2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十二章概率、隨機變量及其分布12.4二項分布與正態(tài)分布教案理（含解析）新人教A版.docx

12.4二項分布與正態(tài)分最新考綱考情考向分析1.了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念2.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單問題3.借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.以理解獨立重復(fù)試驗、二項分布的概念為主，重點考查二項分布概率模型的應(yīng)用識別概率模型是解決概率問題的關(guān)鍵在高考中，常以解答題的形式考查，難度為中檔.1條件概率及其性質(zhì)(1)對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為P(B|A)(P(A)0)在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則P(B|A).(2)條件概率具有的性質(zhì)0P(B|A)1；如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2事件的獨立性(1)相互獨立的定義：事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，即P(B|A)P(B)這時，稱兩個事件A，B相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件(2)概率公式：條件公式A，B相互獨立P(AB)P(A)P(B)A1，A2，An相互獨立P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)3.獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)獨立重復(fù)試驗定義：在相同的條件下，重復(fù)地做n次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨立重復(fù)試驗概率公式：在一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)(2)二項分布在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X，事件A不發(fā)生的概率為q1p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(Xk)Cpkqnk，其中k0,1,2，n.于是得到X的分布列X01knPCp0qnCpqn1CpkqnkCpnq0此時稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記作XB(n，p)4兩點分布與二項分布的期望、方差(1)若隨機變量X服從二點分布，則E(X)p，D(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)5正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線，其函數(shù)表達式為f(x)，xR(其中，為參數(shù)，且0，)(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)曲線在x軸的上方，并且關(guān)于直線x對稱曲線在x時處于最高點，并由此處向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀曲線的形狀由參數(shù)確定，越大，曲線越“矮胖”；越小，曲線越“高瘦”(3)正態(tài)變量在三個特定區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(X)68.3%；P(2X2)95.4%；P(3X2c1)P(X2c1)P(Xc3)，2c1c332，c.題組三易錯自糾5兩個實習(xí)生每人加工一個零件，加工成一等品的概率分別為和，兩個零件中能否被加工成一等品相互獨立，則這兩個零件中恰好有一個一等品的概率為()A.B.C.D.答案B解析因為兩人加工成一等品的概率分別為和，且相互獨立，所以兩個零件中恰好有一個一等品的概率P.6從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B為“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()A.B.C.D.答案B解析P(A)，P(AB)，P(B|A).7設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布N(，2)，函數(shù)f(x)x24x沒有零點的概率是，則等于()A1B2C4D不能確定答案C解析當(dāng)函數(shù)f(x)x24x沒有零點時，1644，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，當(dāng)函數(shù)f(x)x24x沒有零點的概率是時，4.題型一條件概率例1(1)在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品，現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率為_答案解析方法一(應(yīng)用條件概率公式求解)設(shè)事件A為“第一次取到不合格品”，事件B為“第二次取到不合格品”，則所求的概率為P(B|A)，因為P(AB)，P(A)，所以P(B|A).方法二(縮小樣本空間求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，還有99件產(chǎn)品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率為.(2)一個正方形被平均分成9個部分，向大正方形區(qū)域隨機地投擲一個點(每次都能投中)設(shè)投中最左側(cè)3個小正方形區(qū)域的事件記為A，投中最上面3個小正方形或正中間的1個小正方形區(qū)域的事件記為B，求P(AB)，P(A|B)解如圖，n()9，n(A)3，n(B)4，n(AB)1，P(AB)，P(A|B).思維升華 (1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)，這是通用的求條件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A).跟蹤訓(xùn)練1已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只且不放回，則在他第1次取到的是螺口燈泡的條件下，第2次取到的是卡口燈泡的概率為()A.B.C.D.答案D解析方法一設(shè)事件A為“第1次取到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次取到的是卡口燈泡”，則P(A)，P(AB)，則所求概率為P(B|A).方法二第1次取到螺口燈泡后還剩余9只燈泡，其中有7只卡口燈泡，故第2次取到卡口燈泡的概率為.題型二獨立重復(fù)試驗與二項分布命題點1獨立事件的概率例2某社區(qū)舉辦“環(huán)保我參與”有獎問答比賽活動，某場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是.若各家庭回答是否正確互不影響(1)求乙、丙兩個家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個家庭中不少于2個家庭回答正確這道題的概率解(1)記“甲回答正確這道題”“乙回答正確這道題”“丙回答正確這道題”分別為事件A，B，C，則P(A)，且有即所以P(B)，P(C).(2)有0個家庭回答正確的概率為P0P()P()P()P()，有1個家庭回答正確的概率為P1P(ABC)，所以不少于2個家庭回答正確這道題的概率為P1P0P11.命題點2獨立重復(fù)試驗例3一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得200分)設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？解(1)X可能的取值為10,20,100，200.根據(jù)題意，有P(X10)C12，P(X20)C21，P(X100)C30，P(X200)C03.所以X的分布列為X1020100200P(2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i1,2,3)，則P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1P(A1A2A3)131.因此，玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是.命題點3二項分布例4某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2位)：(1)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率；(3)5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率解令X表示5次預(yù)報中預(yù)報準(zhǔn)確的次數(shù)，則XB.(1)“5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X2)C0.823100.640.0080.05.(2)“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X2)1P(X0)P(X1)1C0.805C0.8410.000320.00640.99.(3)“5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確”的概率為C0.830.80.02.思維升華(1)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法首先判斷幾個事件的發(fā)生是否相互獨立求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法()利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；()正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算(2)獨立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略在求n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率在根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，求得概率跟蹤訓(xùn)練2為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員進行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有40人，不超過100 km/h的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有20人，不超過100 km/h的有25人(1)在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車速不超過100km/h的人中隨機抽取2人，求這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；(2)以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車平均車速超過100km/h且為男性駕駛員的車輛為X，求X的分布列解(1)平均車速不超過100km/h的駕駛員有40人，從中隨機抽取2人的方法總數(shù)為C，記“這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事件A，則事件A所包含的基本事件數(shù)為CC，所以所求的概率P(A).(2)根據(jù)樣本估計總體的思想，從總體中任取1輛車，平均車速超過100km/h且為男性駕駛員的概率為，故XB.X的可能取值為0,1,2,3，則P(X0)C03，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)C30.所以X的分布列為X0123P題型三正態(tài)分布例5(2017全國)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(，2)(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(3，3之外的零件數(shù)，求P(X1)及X的期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3，3之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查()試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；()下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：99510.129.969.9610.019.929.9810.0410269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得i9.97，s0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i1,2，16.用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到0.01)附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3Z3)0.9974,0.9974160.9592，0.09.解(1)抽取的一個零件的尺寸在(3，3之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在(3，3之外的概率為0.0026，故XB(16,0.0026)因此P(X1)1P(X0)10.9974160.0408.E(X)160.00260.0416.(2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3，3之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(3，3之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的()由9.97，s0.212，得的估計值為9.97，的估計值為0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(3，3)之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(169.979.22)10.02.因此的估計值為10.02.160.2122169.9721591.134.剔除(3，3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為(1591.1349.2221510.022)0.008，因此的估計值為0.09.思維升華解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：(1)對稱軸x；(2)標(biāo)準(zhǔn)差；(3)分布區(qū)間利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x0.跟蹤訓(xùn)練3“過大年，吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗.2019年春節(jié)前夕，A市某質(zhì)檢部門隨機抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測其某項質(zhì)量指標(biāo)值，所得頻率分布直方圖如下：(1)求所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(，2)，利用該正態(tài)分布，求Z落在(14.55,38.45內(nèi)的概率；將頻率視為概率，若某人從某超市購買了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30)內(nèi)的包數(shù)為X，求X的分布列和期望附：計算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差為11.95；若N(，2)，則P()0.683，P(22)0.954.解(1)所抽取的100包速凍水餃該項質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)50.1150.2250.3350.25450.1526.5.(2)Z服從正態(tài)分布N(，2)，且26.5，11.95，P(14.55Z38.45)P(26.511.95Z26.511.95)0.683，Z落在(14.55,38.45)內(nèi)的概率是0.683.根據(jù)題意得XB，P(X0)C4；P(X1)C4；P(X2)C4；P(X3)C4；P(X4)C4.X的分布列為X01234PE(X)42.1(2018大連模擬)甲、乙兩人參加“社會主義價值觀”知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為和，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為()A.B.C.D.答案D解析根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲獎乙沒獲獎或甲沒獲獎乙獲獎，則所求概率是，故選D.2(2018撫順模擬)袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是()A.B.C.D.答案D解析袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1，3次中恰有2次抽到黃球的概率PC2.3(2018鞍山模擬)甲、乙等4人參加4100米接力賽，在甲不跑第一棒的條件下，乙不跑第二棒的概率是()A.B.C.D.答案D解析甲不跑第一棒共有AA18(種)情況，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有兩類：(1)乙跑第一棒，共有A6(種)情況；(2)乙不跑第一棒，共有AAA8(種)情況，甲不跑第一棒的條件下，乙不跑第二棒的概率為，故選D.4設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨機變量X，且XN(800,502)，則一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)少于900的概率為()(參考數(shù)據(jù)：若XN(，2)，有P(X)0.683，P(2X2)0.954，P(3X3)0.997)A0.977B0.683C0.998D0.954答案A解析XN(800,502)，P(700X900)0.023，P(X110)0.2，該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在110分以上的人數(shù)為0.25010.6在某次射擊中，甲命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為_答案解析設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A，“乙命中目標(biāo)”為事件B，“丙命中目標(biāo)”為事件C，則擊中目標(biāo)表示事件A，B，C中至少有一個發(fā)生又P()P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C).故目標(biāo)被擊中的概率P1P().7一盒中放有大小相同的10個小球，其中8個黑球、2個紅球，現(xiàn)甲、乙二人先后各自從盒子中無放回地任意取2個小球，已知甲取到了2個黑球，則乙也取到2個黑球的概率是_答案解析記事件“甲取到2個黑球”為A，“乙取到2個黑球”為B，則有P(B|A)，即所求事件的概率是.8某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為_答案解析設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1000小時的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)P(B)P(C)，該部件的使用壽命超過1000小時的事件為(ABAB)C，該部件的使用壽命超過1000小時的概率P.9位于坐標(biāo)原點的一個質(zhì)點P按下述規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率都是.質(zhì)點P移動五次后位于點(2,3)的概率是_答案解析由于質(zhì)點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，移動五次后位于點(2,3)，所以質(zhì)點P必須向右移動兩次，向上移動三次，故其概率為C32C5.10若隨機變量XN(，2)，且P(X5)P(X1)0.2，則P(2X5)P(X1)，2.P(2X5)P(1X5)(10.20.2)0.3.11.某籃球隊在某賽季已結(jié)束的8場比賽中，隊員甲得分統(tǒng)計的莖葉圖如圖所示(1)根據(jù)這8場比賽，估計甲每場比賽中得分的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；(2)假設(shè)甲在每場比賽的得分服從正態(tài)分布N(，2)，且各場比賽間相互沒有影響，依此估計甲在82場比賽中得分在26分以上的平均場數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))參考數(shù)據(jù)：5.66，5.68，5.70.正態(tài)總體N(，2)在區(qū)間(2，2)內(nèi)取值的概率約為0.954.解(1)由題圖可得(78101517192123)15，2(8)2(7)2(5)2022242628232.25，所以5.68.所以估計甲每場比賽中得分的均值為15，標(biāo)準(zhǔn)差為5.68.(2)設(shè)甲每場比賽中的得分為隨機變量X，由(1)得甲在每場比賽中得分在26分以上的概率P(X26)1P(2X2)(10.954)0.023，設(shè)在82場比賽中，甲得分在26分以上的次數(shù)為Y，則YB(82,0.023)Y的期望E(Y)820.0232.由此估計甲在82場比賽中得分在26分以上的平均場數(shù)為2.12一個盒子中裝有大量形狀、大小一樣但質(zhì)量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量分組區(qū)間為5,15)，15,25)，25,35)，35,45，由此得到樣本的質(zhì)量頻率分布直方圖如圖所示(1)求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球質(zhì)量的眾數(shù)與