告促銷時 該公司由此獲得的收益最大 方法總結(jié) 利潤問題中的等量關(guān)系解決此類有關(guān)利潤的實際應(yīng)用題 應(yīng)靈活運用題設(shè)條件 建立利潤的函數(shù)關(guān)系 常見的基本等量關(guān)系有 1 利潤 收入 成本 2 利潤 每件產(chǎn)品的利潤 銷售件數(shù) 鞏固訓(xùn)練 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x 噸 與每噸產(chǎn)品的價格p 元 噸 之間的關(guān)系式為 且生產(chǎn)x噸產(chǎn)品的成本為r 50000 200 x 元 問該工廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達到最大 最大利潤是多少 利潤 收入 成本 解析 每月生產(chǎn)x噸時的利潤為 則 令f x 0 解得x1 200 x2 200 舍去 因為f x 在 0 內(nèi)只有一個極大值點x 200 故它就是最大值點 且最大值為 3150000 元 所以每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時利潤達到最大 最大利潤為315萬元 補償訓(xùn)練 2017 沈陽高二檢測 某商品每件成本9元 售價為30元 每星期賣出432件 如果降低價格 銷售量將會增加 且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x 單位 元 0 x 30 的平方成正比 已知商品單價降低2元時 一星期將多賣出24件 1 將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù) 2 如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大 解題指南 1 先求出比例系數(shù) 再依據(jù)題設(shè)求出多賣的商品數(shù) 再根據(jù)銷售利潤 銷售收入 成本 列出函數(shù)關(guān)系式 即可得到答案 2 根據(jù)f x 的解析式 用導(dǎo)數(shù)求最值 解析 1 設(shè)商品降價x元 則多賣出的商品件數(shù)為kx2 若記商品一個星期的獲利為f x 則依題意有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 又由已知條件 24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 30 2 根據(jù) 1 有f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 當x變化時 f x f x 的變化情況如表 故當x 12時 f x 取到極大值 因為f 0 9072 f 12 11664 所以定價為30 12 18 元 時能使一個星期的商品銷售利潤最大 類型四效率最高問題 典例4 我們知道 汽油的消耗量w 單位 l 與汽車的速度v 單位 km h 之間有一定的關(guān)系 汽油的消耗量w是汽車速度v的函數(shù) 通過大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù) 并對數(shù)據(jù)進行分析 研究 人們發(fā)現(xiàn) 汽車在行駛過程中 汽油平均消耗率g 即每小時的汽油消耗量 單位 l h 與汽車行駛的平均速度v 單位 km h 之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系g f v 且點 90 5 為直線y kx與函數(shù)g f v 相切時的切點 那么汽車平均速度為多少時 汽油使用率最高 此時的每千米耗油量大約是多少l 解題指南 研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量與汽車行駛路程的比值 如果用g表示每千米平均的汽油消耗量 那么 其中 w表示汽油消耗量 單位 l s表示汽車行駛的路程 單位 km 從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題 因此 我們首先需要將問題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率g 即每小時的汽油耗量 單位 l h 與汽車行駛的平均速度v 單位 km h 之間的關(guān)系的問題 然后利用圖象中的數(shù)據(jù)信息 解決汽油使用效率最高的問題 解析 設(shè)g表示每千米平均的汽油消耗量 s表示汽車行駛的路程 單位 km 因為 這樣 問題就轉(zhuǎn)化為求的最小值 從圖象上看 表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率 進一步發(fā) 現(xiàn) 當直線與曲線相切時 其斜率最小 在此切點處速度約為90km h 因此 當汽車行駛距離一定時 要使汽油的使用效率最高 即每千米的汽油消耗量最小 此時的車速約為90km h 從數(shù)值上看 每千米的耗油量就是圖中的切線的斜率 即f 90 約為 l km 方法總結(jié) 效率最高問題的解題途徑 鞏固訓(xùn)練 統(tǒng)計表明 某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y 升 關(guān)于行駛速度x 千米 時 的函數(shù)解析式可以表示為 已知甲 乙兩地相距100千米 當汽車以多大的速度勻速行駛時 從甲地到乙地耗油最少 最少為多少升 解析 當速度為x千米 時時 汽車從甲地到乙地行駛了小時 設(shè)耗油量為h x 升 依題意得 令h x 0 得x 80 因為x 0 80 時 h x 0 h x 是增函數(shù) 所以當x 80時 h x 取得極小值h 80 11 25 升 因為h x 在 0 120 上只有一個極小值 所以它是最小值 答 汽車以80千米 時勻速行駛時 從甲地到乙地耗油最少 最少為11 25升 補償訓(xùn)練 如圖 在直線y 0和y a a 0 之間表示的是一條河流 河流的一側(cè)河岸 x軸 是一條公路 且公路隨時隨處都有公交車來往 家住a 0 a 的某學(xué)生在位于公路上b d 0 d 0 處的學(xué)校就讀 每天早晨該學(xué)生都要從家出發(fā) 可以先乘船渡河到達公路上某一點 再乘公交車去學(xué)校 或者直接乘船渡 河到達公路上b d 0 處的學(xué)校 已知船速為v0 v0 0 車速為2v0 水流速度忽略不計 1 若d 2a 求該學(xué)生早晨上學(xué)時 從家出發(fā)到達學(xué)校所用的最短時間 2 若 求該學(xué)生早晨上學(xué)時 從家出發(fā)到達學(xué)校所用的最短時間 解析 1 設(shè)該學(xué)生從家出發(fā)先乘船渡河到達公路上某一點p x 0 0 x d 再乘公交車去學(xué)校 所用的時間為t 則 令f x 0得 當時 f x 0 所以當時 所用的時間最短 最短時間 所以當d 2a時 該學(xué)生從家里出發(fā)到學(xué)校所用的最短時間是 2 由 1 的討論知 當時 t f x 為上的減函數(shù) 所以當時 即該學(xué)生直接乘船渡河到達公路上學(xué)校所用時間最短 最短時間為 課堂小結(jié) 1 知識總結(jié) 2 方法總結(jié) 1 解決實際應(yīng)用問題