專題3 數 列 專題質量檢測(三).doc

(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1(2011天津南開中學)下列可作為數列an：1,2,1,2,1,2，的通項公式的是()Aan1BanCan2|sin| Dan解析：由an2|sin|可得a11，a22，a31，a42，.答案：C2(2011杭州模擬)設數列(1)n的前n項和為Sn，則對任意正整數n，Sn()A. B.C. D.解析：數列(1)n是首項與公比均為1的等比數列，故Sn.答案：D3(2011江西高考)設an為等差數列，公差d2，Sn為其前n項和若S10S11，則a1()A18 B20C22 D24解析：由S10S11得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.答案：B4(2011銀川聯考)已知等比數列an中，a12，且a4a64a，則a3()A. B1C2 D.解析：設等比數列an的公比為q，由等比數列的性質并結合已知條件可得a4aq4，q4，q2.a3a1q221.答案：B5(2011天津高考)已知an為等差數列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為an的前n項和，nN*，則S10的值為()A110 B90C90 D110解析：因為a7是a3與a9的等比中項，所以aa3a9，又因為公差為2，所以(a112)2(a14)(a116)解得a120，通項公式為an20(n1)(2)222n，所以S105(202)110.答案：D6在等比數列an中，a5a115，a4a26，則公比q等于()A. B2C.或2 D2解析：a5a1a1q4a115a4a2a1q3a1q6，(q210)2q225q.q或2.又a5a1150，q1，q2.答案：B7在等比數列an中，已知an0，那么“a2a4”是“a6a8”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：由a2a4得a2a2q2，所以0q2a8得a6a6q2，所以0q2a4”是“a6a8”的充要條件答案：C8等差數列an的首項為a，公差為d；等差數列bn的首項為b，公差為e，如果cnanbn(n1)，且c14，c28，數列cn的通項公式為cn()A2n1 B3n2C4n D4n3解析：cna(n1)db(n1)e(ab)(n1)(de)c1ab4，c2abde8ab4，de4，cn4n.答案：C9已知數列an的前n項和Snqn1(q0，且q為常數)，某同學得出如下三個結論：an的通項是an(q1)qn1；an是等比數列；當q1時，SnSn2S.其中正確結論的個數為()A0 B1C2 D3解析：anSnSn1qn1(qn11)(n2)，即an(q1)qn1(n2)，而a1S1q1，得an(q1)qn1(n1)，正確；當q1時，an不是等比數列，錯誤；當q1時，令tSnSn2S(qn1)(qn21)(qn11)2，則tqn(q1)2，顯然t0，即SnSn2S，正確答案：C10某學校餐廳每天供應500名學生用餐，每星期一都有A，B兩種菜可供選擇調查資料表明，凡是在星期一選A種菜的，下星期一會有20%的人改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會有30%的人改選A種菜用an，bn分別表示在第n個星期一選A種菜的人數和選B種菜的人數，如果a1300，則a10為()A300 B350C400 D450解析：依題意得消去bn得：an1an150.由a1300得a2300，從而得a10300.答案：A二、填空題(本大題共7小題，每小題4分，共28分請把正確答案填在題中的橫線上)11. (2011寧波模擬)在等差數列an中，首項a10，公差d0，若aka1a2a3a7，則k .解析：aka1a2a77a1d7a121d，而a10，所以ak7a121da121da22，k22.答案：2212已知等差數列an滿足a23，a59，若數列bn滿足b13，bn1abn，則bn的通項公式為bn()解析：據已知易得an2n1，故由bn1abn可得bn12bn1，變形為bn112(bn1)，即數列bn1是首項為2，公比為2的等比數列，故bn12n，解得bn2n1.答案：2n113數列an滿足：log2an11log2an，若a310，則a8_.解析：由log2an11log2an，得an12an，故a825a3320.答案：32014(2011湖南湘西聯考)設關于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整數的個數為an，則數列an的前n項和Sn_.解析：由x2x2nx(nN*)得0x0，則Sn一定有最大值其中真命題的序號是_(寫出所有真命題的序號)解析：對于，注意到()an1an()d是一個非零常數，因此數列() an 是等比數列，因此正確；對于，S1313，因此正確；對于，注意到Snna1dnan(n1)ddnand，因此正確；對于，當d0時，Sn不存在最大值，因此不正確綜上所述，其中正確命題的序號是.答案：三、解答題(本大題共5小題，共72分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)18(本小題滿分14分)已知數列an的前n項和為Sn，且對任意的nN*有anSnn.(1)設bnan1，求證：數列bn是等比數列；(2)設c1a1且cnanan1(n2)，求cn的通項公式解：(1)證明：由a1S11及a1S1得a1.又由anSnn及an1Sn1n1，得an1anan11，2an1an1.2(an11)an1，即2bn1bn.數列bn是以b1a11為首項，為公比的等比數列(2)法一：由(1)知2an1an1.2anan11(n2)2an12ananan1.2cn1cn(n2)又c1a1，a2a1a22，a2.c2，c2c1.數列cn是首項為，公比為的等比數列cn()n1()n.法二：由(1)bn()n1()n，an()()n1()n11()n1()n()n1(1)()n(n2)又c1a1也適合上式，cn()n.19(本小題滿分14分)已知正項數列an中，a16，且an1an1；數列bn中，點Bn(n，bn)在過點(0,1)且以(1,2)為方向向量的直線l上(1)求數列an，bn的通項公式；(2)若f(n)問是否存在kN*，使f(k27)4f(k)成立，若存在，求出k值；若不存在，請說明理由解：(1)an1an1，an1an1.數列an是首項為6，公差為1的等差數列ana1(n1)1n5.又直線l的方程為y2x1，bn2n1.(2)假設滿足條件的k存在由(1)得：f(n)當k為偶數時，k27為奇數，f(k27)4f(k)，k2754(2k1)，解得k4.當k為奇數時，k27為偶數，2(k27)14(k5)，k(舍去)綜上，存在k4符合條件20(本小題滿分14分)設同時滿足條件bn1(nN*)；bnM(nN*，M是與n無關的常數)的無窮數列bn叫“特界”數列(1)若數列an是等差數列，Sn是其前n項和，a34，S318，求Sn；(2)判斷(1)中的數列Sn是否為“特界”數列，并說明理由解：(1)設等差數列an的公差為d，則a12d4,3a13d18，解得a18，d2.Snna1dn29n.(2)Sn110，Sn1，數列Sn適合條件.又Snn29n(n)2(nN*)，當n4或5時，Sn取最大值20.即S220，Sn適合條件.綜上，數列Sn是“特界”數列. 21(本小題滿分15分)已知二次函數yf(x)的圖像經過坐標原點，且當x時，函數f(x)有最小值.數列an的前n項和為Sn，點(n，Sn)(nN*)均在函數yf(x)的圖像上(1)求數列an的通項公式；(2)設bn，Tn是數列bn的前n項和，求使得Tn對所有nN*都成立的最小正整數m.解：(1)依題意，設二次函數f(x)ax2bx(a0)，由于當x時，f(x)有最小值，解得a2，b1，f(x)2x2x.又點(n，Sn)(nN*)均在函數yf(x)的圖像上，Sn2n2n.當n1時，a1S121211；當n2時，anSnSn1(2n2n)2(n1)2(n1)4n3；a11也適合上式，an4n3(nN*)(2)由(1)得bn()，Tn(1)()()(1)因此，要使(1)(nN*)成立，m必須且只需滿足，即m10，故滿足要求的最小正